Theorem elfznelfzo 13767

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13622	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		nn0z 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	2, 3	anim12i 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6		elfzom1b 13761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
8	7	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9		elfzo0 13703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
11	10	notbid 317	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12		3ianor 1104	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13		elnnne0 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0))
14		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
15	14	anbi2i 621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
16	13, 15	bitr2i 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
19	18	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
20	19	con1d 145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → 𝑀 = 0))
21	20	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
22	21	orcd 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
23	22	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26		ioran 981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27		nn1m1nn 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29		necom 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀)
30		nn0re 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
32		nn0re 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
34	33	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
35		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
36	31, 34, 35	leltned 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀))
37	29, 36	bitr4id 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
38	37	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
39		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
40	39	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41		1red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
42	41, 33, 41	ltsub1d 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43		1m1e0 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (1 − 1) = 0
44	43	breq1i 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45		1zzd 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
46	3, 45	zsubcld 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
47	46	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
48	47	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50		elnnz 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
51	48, 49, 50	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
52	51	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
53	44, 52	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
54	42, 53	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
55	40, 54	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
56	55	expd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
58	57	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
59	38, 58	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
60	59	exp31 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
61	60	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
62	28, 61	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
64	63	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
65	64	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
66	65	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
67	66	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
68	30	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
69	32	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70		1red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
71	68, 69, 70	lesub1d 11849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
72	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73		1zzd 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
74	72, 73	zsubcld 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75		nngt0 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76		0red 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77		peano2rem 11555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
78	30, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
79	78	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80		peano2rem 11555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
81	32, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
82	81	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83		ltletr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
84	76, 79, 82, 83	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
85	84	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
86	85	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
87	86	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
88	87	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
89	75, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
90	89	imp41 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
91	74, 90, 50	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
93	92	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
94	71, 93	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
95	94	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
96	95	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
97	96	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
98	67, 97	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
99	27, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
100	13, 99	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101	100	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102	101	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103	102	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
104	103	3imp 1108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105	104	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
106	14, 105	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107	106	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
108	26, 107	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109	108	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110	109	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111	110	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
112	30	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
113	32	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		1red 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115	112, 113, 114	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
116	115	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117		ltsub1 11738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119	118	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120	119	notbid 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121		eqlelt 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
122	30, 32, 121	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123	122	biimpar 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124	123	olcd 872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125	124	exp43 435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
126	125	3imp 1108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127	120, 126	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128	127	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
129	25, 111, 128	3jaoi 1424	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
130	12, 129	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131	130	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
132	11, 131	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
133	8, 132	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
134	1, 133	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135	134	imp 405	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12586  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658

This theorem is referenced by:  elfznelfzob  13768  injresinjlem  13782