Theorem leneltd 11294

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  flltnz  13764  seqf1olem1  13997  isprm5  16671  chnccat  18586  fvmptnn04if  22827  zcld  24792  evth  24939  pmltpclem2  25429  abelthlem2  26413  cos02pilt1  26506  logcj  26586  argimgt0  26592  dvloglem  26628  logf1o2  26630  asinneg  26866  lgslem1  27277  lgseisen  27359  dchrisum0flblem1  27488  ttgcontlem1  28970  axcontlem8  29057  sgnval2  32826  unbdqndv2lem2  36789  poimirlem17  37975  aks6d1c7lem1  42636  fzdifsuc2  45764  xralrple2  45805  xralrple3  45824  eliccelioc  45972  limcresiooub  46091  limcresioolb  46092  icccncfext  46336  cncfiooiccre  46344  dvbdfbdioolem2  46378  dvnxpaek  46391  volioc  46421  itgioocnicc  46426  iblcncfioo  46427  dirkercncflem1  46552  fourierdlem24  46580  fourierdlem25  46581  fourierdlem32  46588  fourierdlem33  46589  fourierdlem41  46597  fourierdlem42  46598  fourierdlem46  46601  fourierdlem48  46603  fourierdlem49  46604  fourierdlem51  46606  fourierdlem64  46619  fourierdlem65  46620  fourierdlem73  46628  fourierdlem76  46631  fourierdlem79  46634  fourierdlem81  46636  fourierdlem82  46637  fourierdlem89  46644  fourierdlem91  46646  fourierdlem102  46657  fourierdlem114  46669  fourierswlem  46679  fouriersw  46680  etransclem15  46698  etransclem24  46707  etransclem25  46708  etransclem35  46718  iundjiun  46909  hoidmvlelem2  47045