Theorem leneltd 11230

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5092  ℝcr 10971   < clt 11110   ≤ cle 11111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116

This theorem is referenced by:  flltnz  13632  seqf1olem1  13863  isprm5  16509  fvmptnn04if  22104  zcld  24082  evth  24228  pmltpclem2  24719  abelthlem2  25697  cos02pilt1  25788  logcj  25867  argimgt0  25873  dvloglem  25909  logf1o2  25911  asinneg  26142  lgslem1  26551  lgseisen  26633  dchrisum0flblem1  26762  ttgcontlem1  27541  axcontlem8  27628  unbdqndv2lem2  34786  poimirlem17  35899  fzdifsuc2  43184  xralrple2  43228  xralrple3  43248  eliccelioc  43395  limcresiooub  43519  limcresioolb  43520  icccncfext  43764  cncfiooiccre  43772  dvbdfbdioolem2  43806  dvnxpaek  43819  volioc  43849  itgioocnicc  43854  iblcncfioo  43855  dirkercncflem1  43980  fourierdlem24  44008  fourierdlem25  44009  fourierdlem32  44016  fourierdlem33  44017  fourierdlem41  44025  fourierdlem42  44026  fourierdlem46  44029  fourierdlem48  44031  fourierdlem49  44032  fourierdlem51  44034  fourierdlem64  44047  fourierdlem65  44048  fourierdlem73  44056  fourierdlem76  44059  fourierdlem79  44062  fourierdlem81  44064  fourierdlem82  44065  fourierdlem89  44072  fourierdlem91  44074  fourierdlem102  44085  fourierdlem114  44097  fourierswlem  44107  fouriersw  44108  etransclem15  44126  etransclem24  44135  etransclem25  44136  etransclem35  44146  iundjiun  44335  hoidmvlelem2  44471