Theorem leneltd 11444

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11443	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  flltnz  13862  seqf1olem1  14092  isprm5  16754  fvmptnn04if  22876  zcld  24854  evth  25010  pmltpclem2  25503  abelthlem2  26494  cos02pilt1  26586  logcj  26666  argimgt0  26672  dvloglem  26708  logf1o2  26710  asinneg  26947  lgslem1  27359  lgseisen  27441  dchrisum0flblem1  27570  ttgcontlem1  28917  axcontlem8  29004  unbdqndv2lem2  36476  poimirlem17  37597  aks6d1c7lem1  42137  fzdifsuc2  45225  xralrple2  45269  xralrple3  45289  eliccelioc  45439  limcresiooub  45563  limcresioolb  45564  icccncfext  45808  cncfiooiccre  45816  dvbdfbdioolem2  45850  dvnxpaek  45863  volioc  45893  itgioocnicc  45898  iblcncfioo  45899  dirkercncflem1  46024  fourierdlem24  46052  fourierdlem25  46053  fourierdlem32  46060  fourierdlem33  46061  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem51  46078  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem73  46100  fourierdlem76  46103  fourierdlem79  46106  fourierdlem81  46108  fourierdlem82  46109  fourierdlem89  46116  fourierdlem91  46118  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  etransclem15  46170  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem35  46190  iundjiun  46381  hoidmvlelem2  46517