Theorem leneltd 11291

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  flltnz  13761  seqf1olem1  13994  isprm5  16668  chnccat  18583  fvmptnn04if  22832  zcld  24797  evth  24944  pmltpclem2  25434  abelthlem2  26415  cos02pilt1  26508  logcj  26588  argimgt0  26594  dvloglem  26630  logf1o2  26632  asinneg  26868  lgslem1  27278  lgseisen  27360  dchrisum0flblem1  27489  ttgcontlem1  28971  axcontlem8  29058  sgnval2  32827  unbdqndv2lem2  36816  poimirlem17  38004  aks6d1c7lem1  42665  fzdifsuc2  45758  xralrple2  45799  xralrple3  45818  eliccelioc  45966  limcresiooub  46085  limcresioolb  46086  icccncfext  46330  cncfiooiccre  46338  dvbdfbdioolem2  46372  dvnxpaek  46385  volioc  46415  itgioocnicc  46420  iblcncfioo  46421  dirkercncflem1  46546  fourierdlem24  46574  fourierdlem25  46575  fourierdlem32  46582  fourierdlem33  46583  fourierdlem41  46591  fourierdlem42  46592  fourierdlem46  46595  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem51  46600  fourierdlem64  46613  fourierdlem65  46614  fourierdlem73  46622  fourierdlem76  46625  fourierdlem79  46628  fourierdlem81  46630  fourierdlem82  46631  fourierdlem89  46638  fourierdlem91  46640  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  etransclem15  46692  etransclem24  46701  etransclem25  46702  etransclem35  46712  iundjiun  46903  hoidmvlelem2  47039