Theorem leneltd 11413

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  flltnz  13848  seqf1olem1  14079  isprm5  16741  fvmptnn04if  22871  zcld  24849  evth  25005  pmltpclem2  25498  abelthlem2  26491  cos02pilt1  26583  logcj  26663  argimgt0  26669  dvloglem  26705  logf1o2  26707  asinneg  26944  lgslem1  27356  lgseisen  27438  dchrisum0flblem1  27567  ttgcontlem1  28914  axcontlem8  29001  unbdqndv2lem2  36493  poimirlem17  37624  aks6d1c7lem1  42162  fzdifsuc2  45261  xralrple2  45304  xralrple3  45324  eliccelioc  45474  limcresiooub  45598  limcresioolb  45599  icccncfext  45843  cncfiooiccre  45851  dvbdfbdioolem2  45885  dvnxpaek  45898  volioc  45928  itgioocnicc  45933  iblcncfioo  45934  dirkercncflem1  46059  fourierdlem24  46087  fourierdlem25  46088  fourierdlem32  46095  fourierdlem33  46096  fourierdlem41  46104  fourierdlem42  46105  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem51  46113  fourierdlem64  46126  fourierdlem65  46127  fourierdlem73  46135  fourierdlem76  46138  fourierdlem79  46141  fourierdlem81  46143  fourierdlem82  46144  fourierdlem89  46151  fourierdlem91  46153  fourierdlem102  46164  fourierdlem114  46176  fourierswlem  46186  fouriersw  46187  etransclem15  46205  etransclem24  46214  etransclem25  46215  etransclem35  46225  iundjiun  46416  hoidmvlelem2  46552