Theorem leneltd 11391

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276

This theorem is used by:  flltnz  13875  seqf1olem1  14108  isprm5  16801  chnccat  18717  fvmptnn04if  23077  zcld  25043  evth  25190  pmltpclem2  25680  abelthlem2  26671  cos02pilt1  26766  logcj  26846  argimgt0  26852  dvloglem  26888  logf1o2  26890  asinneg  27126  lgslem1  27536  lgseisen  27618  dchrisum0flblem1  27747  ttgcontlem1  29344  axcontlem8  29431  sgnval2  33209  unbdqndv2lem2  37210  poimirlem17  38389  aks6d1c7lem1  43049  fzdifsuc2  46146  xralrple2  46187  xralrple3  46206  eliccelioc  46354  limcresiooub  46473  limcresioolb  46474  icccncfext  46718  cncfiooiccre  46726  dvbdfbdioolem2  46760  dvnxpaek  46773  volioc  46803  itgioocnicc  46808  iblcncfioo  46809  dirkercncflem1  46934  fourierdlem24  46962  fourierdlem25  46963  fourierdlem32  46970  fourierdlem33  46971  fourierdlem41  46979  fourierdlem42  46980  fourierdlem46  46983  fourierdlem48  46985  fourierdlem49  46986  fourierdlem51  46988  fourierdlem64  47001  fourierdlem65  47002  fourierdlem73  47010  fourierdlem76  47013  fourierdlem79  47016  fourierdlem81  47018  fourierdlem82  47019  fourierdlem89  47026  fourierdlem91  47028  fourierdlem102  47039  fourierdlem114  47051  fourierswlem  47061  fouriersw  47062  etransclem15  47080  etransclem24  47089  etransclem25  47090  etransclem35  47100  iundjiun  47291  hoidmvlelem2  47427