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Theorem nn01to3 12000
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 3mix3 1424 . . 3 (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
21a1d 25 . 2 (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3 nn0re 11568 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1156 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 3re 11378 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7 simp3 1161 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
84, 6, 7leltned 10475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9 nesym 3034 . . . . . . . 8 (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
108, 9syl6rbb 279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11 elnnnn0c 11604 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12 orc 885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
1413a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
15 eluz2b3 11981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 eluz2 11910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
17 2a1 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
18 zre 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
19 zre 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
21 leltne 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
2218, 19, 20, 21syl3an 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
23 2z 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
25 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
26 df-3 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 = (2 + 1)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
2827breq2d 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
2928biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
3029adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
31 btwnnz 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3224, 25, 30, 31syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3332pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
3433exp31 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
3534com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
3635pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37363ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3822, 37sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
4017, 39pm2.61ine 3061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4116, 40sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4241imp 395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
4342olcd 892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
4443ex 399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4515, 44sylbir 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4645expcom 400 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
4714, 46pm2.61ine 3061 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4811, 47sylbir 226 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49483adant3 1155 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5010, 49sylbid 231 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5150impcom 396 . . . . 5 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
5251orcd 891 . . . 4 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
53 df-3or 1101 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
5452, 53sylibr 225 . . 3 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
5554ex 399 . 2 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
562, 55pm2.61i 176 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3o 1099  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220  1c1 10222   + caddc 10224   < clt 10359  cle 10360  cn 11305  2c2 11356  3c3 11357  0cn0 11559  cz 11643  cuz 11904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905
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