Theorem leneltd 11287

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  flltnz  13731  seqf1olem1  13964  isprm5  16634  chnccat  18549  fvmptnn04if  22793  zcld  24758  evth  24914  pmltpclem2  25406  abelthlem2  26398  cos02pilt1  26491  logcj  26571  argimgt0  26577  dvloglem  26613  logf1o2  26615  asinneg  26852  lgslem1  27264  lgseisen  27346  dchrisum0flblem1  27475  ttgcontlem1  28957  axcontlem8  29044  sgnval2  32814  unbdqndv2lem2  36710  poimirlem17  37838  aks6d1c7lem1  42444  fzdifsuc2  45568  xralrple2  45609  xralrple3  45628  eliccelioc  45777  limcresiooub  45896  limcresioolb  45897  icccncfext  46141  cncfiooiccre  46149  dvbdfbdioolem2  46183  dvnxpaek  46196  volioc  46226  itgioocnicc  46231  iblcncfioo  46232  dirkercncflem1  46357  fourierdlem24  46385  fourierdlem25  46386  fourierdlem32  46393  fourierdlem33  46394  fourierdlem41  46402  fourierdlem42  46403  fourierdlem46  46406  fourierdlem48  46408  fourierdlem49  46409  fourierdlem51  46411  fourierdlem64  46424  fourierdlem65  46425  fourierdlem73  46433  fourierdlem76  46436  fourierdlem79  46439  fourierdlem81  46441  fourierdlem82  46442  fourierdlem89  46449  fourierdlem91  46451  fourierdlem102  46462  fourierdlem114  46474  fourierswlem  46484  fouriersw  46485  etransclem15  46503  etransclem24  46512  etransclem25  46513  etransclem35  46523  iundjiun  46714  hoidmvlelem2  46850