Theorem leneltd 11503

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11502	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  flltnz  13991  seqf1olem1  14224  isprm5  16927  chnccat  18850  fvmptnn04if  23222  zcld  25188  evth  25335  pmltpclem2  25825  abelthlem2  26816  cos02pilt1  26911  logcj  26991  argimgt0  26997  dvloglem  27033  logf1o2  27035  asinneg  27271  lgslem1  27681  lgseisen  27763  dchrisum0flblem1  27892  ttgcontlem1  29519  axcontlem8  29606  sgnval2  33423  unbdqndv2lem2  37591  poimirlem17  38823  aks6d1c7lem1  43496  fzdifsuc2  46599  xralrple2  46639  xralrple3  46658  eliccelioc  46806  limcresiooub  46925  limcresioolb  46926  icccncfext  47170  cncfiooiccre  47178  dvbdfbdioolem2  47212  dvnxpaek  47225  volioc  47255  itgioocnicc  47260  iblcncfioo  47261  dirkercncflem1  47386  fourierdlem24  47414  fourierdlem25  47415  fourierdlem32  47422  fourierdlem33  47423  fourierdlem41  47431  fourierdlem42  47432  fourierdlem46  47435  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem51  47440  fourierdlem64  47453  fourierdlem65  47454  fourierdlem73  47462  fourierdlem76  47465  fourierdlem79  47468  fourierdlem81  47470  fourierdlem82  47471  fourierdlem89  47478  fourierdlem91  47480  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  fourierswlem  47513  fouriersw  47514  etransclem15  47532  etransclem24  47541  etransclem25  47542  etransclem35  47552  iundjiun  47743  hoidmvlelem2  47879