Theorem leneltd 11300

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  flltnz  13770  seqf1olem1  14003  isprm5  16677  chnccat  18592  fvmptnn04if  22814  zcld  24779  evth  24926  pmltpclem2  25416  abelthlem2  26397  cos02pilt1  26490  logcj  26570  argimgt0  26576  dvloglem  26612  logf1o2  26614  asinneg  26850  lgslem1  27260  lgseisen  27342  dchrisum0flblem1  27471  ttgcontlem1  28953  axcontlem8  29040  sgnval2  32808  unbdqndv2lem2  36770  poimirlem17  37958  aks6d1c7lem1  42619  fzdifsuc2  45743  xralrple2  45784  xralrple3  45803  eliccelioc  45951  limcresiooub  46070  limcresioolb  46071  icccncfext  46315  cncfiooiccre  46323  dvbdfbdioolem2  46357  dvnxpaek  46370  volioc  46400  itgioocnicc  46405  iblcncfioo  46406  dirkercncflem1  46531  fourierdlem24  46559  fourierdlem25  46560  fourierdlem32  46567  fourierdlem33  46568  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem51  46585  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem73  46607  fourierdlem76  46610  fourierdlem79  46613  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem89  46623  fourierdlem91  46625  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  fourierswlem  46658  fouriersw  46659  etransclem15  46677  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem35  46697  iundjiun  46888  hoidmvlelem2  47024