Theorem leneltd 11372

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258

This theorem is referenced by:  flltnz  13780  seqf1olem1  14011  isprm5  16648  fvmptnn04if  22571  zcld  24549  evth  24705  pmltpclem2  25198  abelthlem2  26180  cos02pilt1  26271  logcj  26350  argimgt0  26356  dvloglem  26392  logf1o2  26394  asinneg  26627  lgslem1  27036  lgseisen  27118  dchrisum0flblem1  27247  ttgcontlem1  28409  axcontlem8  28496  unbdqndv2lem2  35689  poimirlem17  36808  fzdifsuc2  44318  xralrple2  44362  xralrple3  44382  eliccelioc  44532  limcresiooub  44656  limcresioolb  44657  icccncfext  44901  cncfiooiccre  44909  dvbdfbdioolem2  44943  dvnxpaek  44956  volioc  44986  itgioocnicc  44991  iblcncfioo  44992  dirkercncflem1  45117  fourierdlem24  45145  fourierdlem25  45146  fourierdlem32  45153  fourierdlem33  45154  fourierdlem41  45162  fourierdlem42  45163  fourierdlem46  45166  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem51  45171  fourierdlem64  45184  fourierdlem65  45185  fourierdlem73  45193  fourierdlem76  45196  fourierdlem79  45199  fourierdlem81  45201  fourierdlem82  45202  fourierdlem89  45209  fourierdlem91  45211  fourierdlem102  45222  fourierdlem114  45234  fourierswlem  45244  fouriersw  45245  etransclem15  45263  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem35  45283  iundjiun  45474  hoidmvlelem2  45610