Theorem requad2 47865

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
requad2	⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝜑,𝑝,𝑥

Proof of Theorem requad2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		elelpwi 4564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
15	14	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		requad2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
18	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
19	3, 5, 8, 11, 16, 18	quad 26806	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
20	19	ralbidva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
21	20	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
22	21	reubidva 3364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
23		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}
24	23	pairreueq 47752	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
25	24	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
27	6	renegcld 11564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
29	6	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
30		4re 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
32	1, 9	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
33	31, 32	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	29, 33	resubcld 11565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
35	17, 34	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
38	36, 37	resqrtcld 15341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
39	28, 38	readdcld 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
40		2re 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
42	41, 1	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
44		2cnne0 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
46		mulne0 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
47	45, 2, 4, 46	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
49	39, 43, 48	redivcld 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
50	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
52	51, 38	resubcld 11565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
53	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
54	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	53, 54	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	52, 55, 48	redivcld 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
57		fveqeq2 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((♯‘𝑞) = 2 ↔ (♯‘𝑥) = 2))
58	57	cbvrabv 3409	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
59	49, 56, 58	paireqne 47753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
60	7	negcld 11479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
61	35	recnd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
62	61	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
64	60, 62	subcld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
65		2cnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66	65, 2	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
67		div11 11824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
68	63, 64, 66, 47, 67	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
69	60, 62	negsubd 11498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + -(√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)))
70	69	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)))
71	70	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷))))
72	62	negcld 11479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
73	60, 62, 72	addcand 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
74	68, 71, 73	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
75	74	necon3bid 2976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
77		cnsqrt00 15316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
78	61, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
79	78	necon3bid 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
80	79	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
81	62	eqnegd 11862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
82	81	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
83	82	necon3bid 2976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) ≠ 0))
84		0red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
85	84, 36, 37	leltned 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (0 < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ 0))
86	80, 83, 85	3bitr4d 311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ 0 < 𝐷))
87	76, 86	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 0 < 𝐷))
88	26, 59, 87	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ 0 < 𝐷))
89	22, 88	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
90	89	expcom 413	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
91		hash2prb 14395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
93		raleq 3293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
94		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑎 ∈ V
95		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑏 ∈ V
96		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
97	96	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑎↑2)))
98		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑎))
99	98	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶))
100	97, 99	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)))
101	100	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0))
102		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
103	102	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
104		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑏))
105	104	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
106	103, 105	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
107	106	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
108	94, 95, 101, 107	ralpr 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
109	93, 108	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
112		elelpwi 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
113	112	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑝 → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
115	114	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
116	115	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
117	116	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
119	118	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑦↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
120		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑏))
121	120	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
122	119, 121	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
123	122	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
125	117, 124	rspcedv 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
127	126	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → ((((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
128	111, 127	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
129	128	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
130	129	rexlimdvva 3193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
131	92, 130	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
132	131	impd 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
133	132	rexlimdva 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
134	1, 4, 6, 9, 17	requad01 47863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
135	133, 134	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 ≤ 𝐷))
136	135	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
137	136	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
138		reurex 3354	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
139	137, 138	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
140	139	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 < 𝐷))
141		0red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
142		ltle 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
143	141, 35, 142	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
144		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
145	143, 144	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
146	145	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
147	146	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
148	140, 147	impbid 212	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
149	148	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
150	90, 149	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348  {crab 3399  𝒫 cpw 4554  {cpr 4582   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  4c4 12202  ↑cexp 13984  ♯chash 14253  √csqrt 15156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  49027