sticksstones12a - Mathbox for metakunt

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Theorem sticksstones12a 42984

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones12a.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones12a.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones12a	⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑗,𝑙 𝜑,𝑑,𝑏 𝑔,𝑏,𝑖,𝑘,𝑑 𝑎,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑙 𝐹,𝑏,𝑘 𝐵,𝑏 𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘 𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙 𝑗,𝐾,𝑙,𝑎 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎 𝐾,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦 𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦 𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙 𝐵,𝑗 𝜑,𝑎 𝑗,𝑘,𝜑,𝑥,𝑦,𝑙,𝑑 𝜑,𝑏,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓, 𝑔) 𝐴(𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑑) 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑑) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑑, 𝑙) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑙) 𝐾(𝑑) 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3		0red 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		sticksstones12a.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nngt0d 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
6	3, 5	ltned 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
7	6	necomd 3015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
8	7	neneqd 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
10	9	iffalsed 4500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
12	11	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
13		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
14	13	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑘) = (𝑑‘𝑘))
16		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
17	15, 16	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
18	17	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
19	14, 18	ifeq12d 4511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
20	12, 19	ifeq12d 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
23	22	mpteq2dva 5206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
24	10, 23	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		fzfid 14029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
27	26	mptexd 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
28	2, 24, 25, 27	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
29	28	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30		sticksstones12a.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)))))
32		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
33	32	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎‘𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
34	33	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
35	34	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
36	35	mpteq2dva 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
37	36	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38		eleq1 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
39		eleq1 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
40		sticksstones12a.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
41	40	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
42		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ V
43		feq1 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑥) = (𝑑‘𝑥))
45		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑦) = (𝑑‘𝑦))
46	44, 45	breq12d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
47	46	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
48	47	2ralbidv 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
49	43, 48	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))))
50	42, 49	elab 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
51	41, 50	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
52	51	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
54	53	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
57	4	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
58	57	nn0zd 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	4	nnge1d 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
62	4	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
65	56, 59, 59, 61, 64	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
66	54, 65	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
73	66, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
76		sticksstones12a.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
77	76	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
78	57	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
79	77, 78	nn0addcld 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
80		nn0sub 12571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
81	75, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
82	70, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
83		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
84		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
85		1le1 11859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ≤ 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
87	56, 59, 56, 86, 61	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
88	54, 87	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
90	88, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91		nnm1nn0 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
96	54	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
98	59	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101	100	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103	102	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105	104	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106	105	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
107	99	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
109	62	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111	109, 110	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113	112	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114	108, 111, 113	leltned 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115	106, 114	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116	100	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
117	59	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118		zleltp1 12662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
119	116, 117, 118	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
120	115, 119	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
122	97, 98, 101, 103, 121	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	96, 122	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℕ)
125	124	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
126	123, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
127		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
128	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
129	128	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
132	131	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133	132, 127	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
135	134	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
137	136	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138	132	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140	139, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141	137, 138, 140	leltned 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1))
142	135, 141	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143	127, 132	zltp1led 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144	142, 143	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145		leaddsub 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146	137, 137, 138, 145	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147	144, 146	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148	133	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149	62	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151	149, 150	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152	151, 150	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
153	112	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154	138, 151, 150, 153	lesub1dd 11847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
155	62	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
156	155	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158	156, 157	pncand 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159	63	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ≤ 𝐾)
160	158, 159	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161	148, 152, 149, 154, 160	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162	127, 129, 133, 147, 161	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163	162	ad5ant135 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
164	96, 163	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166	164, 165	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167	166	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168	126, 167	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169	168, 97	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171	170	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172	171	ltm1d 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173	163, 122	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
174	53	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
175	174	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
176		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178	177	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)))
179	176, 178	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦))))
180		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑑‘𝑦) = (𝑑‘𝑘))
182	181	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
183	180, 182	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))))
184	179, 183	rspc2va 3595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
185	173, 175, 184	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
186	172, 185	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))
187	166	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188	126	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℝ)
189	187, 188	posdifd 11818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190	186, 189	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191		0zd 12620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192	191, 168	zltlem1d 12665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193	190, 192	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194	169, 193	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195		elnn0z 12621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196	194, 195	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
197	83, 84, 95, 196	ifbothda 4528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
198	38, 39, 82, 197	ifbothda 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
199		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200	198, 199	fmptd 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
201		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203	202	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204	202	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205	202	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑖))
206	202	fvoveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207	205, 206	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208	207	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209	204, 208	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210	203, 209	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
213		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215	213, 214	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216	212, 215	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217	201, 210, 211, 216	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218	217	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘𝑖) = (𝑑‘𝑘))
222		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223	221, 222	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224	223	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225	220, 224	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226	219, 225	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
228		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
229	226, 227, 228	cbvsum 15772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
231		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = 1
232		1p0e1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 0) = 1
233	231, 232	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1 + 0)
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
235		0le1 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
237	136, 3, 62, 136, 60, 236	le2addd 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
238	234, 237	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
239	58	peano2zd 12721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
240		eluz 12894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
241	55, 239, 240	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
242	238, 241	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
243	242	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
244	198	nn0cnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
245		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
246		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
247		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
248		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
249	247, 248	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
250	249	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
251	246, 250	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
252	245, 251	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
253	243, 244, 252	fsumm1 15827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
254	155	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
255		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
256	254, 255	pncand 11587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
257	256	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
258	257	sumeq1d 15777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
259		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
260	259	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
261	258, 260	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
262		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
263	262	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
264	263	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
265	62	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
266		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
267	265, 266	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
268		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ≤ 𝐾)
269	268	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
270	265	ltp1d 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
271	264, 265, 267, 269, 270	lelttrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
272	264, 271	ltned 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
273	272	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
274	273	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
275	274	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
276		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
277		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
278		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
279	278	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
280	279	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
281	280	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
282		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
283	282	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
284	283	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
285	284	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
286	276, 277, 281, 285	ifbothda 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
287	286	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288		fzfid 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
289		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
290		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
291	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
292	87	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
293	291, 292	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
294	89	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
295	293, 294	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
296	295	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
297		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
298	291, 297	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
299	298, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
300	299	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
301	291	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
302		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
303	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
304	303	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
305	263	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
306	305	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
307	306, 302	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
308		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
309	297, 308	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
310	309	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
311	134	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
312	310, 311	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
313		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
314	306	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
315	313, 314	ltlend 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
316	312, 315	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
317	302, 306	zltlem1d 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
318	316, 317	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
319	307	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
320	304	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
321	314	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
322	297, 268	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
323	322	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
324	319, 314, 320, 321, 323	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
325	302, 304, 307, 318, 324	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
326	301, 325	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
327	326, 165	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
328	327	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
329	300, 328	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
330	289, 290, 296, 329	ifbothda 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
331	330	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
332	331	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
333	255	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
334	288, 332, 333	fsumsub 15864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
335		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
336	335	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
337	336	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
338	337	sumeq1d 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
339		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
340	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 = 1)
341	340	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
342	90	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
343	341, 342	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
344		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
345		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘1))
346		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
347	345, 346	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
348	344, 347	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
349	348	fsum1 15823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
350	339, 343, 349	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
351	350, 341	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
352	351	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
353		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
354	353	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
355	338, 352, 354	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
356	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
357		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
358	357	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ_≥‘1))
359	356, 358	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
360	332	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
361		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
362	359, 360, 361	fsum1p 15829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
363		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
364		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
365	364	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
366		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
367		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
368	367	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
369	366, 368	zltp1led 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
370	365, 369	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
371	363, 370	ltned 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
372	371	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
373	372	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
374	373	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
375	374	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
376	375	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
377	254	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
378		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
379	377, 378	npcand 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
380	379	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
381	380	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
382	381	sumeq1d 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
383	382	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
384		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
385	384	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
386	385	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
387		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
388	386, 387	npcand 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
389	388	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
390	389	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
391	390	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
392	391	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
393	392	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
394	56	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
395	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
396	395, 394	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
397	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
398	397	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
399		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
400	395	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
401		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
402	401	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
403	402	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
404	403	peano2zd 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
405		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
406	402	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
407	404	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
408	402	nnge1d 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
409	406	lep1d 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
410	405, 406, 407, 408, 409	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
411		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
412	411	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
413	400	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
414		leaddsub 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
415	406, 405, 413, 414	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
416	412, 415	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
417	399, 400, 404, 410, 416	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
418	398, 417	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
419		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
420	418, 419	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
421	420	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
422	413, 405	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
423	413	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
424	406, 422, 413, 412, 423	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
425	399, 400, 403, 408, 424	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
426	398	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
427	425, 426	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
428		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
429	427, 428	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
430	429	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℤ)
431	421, 430	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℤ)
432	431	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℂ)
433		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
434		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
435	433, 434	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
436	394, 394, 396, 432, 435	fsumshft 15856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
437	436	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)))
438	437	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))))
439		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘𝑠))
440		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
441		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = 1 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘1))
442		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
443	379, 359	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
444	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
445	444	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
446	445	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
447	446	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
448	379	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
449	448	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
450	449	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
451	447, 450	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
452	451	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
453		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
454	452, 453	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
455	454	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℂ)
456	439, 440, 441, 442, 396, 443, 455	telfsum2 15882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
457	456	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
458	379	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝐾))
459	458	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1)))
460	459	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))))
461	342	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
462	66, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
463	462	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
464	463	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
465	461, 464	pncan3d 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
466		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
467	465, 466	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
468	460, 467	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
469	457, 468	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = (𝑑‘𝐾))
470	438, 469	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
471	393, 470	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
472	383, 471	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
473	376, 472	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑‘𝐾))
474	362, 473	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
475	474	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
476	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
477	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
478	476, 477	leloed 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
479	61, 478	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
480	479	orcomd 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
481	355, 475, 480	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
482		fsumconst 15866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
483	288, 255, 482	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
484	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
485		hashfz1 14402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
486	484, 485	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
487	486	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
488	254	mulridd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
489	487, 488	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
490	483, 489	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
491	481, 490	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
492	334, 491	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
493	287, 492	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
494	463, 254	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
495	494	addridd 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
496	495	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0))
497		0cnd 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
498	494, 497	addcomd 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
499	496, 498	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
500	493, 499	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
501	497, 254, 463	subsub2d 11615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
502	501	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
503	500, 502	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
504	76	nn0cnd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
505	504	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
506	505	subidd 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
507	506	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
508	507	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
509	503, 508	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
510	254, 463	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
511	505, 505, 510	subsub4d 11617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
512	509, 511	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
513	505, 254, 463	addsubassd 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
514	513	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
515	514	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
516	512, 515	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
517	275, 516	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
518		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
519		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
520		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
521	295, 520	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
522	521	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
523	520	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
524	329, 523	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
525	518, 519, 522, 524	ifbothda 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
526	525	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
527	274	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
528	526, 527	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
529	288, 528	fsumzcl 15811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
530	529	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
531	505, 254	addcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
532	531, 463	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
533	530, 532, 505	addlsub 11647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))))
534	517, 533	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁)
535		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 = 𝑁)
536	534, 535	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁)
537	261, 536	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
538	253, 537	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
539	230, 538	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
540	218, 539	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
541	200, 540	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
542		ovex 7452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
543	542	mptex 7228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
544		feq1 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
545		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
546	545	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
547	546	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
548	547	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
549	544, 548	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
550	543, 549	elab 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551	550	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
552	541, 551	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
553		sticksstones12a.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
554	553	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
555	554	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
556	552, 555	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
557	288	mptexd 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
558	31, 37, 556, 557	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
559		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
560		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
561	560	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
562	560	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
563	560	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑙))
564	560	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
565	564	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
566	563, 565	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
567	566	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
568	562, 567	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
569	561, 568	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
570		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
571	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
572	571	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
573	572	peano2zd 12721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
574		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
575	574	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
576		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
577	576	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
578	575	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
579		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
580		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
581	579, 580	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
582	581	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
583	582	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
584	573	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
585		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
586	585	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
587	62	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
588		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
589	587, 588	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
590		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ≤ 𝐾)
591	579, 590	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
592	587	lep1d 12163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
593	582, 587, 589, 591, 592	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
594	593	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
595	578, 583, 584, 586, 594	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
596	570, 573, 575, 577, 595	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
597		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
598		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
599		ovexd 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
600	598, 599	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
601	597, 600	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
602	559, 569, 596, 601	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
603	602	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
604	603	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
605		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
606	605	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
607	606	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
608	587	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
609		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
610	608, 609	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
611	581	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
612	611	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
613	591	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
614	607, 612, 608, 586, 613	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
615	608	ltp1d 12162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
616	607, 608, 610, 614, 615	lelttrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
617	607, 616	ltned 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
618	617	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
619	618	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
620	619	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
621	620	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
622	581	nnge1d 12301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
623	55	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
624	581	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
625		eluz 12894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
626	623, 624, 625	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
627	622, 626	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
628		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
629		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
630	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
631		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
632	631, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
633	631, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
634		eluz 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
635	623, 633, 634	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
636	632, 635	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
637		eluzfz1 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
638	636, 637	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
639	630, 638	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
640	639, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
641	640	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
642	641, 623	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
643	642	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
644	643	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
645	644	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
646	630	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
647	633	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
648	606	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
649	606	nnge1d 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
650	570, 647, 648, 649, 614	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
651	646, 650	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
652		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
653	651, 652	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
654	653	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
655	646	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
656		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
657	647	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
658	648	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
659	658, 656	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
660		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
661	660	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
662	609	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
663	607	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
664	649	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
665	662, 663, 664	leltned 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1))
666	661, 665	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
667	656, 658	zltlem1d 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
668	666, 667	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
669	659	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
670	608	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
671	663	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
672	614	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≤ 𝐾)
673	669, 663, 670, 671, 672	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
674	656, 657, 659, 668, 673	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
675	655, 674	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
676		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
677	675, 676	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
678	654, 677	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
679	678, 656	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
680	679	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
681	628, 629, 645, 680	ifbothda 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
682		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
683	627, 681, 682	fsum1p 15829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
684	683	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
685	631, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
686	685	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
687	686, 686	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
688		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
689	688	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
690	689	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
691	686	ltp1d 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
692		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
693	692	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
694	686, 687, 690, 691, 693	ltletrd 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
695	686, 694	ltned 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
696	695	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
697	696	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
698	697	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
699	698	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
700	699	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
701	700	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
702		fzfid 14029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
703	630	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
704		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
705	633	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
706	686, 687, 691	ltled 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
707	686, 687, 690, 706, 693	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
708	582	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
709	587	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
710		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
711	710	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
712	591	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
713	690, 708, 709, 711, 712	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
714	704, 705, 689, 707, 713	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
715	703, 714	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
716	715, 652	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
717	716	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℂ)
718	689, 704	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
719		leaddsub 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
720	686, 686, 690, 719	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
721	693, 720	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
722	690, 686	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
723	690	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
724	722, 690, 709, 723, 713	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
725	704, 705, 718, 721, 724	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
726	703, 725	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
727	676	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
728	726, 727	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
729	717, 728	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
730		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
731	702, 729, 730	fsumsub 15864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
732	731	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
733	732	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
734		1cnd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
735		fsumconst 15866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
736	702, 734, 735	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
737		hashfzp1 14488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
738	627, 737	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
739	738	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
740	581	nncnd 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
741	740, 734	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
742	741	mulridd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
743	739, 742	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
744	736, 743	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
745	744	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
746	745	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
747	746	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
748	702, 729	fsumcl 15809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
749	643, 748, 741	addsubassd 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
750	749	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
751	750	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
752	643, 748	addcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
753	740, 752, 741	addsubassd 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
754	753	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
755	740, 752, 741	addsubd 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
756	740, 734	nncand 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
757		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
758	624, 623	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
759	630	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
760		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
761	633	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
762		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
763	762	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
764	763	peano2zd 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
765		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
766	763	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
767	766, 765	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
768		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
769	768	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
770	766	lep1d 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
771	765, 766, 767, 769, 770	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
772	582	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
773	772, 765	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
774	587	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
775	774, 765	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
776		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
777	776	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
778	591	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ≤ 𝐾)
779	772, 774, 765, 778	lesub1dd 11847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
780	766, 773, 775, 777, 779	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
781		leaddsub 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
782	766, 765, 774, 781	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
783	780, 782	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
784	760, 761, 764, 771, 783	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
785	759, 784	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
786		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
787	785, 786	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
788	582, 685	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
789	582	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
790	788, 582, 587, 789, 591	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
791	790	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
792	766, 773, 774, 777, 791	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ 𝐾)
793	760, 761, 763, 769, 792	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
794	759, 793	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
795	794, 652	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
796	787, 795	zsubcld 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℤ)
797	796	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℂ)
798		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
799		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
800	798, 799	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
801	757, 757, 758, 797, 800	fsumshft 15856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
802		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
803	802	fvoveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
804	802	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
805	803, 804	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
806		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
807		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
808	805, 806, 807	cbvsum 15772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
809	808	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
810	801, 809	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
811	740, 734	npcand 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
812	811	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
813	812	sumeq1d 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
814	690	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
815	814, 730	npcand 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
816	815	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑙))
817	816	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
818	817	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
819	813, 818	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
820	810, 819	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
821	820	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))
822	821	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))))
823	756, 822	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))))
824		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑙 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘𝑙))
825		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
826		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 1 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘1))
827		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
828	811, 627	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
829	630	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
830		1zzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
831	633	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
832		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
833	832	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
834		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
835	834	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
836	833	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
837	582	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
838		1red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
839	837, 838	resubcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
840	839, 838	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
841	587	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
842		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
843	842	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
844	811, 591	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
845	844	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
846	836, 840, 841, 843, 845	letrd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ 𝐾)
847	830, 831, 833, 835, 846	elfzd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
848	829, 847	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
849		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
850	848, 849	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
851	850	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℂ)
852	824, 825, 826, 827, 758, 828, 851	telfsum2 15882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
853	852	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
854	853	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
855	811	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑗))
856	630, 579	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
857		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
858	856, 857	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
859	855, 858	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
860	859	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
861	640	nnred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
862	861	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
863	860, 862	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
864	734, 643, 863	addassd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
865	864	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
866	734, 862	pncan3d 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
867	866	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
868	862, 860	pncan3d 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
869	868, 855	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
870	867, 869	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
871	865, 870	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑‘𝑗))
872	854, 871	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (𝑑‘𝑗))
873	823, 872	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑‘𝑗))
874	755, 873	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑‘𝑗))
875	754, 874	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑‘𝑗))
876	751, 875	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
877	747, 876	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑‘𝑗))
878	733, 877	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
879	701, 878	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
880	684, 879	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
881	621, 880	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
882	604, 881	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
883	882	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
884	883	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)))
885		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑑‘𝑗)
886		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑑‘𝑞)
887		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑑‘𝑗) = (𝑑‘𝑞))
888	885, 886, 887	cbvmpt 5215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))
889	888	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
890	884, 889	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
891	558, 890	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
892	29, 891	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
893	54	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
894		dffn5 6943	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
895	894	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
896	893, 895	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
897	896	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)) = 𝑑)
898	892, 897	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)
899	898	ralrimiva 3159	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 {cab 2743 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 Vcvv 3457 ifcif 4489 {csn 4591 ⟨cop 4597 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 Fn wfn 6535 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 Fincfn 8949 ℂcc 11115 ℝcr 11116 0cc0 11117 1c1 11118 + caddc 11120 · cmul 11122 < clt 11260 ≤ cle 11261 − cmin 11458 ℕcn 12250 ℕ₀cn0 12521 ℤcz 12608 ℤ_≥cuz 12880 ...cfz 13553 ♯chash 14386 Σcsu 15763

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cnex 11173 ax-resscn 11174 ax-1cn 11175 ax-icn 11176 ax-addcl 11177 ax-addrcl 11178 ax-mulcl 11179 ax-mulrcl 11180 ax-mulcom 11181 ax-addass 11182 ax-mulass 11183 ax-distr 11184 ax-i2m1 11185 ax-1ne0 11186 ax-1rid 11187 ax-rnegex 11188 ax-rrecex 11189 ax-cnre 11190 ax-pre-lttri 11191 ax-pre-lttrn 11192 ax-pre-ltadd 11193 ax-pre-mulgt0 11194 ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-sup 9409 df-oi 9479 df-card 9941 df-pnf 11262 df-mnf 11263 df-xr 11264 df-ltxr 11265 df-le 11266 df-sub 11460 df-neg 11461 df-div 11889 df-nn 12251 df-2 12320 df-3 12321 df-n0 12522 df-z 12609 df-uz 12881 df-rp 13035 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-seq 14058 df-exp 14118 df-hash 14387 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-clim 15565 df-sum 15764

This theorem is used by: sticksstones12 42985

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