Theorem leneltd 11359

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 11358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  flltnz  13840  seqf1olem1  14073  isprm5  16761  chnccat  18677  fvmptnn04if  23006  zcld  24971  evth  25118  pmltpclem2  25608  abelthlem2  26595  cos02pilt1  26691  logcj  26771  argimgt0  26777  dvloglem  26813  logf1o2  26815  asinneg  27051  lgslem1  27461  lgseisen  27543  dchrisum0flblem1  27672  ttgcontlem1  29234  axcontlem8  29321  sgnval2  33080  unbdqndv2lem2  37119  poimirlem17  38308  aks6d1c7lem1  42967  fzdifsuc2  46049  xralrple2  46090  xralrple3  46109  eliccelioc  46257  limcresiooub  46376  limcresioolb  46377  icccncfext  46621  cncfiooiccre  46629  dvbdfbdioolem2  46663  dvnxpaek  46676  volioc  46706  itgioocnicc  46711  iblcncfioo  46712  dirkercncflem1  46837  fourierdlem24  46865  fourierdlem25  46866  fourierdlem32  46873  fourierdlem33  46874  fourierdlem41  46882  fourierdlem42  46883  fourierdlem46  46886  fourierdlem48  46888  fourierdlem49  46889  fourierdlem51  46891  fourierdlem64  46904  fourierdlem65  46905  fourierdlem73  46913  fourierdlem76  46916  fourierdlem79  46919  fourierdlem81  46921  fourierdlem82  46922  fourierdlem89  46929  fourierdlem91  46931  fourierdlem102  46942  fourierdlem114  46954  fourierswlem  46964  fouriersw  46965  etransclem15  46983  etransclem24  46992  etransclem25  46993  etransclem35  47003  iundjiun  47194  hoidmvlelem2  47330