Theorem requad2 48814

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
requad2	⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝜑,𝑝,𝑥

Proof of Theorem requad2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑝 → 𝑥 ∈ ℝ))
15	14	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		requad2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
18	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
19	3, 5, 8, 11, 16, 18	quad 27173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑝) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
20	19	ralbidva 3183	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
21	20	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
22	21	reubidva 3379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))))
23		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}
24	23	pairreueq 48685	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
25	24	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ ∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
27	6	renegcld 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
29	6	resqcld 14271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
30		4re 12430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
32	1, 9	remulcld 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
33	31, 32	remulcld 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	29, 33	resubcld 11747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
35	17, 34	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
38	36, 37	resqrtcld 15590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
39	28, 38	readdcld 11341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ( -𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
40		2re 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
42	41, 1	remulcld 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
43	42	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
44		2cnne0 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
46		mulne0 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
47	45, 2, 4, 46	syl12anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
48	47	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
49	39, 43, 48	redivcld 12148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
50	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
52	51, 38	resubcld 11747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
53	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
54	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	53, 54	remulcld 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	52, 55, 48	redivcld 12148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
57		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((♯‘𝑞) = 2 ↔ (♯‘𝑥) = 2))
58	57	cbvrabv 3422	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
59	49, 56, 58	paireqne 48686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (♯‘𝑞) = 2}∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
60	7	negcld 11659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
61	35	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
62	61	sqrtcld 15612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 11331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
64	60, 62	subcld 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
65		2cnd 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66	65, 2	mulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
67		div11 12005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ( -𝐵 + (√‘𝐷)) = ( -𝐵 − (√‘𝐷))))
68	63, 64, 66, 47, 67	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ( -𝐵 + (√‘𝐷)) = ( -𝐵 − (√‘𝐷))))
69	60, 62	negsubd 11678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + -(√‘𝐷)) = ( -𝐵 − (√‘𝐷)))
70	69	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 − (√‘𝐷)) = ( -𝐵 + -(√‘𝐷)))
71	70	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) = ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ↔ ( -𝐵 + (√‘𝐷)) = ( -𝐵 + -(√‘𝐷))))
72	62	negcld 11659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
73	60, 62, 72	addcand 11516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) = ( -𝐵 + -(√‘𝐷)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
74	68, 71, 73	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
75	74	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
76	75	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷)))
77		cnsqrt00 15565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
78	61, 77	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
79	78	necon3bid 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
80	79	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ 0 ↔ 𝐷 ≠ 0))
81	62	eqnegd 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
82	81	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
83	82	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) ≠ 0))
84		0red 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
85	84, 36, 37	leltned 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (0 < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ 0))
86	80, 83, 85	3bitr4d 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) ≠ -(√‘𝐷) ↔ 0 < 𝐷))
87	76, 86	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ≠ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 0 < 𝐷))
88	26, 59, 87	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) ↔ 0 < 𝐷))
89	22, 88	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
90	89	expcom 419	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
91		hash2prb 14620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
92	91	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
93		raleq 3316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
94		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑎 ∈ V
95		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑏 ∈ V
96		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
97	96	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑎↑2)))
98		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑎))
99	98	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶))
100	97, 99	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)))
101	100	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0))
102		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
103	102	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
104		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑏))
105	104	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
106	103, 105	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
107	106	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
108	94, 95, 101, 107	ralpr 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏} ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
109	93, 108	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
111	110	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0)))
112		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
113	112	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑝 → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
114	113	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑏 ∈ ℝ))
115	114	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℝ → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
116	115	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝) → 𝑏 ∈ ℝ))
117	116	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
119	118	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐴 · (𝑦↑2)) = (𝐴 · (𝑏↑2)))
120		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑏))
121	120	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶))
122	119, 121	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)))
123	122	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
124	123	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0))
125	117, 124	rspcedv 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
126	125	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
127	126	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → ((((𝐴 · (𝑎↑2)) + ((𝐵 · 𝑎) + 𝐶)) = 0 ∧ ((𝐴 · (𝑏↑2)) + ((𝐵 · 𝑏) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
128	111, 127	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
129	128	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (𝑎 ∈ 𝑝 ∧ 𝑏 ∈ 𝑝)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
130	129	rexlimdvva 3219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
131	92, 130	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → ((♯‘𝑝) = 2 → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0)))
132	131	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
133	132	rexlimdva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0))
134	1, 4, 6, 9, 17	requad01 48812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑦↑2)) + ((𝐵 · 𝑦) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
135	133, 134	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 ≤ 𝐷))
136	135	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
137	136	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
138		reurex 3369	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
139	137, 138	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
140	139	pm2.21d 122	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) → 0 < 𝐷))
141		0red 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
142		ltle 11401	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
143	141, 35, 142	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))
144		pm2.24 125	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
145	143, 144	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
146	145	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))))
147	146	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (0 < 𝐷 → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)))
148	140, 147	impbid 215	. . 3 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))
149	148	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷)))
150	90, 149	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑝) = 2 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) ↔ 0 < 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  {crab 3412  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  4c4 12402  ↑cexp 14207  ♯chash 14477  √csqrt 15405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408

This theorem is used by:  itscnhlinecirc02p  49990