Theorem elfznelfzo 13862

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13706	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		nn0z 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6		elfzom1b 13855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
8	7	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9		elfzo0 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
11	10	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12		3ianor 1124	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13		elnnne0 12575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0))
14		df-ne 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
15	14	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
16	13, 15	bitr2i 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 12602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
20	19	con1d 146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → 𝑀 = 0))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
22	21	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26		ioran 999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27		nn1m1nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28		df-ne 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29		necom 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀)
30		nn0re 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
32		nn0re 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
36	31, 34, 35	leltned 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀))
37	29, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
39		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
40	39	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41		1red 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
42	41, 33, 41	ltsub1d 11880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43		1m1e0 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (1 − 1) = 0
44	43	breq1i 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
46	3, 45	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50		elnnz 12658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
51	48, 49, 50	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
52	51	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
53	44, 52	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
54	42, 53	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
55	40, 54	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
56	55	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
58	57	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
59	38, 58	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
60	59	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
61	60	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
62	28, 61	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
63	62	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
64	63	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
65	64	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
66	65	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
67	66	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
68	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
69	32	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70		1red 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
71	68, 69, 70	lesub1d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
72	3	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
74	72, 73	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76		0red 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77		peano2rem 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
78	30, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80		peano2rem 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
81	32, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
82	81	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83		ltletr 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
84	76, 79, 82, 83	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
85	84	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
86	85	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
87	86	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
88	87	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
89	75, 88	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
90	89	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
91	74, 90, 50	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
92	91	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
93	92	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
94	71, 93	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
95	94	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
96	95	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
97	96	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
98	67, 97	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
99	27, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
100	13, 99	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101	100	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102	101	pm2.43a 55	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103	102	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
104	103	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105	104	com3l 90	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
106	14, 105	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107	106	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
108	26, 107	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109	108	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110	109	con1d 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111	110	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
112	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
113	32	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		1red 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115	112, 113, 114	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
116	115	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117		ltsub1 11767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118	116, 117	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119	118	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120	119	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121		eqlelt 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
122	30, 32, 121	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123	122	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124	123	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125	124	exp43 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
126	125	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127	120, 126	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128	127	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
129	25, 111, 128	3jaoi 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
130	12, 129	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131	130	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
132	11, 131	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
133	8, 132	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
134	1, 133	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135	134	imp 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ...cfz 13594  ..^cfzo 13742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743

This theorem is used by:  elfznelfzob  13863  injresinjlem  13879