Theorem elfznelfzo 13482

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13338	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		nn0z 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6		elfzom1b 13476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
8	7	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9		elfzo0 13418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
11	10	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12		3ianor 1106	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13		elnnne0 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0))
14		df-ne 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
15	14	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
16	13, 15	bitr2i 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
19	18	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
20	19	con1d 145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → 𝑀 = 0))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
22	21	orcd 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
23	22	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24	23	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26		ioran 981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27		nn1m1nn 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28		df-ne 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29		necom 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀)
30		nn0re 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
32		nn0re 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
36	31, 34, 35	leltned 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≠ 𝑀))
37	29, 36	bitr4id 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ 𝑀 < 𝐾))
39		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
40	39	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
42	41, 33, 41	ltsub1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43		1m1e0 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (1 − 1) = 0
44	43	breq1i 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
46	3, 45	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50		elnnz 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
51	48, 49, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
52	51	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
53	44, 52	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
54	42, 53	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
55	40, 54	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
56	55	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
58	57	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
59	38, 58	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
60	59	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
61	60	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
62	28, 61	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
64	63	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
65	64	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
66	65	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
67	66	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
68	30	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
69	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
71	68, 69, 70	lesub1d 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
72	3	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
74	72, 73	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75		nngt0 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76		0red 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77		peano2rem 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
78	30, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80		peano2rem 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
81	32, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83		ltletr 11059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
84	76, 79, 82, 83	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
85	84	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
86	85	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
87	86	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
88	87	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
89	75, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
90	89	imp41 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
91	74, 90, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
93	92	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
94	71, 93	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
95	94	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
96	95	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
97	96	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
98	67, 97	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
99	27, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
100	13, 99	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101	100	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102	101	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103	102	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
104	103	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105	104	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
106	14, 105	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107	106	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
108	26, 107	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109	108	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110	109	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111	110	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
112	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
113	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115	112, 113, 114	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
116	115	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117		ltsub1 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119	118	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120	119	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121		eqlelt 11055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
122	30, 32, 121	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123	122	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124	123	olcd 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125	124	exp43 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
126	125	3imp 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127	120, 126	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128	127	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
129	25, 111, 128	3jaoi 1426	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
130	12, 129	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131	130	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
132	11, 131	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
133	8, 132	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
134	1, 133	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135	134	imp 407	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  (class class class)co 7269  ℝcr 10863  0cc0 10864  1c1 10865   < clt 11002   ≤ cle 11003   − cmin 11197  ℕcn 11965  ℕ₀cn0 12225  ℤcz 12311  ...cfz 13230  ..^cfzo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374

This theorem is referenced by:  elfznelfzob  13483  injresinjlem  13497