Theorem requad2 43787

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
requad2	⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝜑,𝑝,𝑥

Proof of Theorem requad2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		elelpwi 4550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	expcom 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
14	13	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
15	14	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		requad2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
18	17	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
19	3, 5, 8, 11, 16, 18	quad 25417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
20	19	ralbidva 3196	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
21	20	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
22	21	reubidva 3388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
23		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}
24	23	pairreueq 43671	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
25	24	bicomi 226	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
27	6	renegcld 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
29	6	resqcld 13610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
30		4re 11720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
32	1, 9	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
33	31, 32	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	29, 33	resubcld 11067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
35	17, 34	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
36	35	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
37		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
38	36, 37	resqrtcld 14776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
39	28, 38	readdcld 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
40		2re 11710	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
42	41, 1	remulcld 10670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
43	42	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
44		2cnne0 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
46		mulne0 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
47	45, 2, 4, 46	syl12anc 834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
48	47	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
49	39, 43, 48	redivcld 11467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
50	6	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
52	51, 38	resubcld 11067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
53	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
54	1	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	53, 54	remulcld 10670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	52, 55, 48	redivcld 11467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
57		fveqeq2 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((♯‘𝑞) = 2 ↔ (♯‘𝑥) = 2))
58	57	cbvrabv 3491	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
59	49, 56, 58	paireqne 43672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
60	7	negcld 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
61	35	recnd 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
62	61	sqrtcld 14796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 10659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
64	60, 62	subcld 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
65		2cnd 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66	65, 2	mulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
67		div11 11325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
68	63, 64, 66, 47, 67	syl112anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷))))
69	60, 62	negsubd 11002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + -(√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)))
70	69	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)))
71	70	eqeq2d 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 − (√‘𝐷)) ↔ (-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷))))
72	62	negcld 10983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
73	60, 62, 72	addcand 10842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) = (-𝐵 + -(√‘𝐷)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
74	68, 71, 73	3bitrd 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
75	74	necon3bid 3060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
76	75	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
77		cnsqrt00 14751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
78	61, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
79	78	necon3bid 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
80	79	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
81	62	eqnegd 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
82	81	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
83	82	necon3bid 3060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) ≠ 0))
84		0red 10643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
85	84, 36, 37	leltned 10792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (0 < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ 0))
86	80, 83, 85	3bitr4d 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ 0 < 𝐷))
87	76, 86	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 0 < 𝐷))
88	26, 59, 87	3bitrd 307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ 0 < 𝐷))
89	22, 88	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
90	89	expcom 416	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
91		hash2prb 13829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
92	91	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
93		raleq 3405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
94		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑎 ∈ V
95		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑏 ∈ V
96		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
97	96	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑎↑2)))
98		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑎))
99	98	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶))
100	97, 99	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)))
101	100	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0))
102		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
103	102	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
104		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑏))
105	104	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
106	103, 105	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
107	106	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
108	94, 95, 101, 107	ralpr 4635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
109	93, 108	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
110	109	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
111	110	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
112		elelpwi 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
113	112	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑝 → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
114	113	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
115	114	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
116	115	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
117	116	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
119	118	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑦↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
120		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑏))
121	120	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
122	119, 121	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
123	122	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
124	123	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
125	117, 124	rspcedv 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
126	125	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
127	126	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → ((((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
128	111, 127	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
129	128	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
130	129	rexlimdvva 3294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
131	92, 130	sylbid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
132	131	impd 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
133	132	rexlimdva 3284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
134	1, 4, 6, 9, 17	requad01 43785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
135	133, 134	sylibd 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 ≤ 𝐷))
136	135	con3d 155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
137	136	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
138		reurex 3431	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
139	137, 138	nsyl 142	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
140	139	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 < 𝐷))
141		0red 10643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
142		ltle 10728	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
143	141, 35, 142	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
144		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
145	143, 144	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
146	145	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
147	146	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
148	140, 147	impbid 214	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
149	148	ex 415	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
150	90, 149	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140  {crab 3142  𝒫 cpw 4538  {cpr 4568   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11691  4c4 11693  ↑cexp 13428  ♯chash 13689  √csqrt 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  44771