Theorem leneltd 11367

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ℝcr 11108   < clt 11247   ≤ cle 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253

This theorem is referenced by:  flltnz  13775  seqf1olem1  14006  isprm5  16643  fvmptnn04if  22350  zcld  24328  evth  24474  pmltpclem2  24965  abelthlem2  25943  cos02pilt1  26034  logcj  26113  argimgt0  26119  dvloglem  26155  logf1o2  26157  asinneg  26388  lgslem1  26797  lgseisen  26879  dchrisum0flblem1  27008  ttgcontlem1  28139  axcontlem8  28226  unbdqndv2lem2  35381  poimirlem17  36500  fzdifsuc2  44010  xralrple2  44054  xralrple3  44074  eliccelioc  44224  limcresiooub  44348  limcresioolb  44349  icccncfext  44593  cncfiooiccre  44601  dvbdfbdioolem2  44635  dvnxpaek  44648  volioc  44678  itgioocnicc  44683  iblcncfioo  44684  dirkercncflem1  44809  fourierdlem24  44837  fourierdlem25  44838  fourierdlem32  44845  fourierdlem33  44846  fourierdlem41  44854  fourierdlem42  44855  fourierdlem46  44858  fourierdlem48  44860  fourierdlem49  44861  fourierdlem51  44863  fourierdlem64  44876  fourierdlem65  44877  fourierdlem73  44885  fourierdlem76  44888  fourierdlem79  44891  fourierdlem81  44893  fourierdlem82  44894  fourierdlem89  44901  fourierdlem91  44903  fourierdlem102  44914  fourierdlem114  44926  fourierswlem  44936  fouriersw  44937  etransclem15  44955  etransclem24  44964  etransclem25  44965  etransclem35  44975  iundjiun  45166  hoidmvlelem2  45302