Theorem leneltd 11464

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11463	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349

This theorem is used by:  flltnz  13951  seqf1olem1  14184  isprm5  16883  chnccat  18800  fvmptnn04if  23167  zcld  25133  evth  25280  pmltpclem2  25770  abelthlem2  26759  cos02pilt1  26854  logcj  26934  argimgt0  26940  dvloglem  26976  logf1o2  26978  asinneg  27214  lgslem1  27624  lgseisen  27706  dchrisum0flblem1  27835  ttgcontlem1  29462  axcontlem8  29549  sgnval2  33327  unbdqndv2lem2  37376  poimirlem17  38555  aks6d1c7lem1  43230  fzdifsuc2  46325  xralrple2  46365  xralrple3  46384  eliccelioc  46532  limcresiooub  46651  limcresioolb  46652  icccncfext  46896  cncfiooiccre  46904  dvbdfbdioolem2  46938  dvnxpaek  46951  volioc  46981  itgioocnicc  46986  iblcncfioo  46987  dirkercncflem1  47112  fourierdlem24  47140  fourierdlem25  47141  fourierdlem32  47148  fourierdlem33  47149  fourierdlem41  47157  fourierdlem42  47158  fourierdlem46  47161  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem51  47166  fourierdlem64  47179  fourierdlem65  47180  fourierdlem73  47188  fourierdlem76  47191  fourierdlem79  47194  fourierdlem81  47196  fourierdlem82  47197  fourierdlem89  47204  fourierdlem91  47206  fourierdlem102  47217  fourierdlem114  47229  fourierswlem  47239  fouriersw  47240  etransclem15  47258  etransclem24  47267  etransclem25  47268  etransclem35  47278  iundjiun  47469  hoidmvlelem2  47605