Theorem leneltd 11328

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11327	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  flltnz  13773  seqf1olem1  14006  isprm5  16677  fvmptnn04if  22736  zcld  24702  evth  24858  pmltpclem2  25350  abelthlem2  26342  cos02pilt1  26435  logcj  26515  argimgt0  26521  dvloglem  26557  logf1o2  26559  asinneg  26796  lgslem1  27208  lgseisen  27290  dchrisum0flblem1  27419  ttgcontlem1  28812  axcontlem8  28898  sgnval2  32658  unbdqndv2lem2  36498  poimirlem17  37631  aks6d1c7lem1  42168  fzdifsuc2  45308  xralrple2  45350  xralrple3  45370  eliccelioc  45519  limcresiooub  45640  limcresioolb  45641  icccncfext  45885  cncfiooiccre  45893  dvbdfbdioolem2  45927  dvnxpaek  45940  volioc  45970  itgioocnicc  45975  iblcncfioo  45976  dirkercncflem1  46101  fourierdlem24  46129  fourierdlem25  46130  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem46  46150  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem51  46155  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem73  46177  fourierdlem76  46180  fourierdlem79  46183  fourierdlem81  46185  fourierdlem82  46186  fourierdlem89  46193  fourierdlem91  46195  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  etransclem15  46247  etransclem24  46256  etransclem25  46257  etransclem35  46267  iundjiun  46458  hoidmvlelem2  46594