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Theorem elfznelfzo 13677
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 13532 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾))
2 nn0z 12524 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 12524 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
543adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6 elfzom1b 13671 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
87notbid 317 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9 elfzo0 13613 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
1110notbid 317 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12 3ianor 1107 . . . . . . 7 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13 elnnne0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0))
14 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1514anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
1613, 15bitr2i 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1918ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
2019con1d 145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 = 0))
2120imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
2221orcd 871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2322ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26 ioran 982 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27 nn1m1nn 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29 necom 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀𝐾𝐾𝑀)
30 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
32 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀𝐾)
3631, 34, 35leltned 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾𝐾𝑀))
3729, 36bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
39 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
4039biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
4241, 33, 41ltsub1d 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (1 − 1) = 0
4443breq1i 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
463, 45zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
5148, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
5251ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5344, 52biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5442, 53sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5540, 54syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5655expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5857imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5938, 58sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
6059exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6160com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6228, 61sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑀 = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6362com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6463com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6564ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6665com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6766com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6830ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6932adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7168, 69, 70lesub1d 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
723ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
7472, 73zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7830, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8132, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8476, 79, 82, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8584ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
8685com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
8786ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
8887com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
8975, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
9089imp41 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
9174, 90, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
9392ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9471, 93sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9594ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9796ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9867, 97jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9927, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
10013, 99sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101100ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102101pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103102com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
1041033imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105104com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
10614, 105sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107106imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
10826, 107sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109108com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110109con1d 145 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111110com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
11230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
11332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115112, 113, 1143jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
1161153adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117 ltsub1 11651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119118bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120119notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121 eqlelt 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
12230, 32, 121syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123122biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124123olcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125124exp43 437 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
1261253imp 1111 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127120, 126sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128127com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
12925, 111, 1283jaoi 1427 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13012, 129sylbi 216 . . . . . 6 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131130com12 32 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13211, 131sylbid 239 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1338, 132sylbid 239 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1341, 133sylbi 216 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135134imp 407 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  13678  injresinjlem  13692
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