clwlkclwwlklem2a4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a4 30029

Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 30030. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a4	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑥,𝐼 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)))
2		lencl 14581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
3		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
4	3	clwlkclwwlklem2fv2 30028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
5	2, 4	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
6	1, 5	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
7	6	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
8	7	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
9	8	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
10	9	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
11	10	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12		f1f1orn 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
14	13	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
15		lsw 14612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
16	15	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
19		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsubd 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
22		2m1e1 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
24	23	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑃) − 1))
25	21, 24	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
26	2, 17, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
28	27	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
29		eqeq2 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
30	29	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
34	16, 33	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
38	37	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
40	39	preq2d 4765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
42		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
43	41, 42	preq12d 4766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
44	43	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
46	40, 45	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
47	46	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
48	47	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
49	48	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
50	49	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
51		f1ocnvfv2 7313	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
52	14, 50, 51	syl2an2 685	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
53		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
54	53	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
55		1e2m1 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (2 − 1)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
57	56	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
58	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
59		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
60		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	subsubd 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
62	57, 61	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
63	62	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
64	54, 63	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
66	16, 65	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
67	66	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
68	67	preq2d 4765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
70	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
71	69, 70	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
72	71	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
73	72	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
74	73	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
75	74	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
76	75	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
77	76	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
78	77	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
79	11, 52, 78	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
80		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
81		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
82	81, 22	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = 1)
83	82	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
84	83	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
85		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
86		2cn 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	86	subidi 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 2) = 0
88	85, 87	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = 0)
89	88	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
90	89	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
91	84, 90	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
92		elsni 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
93	92	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
94		fzo01 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0..^1) = {0}
95	93, 94	eleq2s 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
96	95	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
97	91, 96	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
98	97	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
99		df-ne 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 2)
100		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
102		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
105	101, 103, 104	leltned 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) ≠ 2))
106		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)))
107		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
108		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
109		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 2 ∈ ℤ
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
111	108, 110	zsubcld 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
114	113, 102	posdifd 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (♯‘𝑃) ↔ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
115	114	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2))
116		elnnz 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
117	112, 115, 116	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
118	117	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℤ)
120		peano2zm 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
121	108, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122		zltlem1 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
123	119, 121, 122	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
124	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
125		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
126	124, 125, 125	subsub4d 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
127		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (1 + 1) = 2
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (1 + 1) = 2)
129	128	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
130	126, 129	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
131	130	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
132	123, 131	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
133		necom 3000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2))
134		df-ne 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))
135	133, 134	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
136		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℝ)
137	136	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
138	102, 113	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
139	138	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
141		leltne 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
142	141	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
143	137, 139, 140, 142	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
144	143	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
145	135, 144	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
146	145	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
147	132, 146	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
148	147	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
149	148	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
151	150	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
152	107, 118, 151	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
153	152	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
154	153	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
155	154	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
156	155	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
157	156	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
158	106, 157	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
159	158	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
160	159	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
162	105, 161	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
163	99, 162	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
164	163	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
165	164	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
166	165	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
167	98, 166	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
168		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
169	167, 168	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))
170	80, 169	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
171	170	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
172	2, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
173	172	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
174	173	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
175	174	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
176	175	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
177	176	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
178	177	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
179	178	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
180	179	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
181	3	clwlkclwwlklem2fv1 30027	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
182	180, 181	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183	182	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
184		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
185		f1ocnvfv2 7313	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
186	14, 184, 185	syl2an2 685	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
187	183, 186	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
188	79, 187	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
189	188	exp31 419	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ifcif 4548 {csn 4648 {cpr 4650 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ^◡ccnv 5699 dom cdm 5700 ran crn 5701 –1-1→wf1 6570 –1-1-onto→wf1o 6572 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ..^cfzo 13711 ♯chash 14379 Word cword 14562 lastSclsw 14610

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-nn 12294 df-2 12356 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-hash 14380 df-word 14563 df-lsw 14611

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 30030

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