sticksstones12a - Mathbox for metakunt

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Theorem sticksstones12a 40102

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones12a.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones12a.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones12a	⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦 𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦 𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙 𝐵,𝑏,𝑖 𝐵,𝑗 𝐹,𝑏,𝑘 𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦 𝐾,𝑏,𝑓 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎 𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙 𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘 𝑎,𝑑,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦 𝜑,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙 𝑔,𝑏,𝑑 𝜑,𝑏 𝜑,𝑗 𝑔,𝑑,𝑖,𝑘 𝜑,𝑑,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓,𝑔) 𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,𝑑) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑑) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑑,𝑙) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑑,𝑙) 𝐾(𝑑) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3		0red 10971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		sticksstones12a.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nngt0d 12014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
6	3, 5	ltned 11103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
7	6	necomd 3001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
8	7	neneqd 2950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
9	8	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
10	9	iffalsed 4476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
12	11	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
13		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
14	13	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑘) = (𝑑‘𝑘))
16		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
17	15, 16	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
18	17	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
19	14, 18	ifeq12d 4486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
20	12, 19	ifeq12d 4486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
23	22	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
24	10, 23	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		fzfid 13683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
27	26	mptexd 7095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
28	2, 24, 25, 27	fvmptd 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
29	28	fveq2d 6773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30		sticksstones12a.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)))))
32		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
33	32	fveq1d 6771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎‘𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
34	33	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
35	34	oveq2d 7285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
36	35	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
37	36	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
39		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
40		sticksstones12a.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
41	40	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
42		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ V
43		feq1 6578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑥) = (𝑑‘𝑥))
45		fveq1 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑦) = (𝑑‘𝑦))
46	44, 45	breq12d 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
47	46	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
48	47	2ralbidv 3125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
49	43, 48	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))))
50	42, 49	elab 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
51	41, 50	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
52	51	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
54	53	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
57	4	nnnn0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
58	57	nn0zd 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	4	nnge1d 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
62	4	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
65	56, 59, 59, 61, 64	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
66	54, 65	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
73	66, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
76		sticksstones12a.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
77	76	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
78	57	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
79	77, 78	nn0addcld 12289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
80		nn0sub 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
81	75, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
82	70, 81	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
83		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
84		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
85		1le1 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ≤ 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
87	56, 59, 56, 86, 61	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
88	54, 87	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91		nnm1nn0 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
96	54	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
98	59	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101	100	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103	102	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104		neqne 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106	105	necomd 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
107	99	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
109	62	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111	109, 110	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113	112	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114	108, 111, 113	leltned 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115	106, 114	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116	100	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
117	59	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118		zleltp1 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
119	116, 117, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
120	115, 119	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
122	97, 98, 101, 103, 121	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	96, 122	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℕ)
125	124	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
126	123, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
127		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
128	58	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
129	128	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
132	131	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133	132, 127	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134		neqne 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
135	134	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
137	136	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138	132	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140	139, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141	137, 138, 140	leltned 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1))
142	135, 141	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143	127, 132	zltp1led 39977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144	142, 143	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145		leaddsub 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146	137, 137, 138, 145	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147	144, 146	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148	133	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149	62	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151	149, 150	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152	151, 150	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
153	112	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154	138, 151, 150, 153	lesub1dd 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
155	62	recnd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
156	155	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158	156, 157	pncand 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159	63	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ≤ 𝐾)
160	158, 159	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161	148, 152, 149, 154, 160	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162	127, 129, 133, 147, 161	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163	162	ad5ant135 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
164	96, 163	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167	166	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168	126, 167	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169	168, 97	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171	170	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172	171	ltm1d 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173	163, 122	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
174	53	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
175	174	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
176		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178	177	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)))
179	176, 178	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦))))
180		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑑‘𝑦) = (𝑑‘𝑘))
182	181	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
183	180, 182	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))))
184	179, 183	rspc2va 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
185	173, 175, 184	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
186	172, 185	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))
187	166	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188	126	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℝ)
189	187, 188	posdifd 11554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190	186, 189	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191		0zd 12323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192	191, 168	zltlem1d 39976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193	190, 192	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194	169, 193	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195		elnn0z 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196	194, 195	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
197	83, 84, 95, 196	ifbothda 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
198	38, 39, 82, 197	ifbothda 4503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
199		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200	198, 199	fmptd 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
201		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203	202	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204	202	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205	202	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑖))
206	202	fvoveq1d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207	205, 206	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208	207	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209	204, 208	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210	203, 209	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
213		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215	213, 214	ifcld 4511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216	212, 215	ifcld 4511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217	201, 210, 211, 216	fvmptd 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218	217	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘𝑖) = (𝑑‘𝑘))
222		fvoveq1 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223	221, 222	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224	223	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225	220, 224	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226	219, 225	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(1...(𝐾 + 1))
228		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖(1...(𝐾 + 1))
229		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
230		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
231	226, 227, 228, 229, 230	cbvsum 15397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
233		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = 1
234		1p0e1 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 0) = 1
235	233, 234	eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1 + 0)
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
237		0le1 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
239	136, 3, 62, 136, 60, 238	le2addd 11586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
240	236, 239	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
241	58	peano2zd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
242		eluz 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
243	55, 241, 242	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
244	240, 243	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
245	244	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
246	198	nn0cnd 12287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
247		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
248		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
249		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
250		fvoveq1 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
251	249, 250	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
252	251	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
253	248, 252	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
254	247, 253	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
255	245, 246, 254	fsumm1 15453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
256	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
257		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
258	256, 257	pncand 11325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
259	258	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
260	259	sumeq1d 15403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
261		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
262	261	iftrued 4473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
263	260, 262	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
264		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
265	264	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
266	265	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
267	62	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
268		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
269	267, 268	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
270		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ≤ 𝐾)
271	270	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
272	267	ltp1d 11897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
273	266, 267, 269, 271, 272	lelttrd 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
274	266, 273	ltned 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
275	274	neneqd 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
276	275	iffalsed 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
277	276	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
278		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
279		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
280		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
281	280	iftrued 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
282	281	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
283	282	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
284		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
285	284	iffalsed 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
286	285	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
287	286	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288	278, 279, 283, 287	ifbothda 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
289	288	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
290		fzfid 13683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
291		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
292		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
293	54	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
294	87	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
295	293, 294	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
296	89	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
297	295, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
298	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
299		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
300	293, 299	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
301	300, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
302	301	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
303	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
304		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
305	59	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
306	305	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
307	265	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
308	307	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
309	308, 304	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
310		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
311	299, 310	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
312	311	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
313	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
314	312, 313	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
315		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
316	308	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
317	315, 316	ltlend 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
318	314, 317	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
319	304, 308	zltlem1d 39976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
320	318, 319	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
321	309	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
322	306	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
323	316	lem1d 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
324	299, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
325	324	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
326	321, 316, 322, 323, 325	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
327	304, 306, 309, 320, 326	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
328	303, 327	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
329	328, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
330	329	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
331	302, 330	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
332	291, 292, 298, 331	ifbothda 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
333	332	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
334	333	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
335	257	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
336	290, 334, 335	fsumsub 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
337		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
338	337	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
339	338	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
340	339	sumeq1d 15403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
341		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
342	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 = 1)
343	342	iftrued 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
344	90	nncnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
345	343, 344	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
346		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
347		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘1))
348		fvoveq1 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
349	347, 348	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
350	346, 349	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
351	350	fsum1 15449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
352	341, 345, 351	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
353	352, 343	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
354	353	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
355		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
356	355	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
357	340, 354, 356	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
358	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
359		nnuz 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ_≥‘1))
361	358, 360	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
362	334	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
363		iftrue 4471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
364	361, 362, 363	fsum1p 15455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
365		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
366		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
367	366	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
368		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
369		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
370	369	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
371	368, 370	zltp1led 39977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
372	367, 371	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
373	365, 372	ltned 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
374	373	necomd 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
375	374	neneqd 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
376	375	iffalsed 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
377	376	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
378	377	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
379	256	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
380		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
381	379, 380	npcand 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
382	381	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
383	382	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
384	383	sumeq1d 15403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
385	384	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
386		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
387	386	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
388	387	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
389		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
390	388, 389	npcand 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
391	390	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
392	391	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
393	392	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
394	393	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
395	394	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
396	56	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
397	59	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
398	397, 396	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
399	54	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
400	399	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
401		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
402	397	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
403		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
404	403	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
405	404	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
406	405	peano2zd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
407		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
408	404	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
409	406	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
410	404	nnge1d 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
411	408	lep1d 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
412	407, 408, 409, 410, 411	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
413		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
414	413	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
415	402	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
416		leaddsub 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
417	408, 407, 415, 416	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
418	414, 417	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
419	401, 402, 406, 412, 418	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
420	400, 419	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
421		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
422	420, 421	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
423	422	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
424	415, 407	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
425	415	lem1d 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
426	408, 424, 415, 414, 425	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
427	401, 402, 405, 410, 426	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
428	400	ffvelrnda 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
429	427, 428	mpdan 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
430		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
431	429, 430	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
432	431	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℤ)
433	423, 432	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℤ)
434	433	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℂ)
435		fvoveq1 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
436		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
437	435, 436	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
438	396, 396, 398, 434, 437	fsumshft 15482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
439	438	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)))
440	439	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))))
441		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘𝑠))
442		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
443		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = 1 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘1))
444		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
445	381, 361	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
446	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
447	446	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
448	447	ffvelrnda 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
449	448	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
450	381	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
451	450	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
452	451	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
453	449, 452	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
454	453	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
455		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
456	454, 455	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
457	456	nncnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℂ)
458	441, 442, 443, 444, 398, 445, 457	telfsum2 15507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
459	458	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
460	381	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝐾))
461	460	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1)))
462	461	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))))
463	344	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
464	66, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
465	464	nncnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
466	465	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
467	463, 466	pncan3d 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
468		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
469	467, 468	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
470	462, 469	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
471	459, 470	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = (𝑑‘𝐾))
472	440, 471	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
473	395, 472	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
474	385, 473	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
475	378, 474	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑‘𝐾))
476	364, 475	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
477	476	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
478	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
479	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
480	478, 479	leloed 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
481	61, 480	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
482	481	orcomd 868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
483	357, 477, 482	mpjaodan 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
484		fsumconst 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
485	290, 257, 484	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
486	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
487		hashfz1 14050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
488	486, 487	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
489	488	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
490	256	mulid1d 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
491	489, 490	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
492	485, 491	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
493	483, 492	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
494	336, 493	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
495	289, 494	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
496	465, 256	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
497	496	addid1d 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
498	497	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0))
499		0cnd 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
500	496, 499	addcomd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
501	498, 500	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
502	495, 501	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
503	499, 256, 465	subsub2d 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
504	503	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
505	502, 504	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
506	76	nn0cnd 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
507	506	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
508	507	subidd 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
509	508	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
510	509	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
511	505, 510	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
512	256, 465	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
513	507, 507, 512	subsub4d 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
514	511, 513	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
515	507, 256, 465	addsubassd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
516	515	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
517	516	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
518	514, 517	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
519	277, 518	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
520		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
521		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
522		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
523	297, 522	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
524	523	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
525	522	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
526	331, 525	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
527	520, 521, 524, 526	ifbothda 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
528	527	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
529	276	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
530	528, 529	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
531	290, 530	fsumzcl 15437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
532	531	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
533	507, 256	addcld 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
534	533, 465	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
535	532, 534, 507	addlsub 11383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))))
536	519, 535	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁)
537		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 = 𝑁)
538	536, 537	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁)
539	263, 538	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
540	255, 539	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
541	232, 540	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
542	218, 541	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
543	200, 542	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
544		ovex 7302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
545	544	mptex 7094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
546		feq1 6578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
547		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
548	547	fveq1d 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
549	548	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
550	549	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551	546, 550	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
552	545, 551	elab 3611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
553	552	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
554	543, 553	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
555		sticksstones12a.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
556	555	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
557	556	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
558	554, 557	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
559	290	mptexd 7095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
560	31, 37, 558, 559	fvmptd 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
561		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
562		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
563	562	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
564	562	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
565	562	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑙))
566	562	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
567	566	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
568	565, 567	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
569	568	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
570	564, 569	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
571	563, 570	ifbieq2d 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
572		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
573	58	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
574	573	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
575	574	peano2zd 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
576		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
577	576	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
578		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
579	578	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
580	577	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
581		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
582		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
583	581, 582	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
584	583	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
585	584	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
586	575	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
587		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
588	587	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
589	62	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
590		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
591	589, 590	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
592		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ≤ 𝐾)
593	581, 592	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
594	589	lep1d 11898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
595	584, 589, 591, 593, 594	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
596	595	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
597	580, 585, 586, 588, 596	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
598	572, 575, 577, 579, 597	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
599		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
600		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
601		ovexd 7304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
602	600, 601	ifcld 4511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
603	599, 602	ifcld 4511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
604	561, 571, 598, 603	fvmptd 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
605	604	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
606	605	oveq2d 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
607		elfznn 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
608	607	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
609	608	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
610	589	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
611		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
612	610, 611	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
613	583	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
614	613	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
615	593	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
616	609, 614, 610, 588, 615	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
617	610	ltp1d 11897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
618	609, 610, 612, 616, 617	lelttrd 11125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
619	609, 618	ltned 11103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
620	619	neneqd 2950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
621	620	iffalsed 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
622	621	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
623	622	oveq2d 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
624	583	nnge1d 12013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
625	55	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
626	583	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
627		eluz 12587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
628	625, 626, 627	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
629	624, 628	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
630		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
631		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
632	54	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
633		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
634	633, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
635	633, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
636		eluz 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
637	625, 635, 636	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
638	634, 637	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
639		eluzfz1 13254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
640	638, 639	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
641	632, 640	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
642	641, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
643	642	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
644	643, 625	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
645	644	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
646	645	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
647	646	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
648	632	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
649	635	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
650	608	nnzd 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
651	608	nnge1d 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
652	572, 649, 650, 651, 616	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
653	648, 652	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
654		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
655	653, 654	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
656	655	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
657	648	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
658		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
659	649	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
660	650	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
661	660, 658	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
662		neqne 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
663	662	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
664	611	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
665	609	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
666	651	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
667	664, 665, 666	leltned 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1))
668	663, 667	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
669	658, 660	zltlem1d 39976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
670	668, 669	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
671	661	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
672	610	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
673	665	lem1d 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
674	616	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≤ 𝐾)
675	671, 665, 672, 673, 674	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
676	658, 659, 661, 670, 675	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
677	657, 676	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
678		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
679	677, 678	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
680	656, 679	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
681	680, 658	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
682	681	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
683	630, 631, 647, 682	ifbothda 4503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
684		iftrue 4471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
685	629, 683, 684	fsum1p 15455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
686	685	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
687	633, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
688	687	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
689	688, 688	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
690		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
691	690	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
692	691	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
693	688	ltp1d 11897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
694		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
695	694	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
696	688, 689, 692, 693, 695	ltletrd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
697	688, 696	ltned 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
698	697	necomd 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
699	698	neneqd 2950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
700	699	iffalsed 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
701	700	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
702	701	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
703	702	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
704		fzfid 13683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
705	632	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
706		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
707	635	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
708	688, 689, 693	ltled 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
709	688, 689, 692, 708, 695	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
710	584	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
711	589	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
712		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
713	712	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
714	593	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
715	692, 710, 711, 713, 714	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
716	706, 707, 691, 709, 715	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
717	705, 716	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
718	717, 654	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
719	718	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℂ)
720	691, 706	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
721		leaddsub 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
722	688, 688, 692, 721	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
723	695, 722	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
724	692, 688	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
725	692	lem1d 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
726	724, 692, 711, 725, 715	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
727	706, 707, 720, 723, 726	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
728	705, 727	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
729	678	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
730	728, 729	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
731	719, 730	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
732		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
733	704, 731, 732	fsumsub 15490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
734	733	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
735	734	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
736		1cnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
737		fsumconst 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
738	704, 736, 737	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
739		hashfzp1 14136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
740	629, 739	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
741	740	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
742	583	nncnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
743	742, 736	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
744	743	mulid1d 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
745	741, 744	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
746	738, 745	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
747	746	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
748	747	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
749	748	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
750	704, 731	fsumcl 15435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
751	645, 750, 743	addsubassd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
752	751	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
753	752	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
754	645, 750	addcld 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
755	742, 754, 743	addsubassd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
756	755	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
757	742, 754, 743	addsubd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
758	742, 736	nncand 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
759		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
760	626, 625	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
761	632	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
762		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
763	635	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
764		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
765	764	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
766	765	peano2zd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
767		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
768	765	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
769	768, 767	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
770		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
771	770	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
772	768	lep1d 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
773	767, 768, 769, 771, 772	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
774	584	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
775	774, 767	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
776	589	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
777	776, 767	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
778		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
779	778	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
780	593	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ≤ 𝐾)
781	774, 776, 767, 780	lesub1dd 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
782	768, 775, 777, 779, 781	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
783		leaddsub 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
784	768, 767, 776, 783	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
785	782, 784	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
786	762, 763, 766, 773, 785	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
787	761, 786	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
788		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
789	787, 788	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
790	584, 687	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
791	584	lem1d 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
792	790, 584, 589, 791, 593	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
793	792	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
794	768, 775, 776, 779, 793	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ 𝐾)
795	762, 763, 765, 771, 794	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
796	761, 795	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
797	796, 654	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
798	789, 797	zsubcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℤ)
799	798	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℂ)
800		fvoveq1 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
801		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
802	800, 801	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
803	759, 759, 760, 799, 802	fsumshft 15482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
804		oveq1 7276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
805	804	fvoveq1d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
806	804	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
807	805, 806	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
808		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑙((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))
809		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑤((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))
810		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
811		nfcv 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
812	807, 808, 809, 810, 811	cbvsum 15397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
813	812	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
814	803, 813	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
815	742, 736	npcand 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
816	815	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
817	816	sumeq1d 15403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
818	692	recnd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
819	818, 732	npcand 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
820	819	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑙))
821	820	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
822	821	sumeq2dv 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
823	817, 822	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
824	814, 823	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
825	824	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))
826	825	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))))
827	758, 826	oveq12d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))))
828		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑙 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘𝑙))
829		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
830		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 1 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘1))
831		fveq2 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
832	815, 629	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
833	632	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
834		1zzd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
835	635	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
836		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
837	836	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
838		elfzle1 13250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
839	838	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
840	837	zred 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
841	584	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
842		1red 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
843	841, 842	resubcld 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
844	843, 842	readdcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
845	589	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
846		elfzle2 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
847	846	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
848	815, 593	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
849	848	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
850	840, 844, 845, 847, 849	letrd 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ 𝐾)
851	834, 835, 837, 839, 850	elfzd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
852	833, 851	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
853		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
854	852, 853	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
855	854	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℂ)
856	828, 829, 830, 831, 760, 832, 855	telfsum2 15507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
857	856	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
858	857	oveq2d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
859	815	fveq2d 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑗))
860	632, 581	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
861		elfzelz 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
862	860, 861	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
863	859, 862	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
864	863	zcnd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
865	642	nnred 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
866	865	recnd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
867	864, 866	subcld 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
868	736, 645, 867	addassd 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
869	868	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
870	736, 866	pncan3d 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
871	870	oveq1d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
872	866, 864	pncan3d 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
873	872, 859	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
874	871, 873	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
875	869, 874	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑‘𝑗))
876	858, 875	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (𝑑‘𝑗))
877	827, 876	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑‘𝑗))
878	757, 877	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑‘𝑗))
879	756, 878	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑‘𝑗))
880	753, 879	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
881	749, 880	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑‘𝑗))
882	735, 881	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
883	703, 882	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
884	686, 883	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
885	623, 884	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
886	606, 885	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
887	886	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
888	887	mpteq2dva 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)))
889		nfcv 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑑‘𝑗)
890		nfcv 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑑‘𝑞)
891		fveq2 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑑‘𝑗) = (𝑑‘𝑞))
892	889, 890, 891	cbvmpt 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))
893	892	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
894	888, 893	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
895	560, 894	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
896	29, 895	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
897	54	ffnd 6598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
898		dffn5 6823	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
899	898	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
900	897, 899	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
901	900	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)) = 𝑑)
902	896, 901	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)
903	902	ralrimiva 3110	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 ∧ w3a 1086 = wceq 1542 ∈ wcel 2110 {cab 2717 ≠ wne 2945 ∀wral 3066 Vcvv 3431 ifcif 4465 {csn 4567 ⟨cop 4573 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5162 Fn wfn 6426 ⟶wf 6427 ‘cfv 6431 (class class class)co 7269 Fincfn 8708 ℂcc 10862 ℝcr 10863 0cc0 10864 1c1 10865 + caddc 10867 · cmul 10869 < clt 11002 ≤ cle 11003 − cmin 11197 ℕcn 11965 ℕ₀cn0 12225 ℤcz 12311 ℤ_≥cuz 12573 ...cfz 13230 ♯chash 14034 Σcsu 15387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1975 ax-7 2015 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2711 ax-rep 5214 ax-sep 5227 ax-nul 5234 ax-pow 5292 ax-pr 5356 ax-un 7580 ax-inf2 9369 ax-cnex 10920 ax-resscn 10921 ax-1cn 10922 ax-icn 10923 ax-addcl 10924 ax-addrcl 10925 ax-mulcl 10926 ax-mulrcl 10927 ax-mulcom 10928 ax-addass 10929 ax-mulass 10930 ax-distr 10931 ax-i2m1 10932 ax-1ne0 10933 ax-1rid 10934 ax-rnegex 10935 ax-rrecex 10936 ax-cnre 10937 ax-pre-lttri 10938 ax-pre-lttrn 10939 ax-pre-ltadd 10940 ax-pre-mulgt0 10941 ax-pre-sup 10942

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2072 df-mo 2542 df-eu 2571 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2818 df-nfc 2891 df-ne 2946 df-nel 3052 df-ral 3071 df-rex 3072 df-reu 3073 df-rmo 3074 df-rab 3075 df-v 3433 df-sbc 3721 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4846 df-int 4886 df-iun 4932 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5163 df-tr 5197 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6200 df-ord 6267 df-on 6268 df-lim 6269 df-suc 6270 df-iota 6389 df-fun 6433 df-fn 6434 df-f 6435 df-f1 6436 df-fo 6437 df-f1o 6438 df-fv 6439 df-isom 6440 df-riota 7226 df-ov 7272 df-oprab 7273 df-mpo 7274 df-om 7702 df-1st 7818 df-2nd 7819 df-frecs 8082 df-wrecs 8113 df-recs 8187 df-rdg 8226 df-1o 8282 df-er 8473 df-en 8709 df-dom 8710 df-sdom 8711 df-fin 8712 df-sup 9171 df-oi 9239 df-card 9690 df-pnf 11004 df-mnf 11005 df-xr 11006 df-ltxr 11007 df-le 11008 df-sub 11199 df-neg 11200 df-div 11625 df-nn 11966 df-2 12028 df-3 12029 df-n0 12226 df-z 12312 df-uz 12574 df-rp 12722 df-fz 13231 df-fzo 13374 df-seq 13712 df-exp 13773 df-hash 14035 df-cj 14800 df-re 14801 df-im 14802 df-sqrt 14936 df-abs 14937 df-clim 15187 df-sum 15388

This theorem is referenced by: sticksstones12 40103

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