MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leneltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leneltd 11316
Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3 (𝜑𝐴𝐵)
leneltd.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
leneltd (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd
StepHypRef Expression
1 leneltd.4 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 leltned.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
52, 3, 4leltned 11315 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
61, 5mpbird 257 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202
This theorem is referenced by:  flltnz  13723  seqf1olem1  13954  isprm5  16590  fvmptnn04if  22214  zcld  24192  evth  24338  pmltpclem2  24829  abelthlem2  25807  cos02pilt1  25898  logcj  25977  argimgt0  25983  dvloglem  26019  logf1o2  26021  asinneg  26252  lgslem1  26661  lgseisen  26743  dchrisum0flblem1  26872  ttgcontlem1  27875  axcontlem8  27962  unbdqndv2lem2  35002  poimirlem17  36124  fzdifsuc2  43618  xralrple2  43662  xralrple3  43682  eliccelioc  43833  limcresiooub  43957  limcresioolb  43958  icccncfext  44202  cncfiooiccre  44210  dvbdfbdioolem2  44244  dvnxpaek  44257  volioc  44287  itgioocnicc  44292  iblcncfioo  44293  dirkercncflem1  44418  fourierdlem24  44446  fourierdlem25  44447  fourierdlem32  44454  fourierdlem33  44455  fourierdlem41  44463  fourierdlem42  44464  fourierdlem46  44467  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem51  44472  fourierdlem64  44485  fourierdlem65  44486  fourierdlem73  44494  fourierdlem76  44497  fourierdlem79  44500  fourierdlem81  44502  fourierdlem82  44503  fourierdlem89  44510  fourierdlem91  44512  fourierdlem102  44523  fourierdlem114  44535  fourierswlem  44545  fouriersw  44546  etransclem15  44564  etransclem24  44573  etransclem25  44574  etransclem35  44584  iundjiun  44775  hoidmvlelem2  44911
  Copyright terms: Public domain W3C validator