Theorem leneltd 11474

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ℝcr 11209   < clt 11353   ≤ cle 11354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359

This theorem is used by:  flltnz  13961  seqf1olem1  14194  isprm5  16895  chnccat  18812  fvmptnn04if  23179  zcld  25145  evth  25292  pmltpclem2  25782  abelthlem2  26771  cos02pilt1  26866  logcj  26946  argimgt0  26952  dvloglem  26988  logf1o2  26990  asinneg  27226  lgslem1  27636  lgseisen  27718  dchrisum0flblem1  27847  ttgcontlem1  29474  axcontlem8  29561  sgnval2  33380  unbdqndv2lem2  37503  poimirlem17  38695  aks6d1c7lem1  43370  fzdifsuc2  46465  xralrple2  46505  xralrple3  46524  eliccelioc  46672  limcresiooub  46791  limcresioolb  46792  icccncfext  47036  cncfiooiccre  47044  dvbdfbdioolem2  47078  dvnxpaek  47091  volioc  47121  itgioocnicc  47126  iblcncfioo  47127  dirkercncflem1  47252  fourierdlem24  47280  fourierdlem25  47281  fourierdlem32  47288  fourierdlem33  47289  fourierdlem41  47297  fourierdlem42  47298  fourierdlem46  47301  fourierdlem48  47303  fourierdlem49  47304  fourierdlem51  47306  fourierdlem64  47319  fourierdlem65  47320  fourierdlem73  47328  fourierdlem76  47331  fourierdlem79  47334  fourierdlem81  47336  fourierdlem82  47337  fourierdlem89  47344  fourierdlem91  47346  fourierdlem102  47357  fourierdlem114  47369  fourierswlem  47379  fouriersw  47380  etransclem15  47398  etransclem24  47407  etransclem25  47408  etransclem35  47418  iundjiun  47609  hoidmvlelem2  47745