Theorem leneltd 11291

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ℝcr 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  flltnz  13735  seqf1olem1  13968  isprm5  16638  chnccat  18553  fvmptnn04if  22797  zcld  24762  evth  24918  pmltpclem2  25410  abelthlem2  26402  cos02pilt1  26495  logcj  26575  argimgt0  26581  dvloglem  26617  logf1o2  26619  asinneg  26856  lgslem1  27268  lgseisen  27350  dchrisum0flblem1  27479  ttgcontlem1  28940  axcontlem8  29027  sgnval2  32795  unbdqndv2lem2  36685  poimirlem17  37809  aks6d1c7lem1  42471  fzdifsuc2  45594  xralrple2  45635  xralrple3  45654  eliccelioc  45803  limcresiooub  45922  limcresioolb  45923  icccncfext  46167  cncfiooiccre  46175  dvbdfbdioolem2  46209  dvnxpaek  46222  volioc  46252  itgioocnicc  46257  iblcncfioo  46258  dirkercncflem1  46383  fourierdlem24  46411  fourierdlem25  46412  fourierdlem32  46419  fourierdlem33  46420  fourierdlem41  46428  fourierdlem42  46429  fourierdlem46  46432  fourierdlem48  46434  fourierdlem49  46435  fourierdlem51  46437  fourierdlem64  46450  fourierdlem65  46451  fourierdlem73  46459  fourierdlem76  46462  fourierdlem79  46465  fourierdlem81  46467  fourierdlem82  46468  fourierdlem89  46475  fourierdlem91  46477  fourierdlem102  46488  fourierdlem114  46500  fourierswlem  46510  fouriersw  46511  etransclem15  46529  etransclem24  46538  etransclem25  46539  etransclem35  46549  iundjiun  46740  hoidmvlelem2  46876