Theorem nn01to3 12088

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix3 1388	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3		nn0re 11652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		3re 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7		simp3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
8	4, 6, 7	leltned 10529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9		nesym 3024	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
10	8, 9	syl6rbb 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11		elnnnn0c 11689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12		orc 856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
13	12	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
14		eluz2b3 12069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15		eluz2 11998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
16		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
17		zre 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
18		zre 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
20		leltne 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
22		2z 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
24		df-3 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 = (2 + 1)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
26	25	breq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
27	26	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
28	27	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
29		btwnnz 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
30	22, 23, 28, 29	mp3an2i 1539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	pm2.21d 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
32	31	exp31 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
33	32	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
34	33	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
35	34	3ad2ant2 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
36	21, 35	sylbird 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
38	16, 37	pm2.61ine 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
39	15, 38	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
40	39	imp 397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
41	40	olcd 863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
42	41	ex 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
43	14, 42	sylbir 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
44	43	expcom 404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
45	13, 44	pm2.61ine 3052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
46	11, 45	sylbir 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
47	46	3adant3 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
48	10, 47	sylbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49	48	impcom 398	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
50	49	orcd 862	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
51		df-3or 1072	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
52	50, 51	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
53	52	ex 403	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
54	2, 53	pm2.61i 177	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∨ w3o 1070   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  2c2 11430  3c3 11431  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993

This theorem is referenced by:  hash1to3  13587