Theorem nn01to3 13006

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix3 1332	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3		nn0re 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		3re 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
8	4, 6, 7	leltned 11443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9		nesym 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
10	8, 9	bitr2di 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11		elnnnn0c 12598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12		orc 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
13	12	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
14		eluz2b3 12987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
16		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
17		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
18		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
20		leltne 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
22		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
24		df-3 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 = (2 + 1)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
26	25	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
29		btwnnz 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
30	22, 23, 28, 29	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
32	31	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
33	32	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
34	33	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
36	21, 35	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
38	16, 37	pm2.61ine 3031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
39	15, 38	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
40	39	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
41	40	olcd 873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
43	14, 42	sylbir 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
44	43	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
45	13, 44	pm2.61ine 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
46	11, 45	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
47	46	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
48	10, 47	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49	48	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
50	49	orcd 872	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
51		df-3or 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
52	50, 51	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
53	52	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
54	2, 53	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  hash1to3  14541