MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leneltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leneltd 10787
Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3 (𝜑𝐴𝐵)
leneltd.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
leneltd (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd
StepHypRef Expression
1 leneltd.4 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 leltned.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
52, 3, 4leltned 10786 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
61, 5mpbird 260 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cr 10529   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674
This theorem is referenced by:  flltnz  13180  seqf1olem1  13409  isprm5  16044  fvmptnn04if  21457  zcld  23421  evth  23567  pmltpclem2  24056  abelthlem2  25030  cos02pilt1  25121  logcj  25200  argimgt0  25206  dvloglem  25242  logf1o2  25244  asinneg  25475  lgslem1  25884  lgseisen  25966  dchrisum0flblem1  26095  ttgcontlem1  26682  axcontlem8  26768  unbdqndv2lem2  33957  fzdifsuc2  41929  xralrple2  41973  xralrple3  41993  eliccelioc  42145  limcresiooub  42271  limcresioolb  42272  icccncfext  42516  cncfiooiccre  42524  dvbdfbdioolem2  42558  dvnxpaek  42571  volioc  42601  itgioocnicc  42606  iblcncfioo  42607  dirkercncflem1  42732  fourierdlem24  42760  fourierdlem25  42761  fourierdlem32  42768  fourierdlem33  42769  fourierdlem41  42777  fourierdlem42  42778  fourierdlem46  42781  fourierdlem48  42783  fourierdlem49  42784  fourierdlem51  42786  fourierdlem64  42799  fourierdlem65  42800  fourierdlem73  42808  fourierdlem76  42811  fourierdlem79  42814  fourierdlem81  42816  fourierdlem82  42817  fourierdlem89  42824  fourierdlem91  42826  fourierdlem102  42837  fourierdlem114  42849  fourierswlem  42859  fouriersw  42860  etransclem15  42878  etransclem24  42887  etransclem25  42888  etransclem35  42898  iundjiun  43086  hoidmvlelem2  43222
  Copyright terms: Public domain W3C validator