Theorem leneltd 11299

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11298	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  flltnz  13743  seqf1olem1  13976  isprm5  16646  chnccat  18561  fvmptnn04if  22808  zcld  24773  evth  24929  pmltpclem2  25421  abelthlem2  26413  cos02pilt1  26506  logcj  26586  argimgt0  26592  dvloglem  26628  logf1o2  26630  asinneg  26867  lgslem1  27279  lgseisen  27361  dchrisum0flblem1  27490  ttgcontlem1  28973  axcontlem8  29060  sgnval2  32829  unbdqndv2lem2  36736  poimirlem17  37892  aks6d1c7lem1  42554  fzdifsuc2  45676  xralrple2  45717  xralrple3  45736  eliccelioc  45885  limcresiooub  46004  limcresioolb  46005  icccncfext  46249  cncfiooiccre  46257  dvbdfbdioolem2  46291  dvnxpaek  46304  volioc  46334  itgioocnicc  46339  iblcncfioo  46340  dirkercncflem1  46465  fourierdlem24  46493  fourierdlem25  46494  fourierdlem32  46501  fourierdlem33  46502  fourierdlem41  46510  fourierdlem42  46511  fourierdlem46  46514  fourierdlem48  46516  fourierdlem49  46517  fourierdlem51  46519  fourierdlem64  46532  fourierdlem65  46533  fourierdlem73  46541  fourierdlem76  46544  fourierdlem79  46547  fourierdlem81  46549  fourierdlem82  46550  fourierdlem89  46557  fourierdlem91  46559  fourierdlem102  46570  fourierdlem114  46582  fourierswlem  46592  fouriersw  46593  etransclem15  46611  etransclem24  46620  etransclem25  46621  etransclem35  46631  iundjiun  46822  hoidmvlelem2  46958