Theorem leneltd 11337

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝcr 11072   < clt 11216   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222

This theorem is referenced by:  flltnz  13821  seqf1olem1  14054  isprm5  16742  chnccat  18658  fvmptnn04if  22909  zcld  24874  evth  25021  pmltpclem2  25511  abelthlem2  26495  cos02pilt1  26591  logcj  26671  argimgt0  26677  dvloglem  26713  logf1o2  26715  asinneg  26951  lgslem1  27361  lgseisen  27443  dchrisum0flblem1  27572  ttgcontlem1  29085  axcontlem8  29172  sgnval2  32937  unbdqndv2lem2  36948  poimirlem17  38136  aks6d1c7lem1  42797  fzdifsuc2  45889  xralrple2  45930  xralrple3  45949  eliccelioc  46097  limcresiooub  46216  limcresioolb  46217  icccncfext  46461  cncfiooiccre  46469  dvbdfbdioolem2  46503  dvnxpaek  46516  volioc  46546  itgioocnicc  46551  iblcncfioo  46552  dirkercncflem1  46677  fourierdlem24  46705  fourierdlem25  46706  fourierdlem32  46713  fourierdlem33  46714  fourierdlem41  46722  fourierdlem42  46723  fourierdlem46  46726  fourierdlem48  46728  fourierdlem49  46729  fourierdlem51  46731  fourierdlem64  46744  fourierdlem65  46745  fourierdlem73  46753  fourierdlem76  46756  fourierdlem79  46759  fourierdlem81  46761  fourierdlem82  46762  fourierdlem89  46769  fourierdlem91  46771  fourierdlem102  46782  fourierdlem114  46794  fourierswlem  46804  fouriersw  46805  etransclem15  46823  etransclem24  46832  etransclem25  46833  etransclem35  46843  iundjiun  47034  hoidmvlelem2  47170