Theorem leneltd 11389

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  flltnz  13828  seqf1olem1  14059  isprm5  16726  fvmptnn04if  22787  zcld  24753  evth  24909  pmltpclem2  25402  abelthlem2  26394  cos02pilt1  26487  logcj  26567  argimgt0  26573  dvloglem  26609  logf1o2  26611  asinneg  26848  lgslem1  27260  lgseisen  27342  dchrisum0flblem1  27471  ttgcontlem1  28864  axcontlem8  28950  sgnval2  32712  unbdqndv2lem2  36528  poimirlem17  37661  aks6d1c7lem1  42193  fzdifsuc2  45339  xralrple2  45381  xralrple3  45401  eliccelioc  45550  limcresiooub  45671  limcresioolb  45672  icccncfext  45916  cncfiooiccre  45924  dvbdfbdioolem2  45958  dvnxpaek  45971  volioc  46001  itgioocnicc  46006  iblcncfioo  46007  dirkercncflem1  46132  fourierdlem24  46160  fourierdlem25  46161  fourierdlem32  46168  fourierdlem33  46169  fourierdlem41  46177  fourierdlem42  46178  fourierdlem46  46181  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem51  46186  fourierdlem64  46199  fourierdlem65  46200  fourierdlem73  46208  fourierdlem76  46211  fourierdlem79  46214  fourierdlem81  46216  fourierdlem82  46217  fourierdlem89  46224  fourierdlem91  46226  fourierdlem102  46237  fourierdlem114  46249  fourierswlem  46259  fouriersw  46260  etransclem15  46278  etransclem24  46287  etransclem25  46288  etransclem35  46298  iundjiun  46489  hoidmvlelem2  46625