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Theorem requad2 45805
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad2 (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝜑,𝑝,𝑥

Proof of Theorem requad2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 elelpwi 4570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑝𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑥𝑝𝑥 ∈ ℝ))
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑥𝑝𝑥 ∈ ℝ))
1514imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝑥 ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 requad2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1817ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
193, 5, 8, 11, 16, 18quad 26190 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥𝑝) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
2019ralbidva 3172 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
2120anbi2d 629 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
2221reubidva 3369 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
23 eqid 2736 . . . . . . . 8 {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}
2423pairreueq 45692 . . . . . . 7 (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
2524bicomi 223 . . . . . 6 (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
2625a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
276renegcld 11582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
296resqcld 14030 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
30 4re 12237 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
321, 9remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
3331, 32remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
3429, 33resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
3517, 34eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
37 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
3836, 37resqrtcld 15302 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
3928, 38readdcld 11184 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
40 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4241, 1remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
44 2cnne0 12363 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
46 mulne0 11797 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
4745, 2, 4, 46syl12anc 835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
4939, 43, 48redivcld 11983 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
506adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
5150renegcld 11582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
5251, 38resubcld 11583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
5340a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
541adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
5553, 54remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5652, 55, 48redivcld 11983 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
57 fveqeq2 6851 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑥 → ((♯‘𝑞) = 2 ↔ (♯‘𝑥) = 2))
5857cbvrabv 3417 . . . . . 6 {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
5949, 56, 58paireqne 45693 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
607negcld 11499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
6135recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6261sqrtcld 15322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
6360, 62addcld 11174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
6460, 62subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
65 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6665, 2mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
67 div11 11841 . . . . . . . . . 10 (((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
6863, 64, 66, 47, 67syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
6960, 62negsubd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-𝐵 + -(√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)))
7069eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)))
7170eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷))))
7262negcld 11499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
7360, 62, 72addcand 11358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
7468, 71, 733bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
7574necon3bid 2988 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
7675adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
77 cnsqrt00 15277 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7861, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7978necon3bid 2988 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
8079adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
8162eqnegd 11876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
8281adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
8382necon3bid 2988 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) ≠ 0))
84 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
8584, 36, 37leltned 11308 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (0 < 𝐷𝐷 ≠ 0))
8680, 83, 853bitr4d 310 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ 0 < 𝐷))
8776, 86bitrd 278 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 0 < 𝐷))
8826, 59, 873bitrd 304 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ 0 < 𝐷))
8922, 88bitrd 278 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
9089expcom 414 . 2 (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
91 hash2prb 14371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎𝑝𝑏𝑝 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎𝑝𝑏𝑝 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
93 raleq 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
94 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 ∈ V
95 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏 ∈ V
96 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
9796oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑎↑2)))
98 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑎))
9998oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶))
10097, 99oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)))
101100eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑎 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0))
102 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
103102oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
104 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑏))
105104oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
106103, 105oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
107106eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
10894, 95, 101, 107ralpr 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
10993, 108bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) ∧ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
112 elelpwi 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏𝑝𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
113112ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏𝑝 → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎𝑝𝑏𝑝) → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((𝑎𝑝𝑏𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((𝑎𝑝𝑏𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
117116imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) → 𝑏 ∈ ℝ)
118 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
119118oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑦↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
120 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑏))
121120oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
122119, 121oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
123122eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
125117, 124rspcedv 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
126125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) ∧ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
127126adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) ∧ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → ((((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
128111, 127sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) ∧ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
129128ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎𝑝𝑏𝑝)) → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
130129rexlimdvva 3205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃𝑎𝑝𝑏𝑝 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
13192, 130sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 → (∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
132131impd 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
133132rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
1341, 4, 6, 9, 17requad01 45803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
135133, 134sylibd 238 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 ≤ 𝐷))
136135con3d 152 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
137136impcom 408 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
138 reurex 3357 . . . . . 6 (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
139137, 138nsyl 140 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
140139pm2.21d 121 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 < 𝐷))
141 0red 11158 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
142 ltle 11243 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
143141, 35, 142syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
144 pm2.24 124 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
145143, 144syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
146145com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
147146impcom 408 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
148140, 147impbid 211 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
149148ex 413 . 2 (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
15090, 149pm2.61i 182 1 (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  {crab 3407  𝒫 cpw 4560  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  cexp 13967  chash 14230  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  46861
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