Theorem nn01to3 13078

Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn01to3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix3 1351	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
2	1	a1d 26	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3		nn0re 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		3re 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
8	4, 6, 7	leltned 11473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9		nesym 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
10	8, 9	bitr2di 291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11		elnnnn0c 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12		orc 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
13	12	2a1d 27	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
14		eluz2b3 13059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15		eluz2 12981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
16		2a1 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
17		zre 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
18		zre 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
20		leltne 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 2))
22		2z 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
24		df-3 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 = (2 + 1)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
26	25	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
27	26	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
29		btwnnz 12785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
30	22, 23, 28, 29	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
32	31	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
33	32	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
34	33	pm2.43i 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
36	21, 35	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37	36	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
38	16, 37	pm2.61ine 3041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
39	15, 38	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
40	39	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
41	40	olcd 888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
43	14, 42	sylbir 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
44	43	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
45	13, 44	pm2.61ine 3041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
46	11, 45	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
47	46	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
48	10, 47	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49	48	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
50	49	orcd 887	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
51		df-3or 1104	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
52	50, 51	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
53	52	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
54	2, 53	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   ≤ cle 11354  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976

This theorem is used by:  hash1to3  14647