Theorem leneltd 11129

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  flltnz  13531  seqf1olem1  13762  isprm5  16412  fvmptnn04if  21998  zcld  23976  evth  24122  pmltpclem2  24613  abelthlem2  25591  cos02pilt1  25682  logcj  25761  argimgt0  25767  dvloglem  25803  logf1o2  25805  asinneg  26036  lgslem1  26445  lgseisen  26527  dchrisum0flblem1  26656  ttgcontlem1  27252  axcontlem8  27339  unbdqndv2lem2  34690  poimirlem17  35794  fzdifsuc2  42849  xralrple2  42893  xralrple3  42913  eliccelioc  43059  limcresiooub  43183  limcresioolb  43184  icccncfext  43428  cncfiooiccre  43436  dvbdfbdioolem2  43470  dvnxpaek  43483  volioc  43513  itgioocnicc  43518  iblcncfioo  43519  dirkercncflem1  43644  fourierdlem24  43672  fourierdlem25  43673  fourierdlem32  43680  fourierdlem33  43681  fourierdlem41  43689  fourierdlem42  43690  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem51  43698  fourierdlem64  43711  fourierdlem65  43712  fourierdlem73  43720  fourierdlem76  43723  fourierdlem79  43726  fourierdlem81  43728  fourierdlem82  43729  fourierdlem89  43736  fourierdlem91  43738  fourierdlem102  43749  fourierdlem114  43761  fourierswlem  43771  fouriersw  43772  etransclem15  43790  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem35  43810  iundjiun  43998  hoidmvlelem2  44134