Theorem leneltd 11335

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  flltnz  13780  seqf1olem1  14013  isprm5  16684  fvmptnn04if  22743  zcld  24709  evth  24865  pmltpclem2  25357  abelthlem2  26349  cos02pilt1  26442  logcj  26522  argimgt0  26528  dvloglem  26564  logf1o2  26566  asinneg  26803  lgslem1  27215  lgseisen  27297  dchrisum0flblem1  27426  ttgcontlem1  28819  axcontlem8  28905  sgnval2  32665  unbdqndv2lem2  36505  poimirlem17  37638  aks6d1c7lem1  42175  fzdifsuc2  45315  xralrple2  45357  xralrple3  45377  eliccelioc  45526  limcresiooub  45647  limcresioolb  45648  icccncfext  45892  cncfiooiccre  45900  dvbdfbdioolem2  45934  dvnxpaek  45947  volioc  45977  itgioocnicc  45982  iblcncfioo  45983  dirkercncflem1  46108  fourierdlem24  46136  fourierdlem25  46137  fourierdlem32  46144  fourierdlem33  46145  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem46  46157  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem51  46162  fourierdlem64  46175  fourierdlem65  46176  fourierdlem73  46184  fourierdlem76  46187  fourierdlem79  46190  fourierdlem81  46192  fourierdlem82  46193  fourierdlem89  46200  fourierdlem91  46202  fourierdlem102  46213  fourierdlem114  46225  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  etransclem15  46254  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem35  46274  iundjiun  46465  hoidmvlelem2  46601