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Theorem clwlkclwwlklem2a4 30016
Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 30017. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a4 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)))
2 lencl 14571 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 clwlkclwwlklem2.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
43clwlkclwwlklem2fv2 30015 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
52, 4sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
61, 5sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
76ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
873adant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
98ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
109impcom 407 . . . . 5 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
1110fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12 f1f1orn 6859 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
13123ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
1413ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
15 lsw 14602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
1615eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
19 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2118, 19, 20subsubd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
22 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 − 1) = 1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
2423oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑃) − 1))
2521, 24eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
262, 17, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
2827fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
29 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
3029eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3416, 33sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35343ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
3837impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
4039preq2d 4740 . . . . . . . . . 10 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃𝐼) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
42 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
4341, 42preq12d 4741 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
4443eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
4544adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
4640, 45mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
4746eleq1d 2826 . . . . . . . 8 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4847biimpd 229 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4948impancom 451 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5049impcom 407 . . . . 5 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
51 f1ocnvfv2 7297 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5214, 50, 51syl2an2 686 . . . 4 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
53 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5453biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
55 1e2m1 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (2 − 1)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
582, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
59 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
60 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
6158, 59, 60subsubd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
6257, 61eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
6362fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
6454, 63sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
6564ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
6616, 65sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
6766imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
6867preq2d 4740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
7043adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
7169, 70eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
7271exp31 419 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
73723ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7473com12 32 . . . . . . . 8 ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7574adantr 480 . . . . . . 7 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
7675impcom 407 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7776adantr 480 . . . . 5 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
7877impcom 407 . . . 4 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
7911, 52, 783eqtrd 2781 . . 3 ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
80 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
81 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
8281, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = 1)
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) = 2 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
8483eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
85 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
86 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℂ
8786subidi 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 − 2) = 0
8885, 87eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = 0)
8988eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
9089notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
9184, 90anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
92 elsni 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
9392pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
94 fzo01 13786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^1) = {0}
9593, 94eleq2s 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
9695imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
9791, 96biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
9897adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
99 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 2)
100 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
102 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
104 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
105101, 103, 104leltned 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) ≠ 2))
106 elfzo0 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)))
107 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
108 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
109 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 ∈ ℤ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
111108, 110zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
114113, 102posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 < (♯‘𝑃) ↔ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
115114biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2))
116 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
117112, 115, 116sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
118117ad5ant24 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
120 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
121108, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122 zltlem1 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
123119, 121, 122syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
12417adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
125 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
126124, 125, 125subsub4d 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
127 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (1 + 1) = 2
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) = 2)
129128oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
130126, 129eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
131130breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
132123, 131bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
133 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2))
134 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))
135133, 134bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
136 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
137136ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
138102, 113resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
139138ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
141 leltne 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
142141bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
143137, 139, 140, 142syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
144143biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
145135, 144biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
146145ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
147132, 146sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
148147com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
149148imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
151150imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
152107, 118, 1513jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
153152ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
154153exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
155154com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
156155imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
1571563adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
158106, 157sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
159158imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
160159com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
162105, 161sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
16399, 162biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
164163com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
165164imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
166165com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
16798, 166pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
168 elfzo0 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
169167, 168sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))
17080, 169jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
171170exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
1722, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
173172imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
1741733adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
175174expd 415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
176175com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
177176adantl 481 . . . . . . . . 9 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
178177impcom 407 . . . . . . . 8 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
179178adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
180179impcom 407 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
1813clwlkclwwlklem2fv1 30014 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
182180, 181syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183182fveq2d 6910 . . . 4 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
184 simprr 773 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
185 f1ocnvfv2 7297 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
18614, 184, 185syl2an2 686 . . . 4 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
187183, 186eqtrd 2777 . . 3 ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
18879, 187pm2.61ian 812 . 2 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
189188exp31 419 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝐼)) = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  30017
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