Theorem leneltd 11368

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  flltnz  13776  seqf1olem1  14007  isprm5  16644  fvmptnn04if  22351  zcld  24329  evth  24475  pmltpclem2  24966  abelthlem2  25944  cos02pilt1  26035  logcj  26114  argimgt0  26120  dvloglem  26156  logf1o2  26158  asinneg  26391  lgslem1  26800  lgseisen  26882  dchrisum0flblem1  27011  ttgcontlem1  28142  axcontlem8  28229  unbdqndv2lem2  35386  poimirlem17  36505  fzdifsuc2  44020  xralrple2  44064  xralrple3  44084  eliccelioc  44234  limcresiooub  44358  limcresioolb  44359  icccncfext  44603  cncfiooiccre  44611  dvbdfbdioolem2  44645  dvnxpaek  44658  volioc  44688  itgioocnicc  44693  iblcncfioo  44694  dirkercncflem1  44819  fourierdlem24  44847  fourierdlem25  44848  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem46  44868  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem51  44873  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem73  44895  fourierdlem76  44898  fourierdlem79  44901  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem89  44911  fourierdlem91  44913  fourierdlem102  44924  fourierdlem114  44936  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  etransclem15  44965  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem35  44985  iundjiun  45176  hoidmvlelem2  45312