Theorem elfznelfzo 12784

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12641	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
2		nn0z 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		nn0z 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	2, 3	anim12i 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	3adant3 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6		elfzom1b 12778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
8	7	notbid 309	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9		elfzo0 12720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
11	10	notbid 309	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12		3ianor 1132	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13		elnnne0 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0))
14		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
15	14	anbi2i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
16	13, 15	bitr2i 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 11583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	sylbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
19	18	ex 401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
20	19	con1d 141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → 𝑀 = 0))
21	20	imp 395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
22	21	orcd 899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
23	22	ex 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26		ioran 1006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27		nn1m1nn 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29		nn0re 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
30	29	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
31		nn0re 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
35	30, 33, 34	leltned 10446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀))
36		necom 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀)
37	35, 36	syl6rbbr 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
39		breq1 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
40	39	biimpa 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41		1red 10296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
42	41, 32, 41	ltsub1d 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43		1m1e0 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (1 − 1) = 0
44	43	breq1i 4818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45		1zzd 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
46	3, 45	zsubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50		elnnz 11636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
51	48, 49, 50	sylanbrc 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
52	51	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
53	44, 52	syl5bi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
54	42, 53	sylbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
55	40, 54	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
56	55	expd 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
58	57	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
59	38, 58	sylbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
60	59	exp31 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
61	60	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
62	28, 61	sylbir 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
64	63	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
65	64	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
66	65	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
67	66	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
68	29	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
69	31	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70		1red 10296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
71	68, 69, 70	lesub1d 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
72	3	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73		1zzd 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
74	72, 73	zsubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75		nngt0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76		0red 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77		peano2rem 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
78	29, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
79	78	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80		peano2rem 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
81	31, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
82	81	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83		ltletr 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
84	76, 79, 82, 83	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
85	84	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
86	85	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
87	86	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
88	87	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
89	75, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
90	89	imp41 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
91	74, 90, 50	sylanbrc 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
93	92	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
94	71, 93	sylbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
95	94	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
96	95	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
97	96	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
98	67, 97	jaoi 883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
99	27, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
100	13, 99	sylbir 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101	100	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102	101	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103	102	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
104	103	3imp 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105	104	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
106	14, 105	sylbir 226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107	106	imp 395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
108	26, 107	sylbi 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109	108	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110	109	con1d 141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111	110	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
112	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
113	31	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		1red 10296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115	112, 113, 114	3jca 1158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
116	115	3adant3 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117		ltsub1 10780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119	118	bicomd 214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120	119	notbid 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121		eqlelt 10381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
122	29, 31, 121	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123	122	biimpar 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124	123	olcd 900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125	124	exp43 427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
126	125	3imp 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127	120, 126	sylbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128	127	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
129	25, 111, 128	3jaoi 1552	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
130	12, 129	sylbi 208	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131	130	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
132	11, 131	sylbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
133	8, 132	sylbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
134	1, 133	sylbi 208	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135	134	imp 395	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 873   ∨ w3o 1106   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  ℝcr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   < clt 10330   ≤ cle 10331   − cmin 10522  ℕcn 11276  ℕ₀cn0 11540  ℤcz 11626  ...cfz 12536  ..^cfzo 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677

This theorem is referenced by:  elfznelfzob  12785  injresinjlem  12799