Theorem leneltd 10951

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 10950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   class class class wbr 5039  ℝcr 10693   < clt 10832   ≤ cle 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838

This theorem is referenced by:  flltnz  13351  seqf1olem1  13580  isprm5  16227  fvmptnn04if  21700  zcld  23664  evth  23810  pmltpclem2  24300  abelthlem2  25278  cos02pilt1  25369  logcj  25448  argimgt0  25454  dvloglem  25490  logf1o2  25492  asinneg  25723  lgslem1  26132  lgseisen  26214  dchrisum0flblem1  26343  ttgcontlem1  26930  axcontlem8  27016  unbdqndv2lem2  34376  poimirlem17  35480  fzdifsuc2  42463  xralrple2  42507  xralrple3  42527  eliccelioc  42675  limcresiooub  42801  limcresioolb  42802  icccncfext  43046  cncfiooiccre  43054  dvbdfbdioolem2  43088  dvnxpaek  43101  volioc  43131  itgioocnicc  43136  iblcncfioo  43137  dirkercncflem1  43262  fourierdlem24  43290  fourierdlem25  43291  fourierdlem32  43298  fourierdlem33  43299  fourierdlem41  43307  fourierdlem42  43308  fourierdlem46  43311  fourierdlem48  43313  fourierdlem49  43314  fourierdlem51  43316  fourierdlem64  43329  fourierdlem65  43330  fourierdlem73  43338  fourierdlem76  43341  fourierdlem79  43344  fourierdlem81  43346  fourierdlem82  43347  fourierdlem89  43354  fourierdlem91  43356  fourierdlem102  43367  fourierdlem114  43379  fourierswlem  43389  fouriersw  43390  etransclem15  43408  etransclem24  43417  etransclem25  43418  etransclem35  43428  iundjiun  43616  hoidmvlelem2  43752