Theorem leneltd 11389

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ℝcr 11124   < clt 11268   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274

This theorem is used by:  flltnz  13873  seqf1olem1  14106  isprm5  16799  chnccat  18715  fvmptnn04if  23075  zcld  25041  evth  25188  pmltpclem2  25678  abelthlem2  26669  cos02pilt1  26764  logcj  26844  argimgt0  26850  dvloglem  26886  logf1o2  26888  asinneg  27124  lgslem1  27534  lgseisen  27616  dchrisum0flblem1  27745  ttgcontlem1  29342  axcontlem8  29429  sgnval2  33207  unbdqndv2lem2  37208  poimirlem17  38387  aks6d1c7lem1  43047  fzdifsuc2  46144  xralrple2  46185  xralrple3  46204  eliccelioc  46352  limcresiooub  46471  limcresioolb  46472  icccncfext  46716  cncfiooiccre  46724  dvbdfbdioolem2  46758  dvnxpaek  46771  volioc  46801  itgioocnicc  46806  iblcncfioo  46807  dirkercncflem1  46932  fourierdlem24  46960  fourierdlem25  46961  fourierdlem32  46968  fourierdlem33  46969  fourierdlem41  46977  fourierdlem42  46978  fourierdlem46  46981  fourierdlem48  46983  fourierdlem49  46984  fourierdlem51  46986  fourierdlem64  46999  fourierdlem65  47000  fourierdlem73  47008  fourierdlem76  47011  fourierdlem79  47014  fourierdlem81  47016  fourierdlem82  47017  fourierdlem89  47024  fourierdlem91  47026  fourierdlem102  47037  fourierdlem114  47049  fourierswlem  47059  fouriersw  47060  etransclem15  47078  etransclem24  47087  etransclem25  47088  etransclem35  47098  iundjiun  47289  hoidmvlelem2  47425