Theorem leneltd 11267

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  flltnz  13715  seqf1olem1  13948  isprm5  16618  chnccat  18532  fvmptnn04if  22764  zcld  24729  evth  24885  pmltpclem2  25377  abelthlem2  26369  cos02pilt1  26462  logcj  26542  argimgt0  26548  dvloglem  26584  logf1o2  26586  asinneg  26823  lgslem1  27235  lgseisen  27317  dchrisum0flblem1  27446  ttgcontlem1  28863  axcontlem8  28949  sgnval2  32718  unbdqndv2lem2  36554  poimirlem17  37687  aks6d1c7lem1  42283  fzdifsuc2  45421  xralrple2  45463  xralrple3  45482  eliccelioc  45631  limcresiooub  45750  limcresioolb  45751  icccncfext  45995  cncfiooiccre  46003  dvbdfbdioolem2  46037  dvnxpaek  46050  volioc  46080  itgioocnicc  46085  iblcncfioo  46086  dirkercncflem1  46211  fourierdlem24  46239  fourierdlem25  46240  fourierdlem32  46247  fourierdlem33  46248  fourierdlem41  46256  fourierdlem42  46257  fourierdlem46  46260  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem51  46265  fourierdlem64  46278  fourierdlem65  46279  fourierdlem73  46287  fourierdlem76  46290  fourierdlem79  46293  fourierdlem81  46295  fourierdlem82  46296  fourierdlem89  46303  fourierdlem91  46305  fourierdlem102  46316  fourierdlem114  46328  fourierswlem  46338  fouriersw  46339  etransclem15  46357  etransclem24  46366  etransclem25  46367  etransclem35  46377  iundjiun  46568  hoidmvlelem2  46704