Theorem leneltd 11415

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  flltnz  13851  seqf1olem1  14082  isprm5  16744  fvmptnn04if  22855  zcld  24835  evth  24991  pmltpclem2  25484  abelthlem2  26476  cos02pilt1  26568  logcj  26648  argimgt0  26654  dvloglem  26690  logf1o2  26692  asinneg  26929  lgslem1  27341  lgseisen  27423  dchrisum0flblem1  27552  ttgcontlem1  28899  axcontlem8  28986  unbdqndv2lem2  36511  poimirlem17  37644  aks6d1c7lem1  42181  fzdifsuc2  45322  xralrple2  45365  xralrple3  45385  eliccelioc  45534  limcresiooub  45657  limcresioolb  45658  icccncfext  45902  cncfiooiccre  45910  dvbdfbdioolem2  45944  dvnxpaek  45957  volioc  45987  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  dirkercncflem1  46118  fourierdlem24  46146  fourierdlem25  46147  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem51  46172  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem73  46194  fourierdlem76  46197  fourierdlem79  46200  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203  fourierdlem89  46210  fourierdlem91  46212  fourierdlem102  46223  fourierdlem114  46235  fourierswlem  46245  fouriersw  46246  etransclem15  46264  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem35  46284  iundjiun  46475  hoidmvlelem2  46611