Theorem nn01to3 12882

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix3 1339	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3		nn0re 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		3re 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7		simp3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
8	4, 6, 7	leltned 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9		nesym 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
10	8, 9	bitr2di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11		elnnnn0c 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12		orc 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
13	12	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
14		eluz2b3 12863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
16		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
17		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
18		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
20		leltne 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
22		2z 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
24		df-3 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 = (2 + 1)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
26	25	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
27	26	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
29		btwnnz 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
30	22, 23, 28, 29	mp3an2i 1474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
32	31	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
33	32	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
34	33	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
35	34	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
36	21, 35	sylbird 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
38	16, 37	pm2.61ine 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
39	15, 38	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
40	39	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
41	40	olcd 880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
42	41	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
43	14, 42	sylbir 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
44	43	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
45	13, 44	pm2.61ine 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
46	11, 45	sylbir 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
47	46	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
48	10, 47	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49	48	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
50	49	orcd 879	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
51		df-3or 1093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
52	50, 51	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
53	52	ex 413	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
54	2, 53	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  hash1to3  14445