Theorem leneltd 11270

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ℝcr 11008   < clt 11149   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155

This theorem is referenced by:  flltnz  13715  seqf1olem1  13948  isprm5  16618  fvmptnn04if  22734  zcld  24700  evth  24856  pmltpclem2  25348  abelthlem2  26340  cos02pilt1  26433  logcj  26513  argimgt0  26519  dvloglem  26555  logf1o2  26557  asinneg  26794  lgslem1  27206  lgseisen  27288  dchrisum0flblem1  27417  ttgcontlem1  28830  axcontlem8  28916  sgnval2  32679  unbdqndv2lem2  36494  poimirlem17  37627  aks6d1c7lem1  42163  fzdifsuc2  45302  xralrple2  45344  xralrple3  45363  eliccelioc  45512  limcresiooub  45633  limcresioolb  45634  icccncfext  45878  cncfiooiccre  45886  dvbdfbdioolem2  45920  dvnxpaek  45933  volioc  45963  itgioocnicc  45968  iblcncfioo  45969  dirkercncflem1  46094  fourierdlem24  46122  fourierdlem25  46123  fourierdlem32  46130  fourierdlem33  46131  fourierdlem41  46139  fourierdlem42  46140  fourierdlem46  46143  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem51  46148  fourierdlem64  46161  fourierdlem65  46162  fourierdlem73  46170  fourierdlem76  46173  fourierdlem79  46176  fourierdlem81  46178  fourierdlem82  46179  fourierdlem89  46186  fourierdlem91  46188  fourierdlem102  46199  fourierdlem114  46211  fourierswlem  46221  fouriersw  46222  etransclem15  46240  etransclem24  46249  etransclem25  46250  etransclem35  46260  iundjiun  46451  hoidmvlelem2  46587