Theorem leneltd 11364

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11363	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ℝcr 11099   < clt 11243   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249

This theorem is referenced by:  flltnz  13844  seqf1olem1  14077  isprm5  16766  chnccat  18682  fvmptnn04if  22975  zcld  24940  evth  25087  pmltpclem2  25577  abelthlem2  26561  cos02pilt1  26657  logcj  26737  argimgt0  26743  dvloglem  26779  logf1o2  26781  asinneg  27017  lgslem1  27427  lgseisen  27509  dchrisum0flblem1  27638  ttgcontlem1  29175  axcontlem8  29262  sgnval2  33021  unbdqndv2lem2  36988  poimirlem17  38176  aks6d1c7lem1  42837  fzdifsuc2  45921  xralrple2  45962  xralrple3  45981  eliccelioc  46129  limcresiooub  46248  limcresioolb  46249  icccncfext  46493  cncfiooiccre  46501  dvbdfbdioolem2  46535  dvnxpaek  46548  volioc  46578  itgioocnicc  46583  iblcncfioo  46584  dirkercncflem1  46709  fourierdlem24  46737  fourierdlem25  46738  fourierdlem32  46745  fourierdlem33  46746  fourierdlem41  46754  fourierdlem42  46755  fourierdlem46  46758  fourierdlem48  46760  fourierdlem49  46761  fourierdlem51  46763  fourierdlem64  46776  fourierdlem65  46777  fourierdlem73  46785  fourierdlem76  46788  fourierdlem79  46791  fourierdlem81  46793  fourierdlem82  46794  fourierdlem89  46801  fourierdlem91  46803  fourierdlem102  46814  fourierdlem114  46826  fourierswlem  46836  fouriersw  46837  etransclem15  46855  etransclem24  46864  etransclem25  46865  etransclem35  46875  iundjiun  47066  hoidmvlelem2  47202