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Theorem sticksstones12a 42138
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones12a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones12a.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
sticksstones12a.4 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones12a (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝐵,𝑏,𝑖   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑓   𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎   𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘   𝑎,𝑑,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝑔,𝑏,𝑑   𝜑,𝑏   𝜑,𝑗   𝑔,𝑑,𝑖,𝑘   𝜑,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑑,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑑,𝑙)   𝐾(𝑑)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a
Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones12a.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3 0red 11261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 sticksstones12a.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
54nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63, 5ltned 11394 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
76necomd 2993 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≠ 0)
87neneqd 2942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
98ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
109iffalsed 4541 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝐾) = (𝑑𝐾))
1211oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
13 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
1413oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝑘) = (𝑑𝑘))
16 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
1715, 16oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
1817oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
1914, 18ifeq12d 4551 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
2012, 19ifeq12d 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2322mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2410, 23eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑𝐵)
26 fzfid 14010 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
2726mptexd 7243 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
282, 24, 25, 27fvmptd 7022 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐺𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2928fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30 sticksstones12a.3 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)))))
32 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
3332fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3433sumeq2dv 15734 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3534oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
3635mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
39 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
40 sticksstones12a.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
4140eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑𝐵𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
42 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
43 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑥) = (𝑑𝑥))
45 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑦) = (𝑑𝑦))
4644, 45breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓𝑥) < (𝑓𝑦) ↔ (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
4746imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
48472ralbidv 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
4943, 48anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))))
5042, 49elab 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5141, 50bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5251biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5453simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
574nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
5857nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
604nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
624nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
6362leidd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾𝐾)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾𝐾)
6556, 59, 59, 61, 64elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
6654, 65ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
7271nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7366, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
76 sticksstones12a.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7776ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7857ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7977, 78nn0addcld 12588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0)
80 nn0sub 12573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8175, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8270, 81mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0)
83 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
84 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
85 1le1 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≤ 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 1)
8756, 59, 56, 86, 61elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
8854, 87ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9654ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
9859ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101100ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103102ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106105necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
10799ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10962ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111109, 110readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113112ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114108, 111, 113leltned 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115106, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116100ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118 zleltp1 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
119116, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
120115, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘𝐾)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
12297, 98, 101, 103, 121elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
12396, 122ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℕ)
125124nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
126123, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
127 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
12858ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
1291283impa 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
1321313impa 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133132, 127zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
1351343ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1371363ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138132zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141137, 138, 140leltned 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘𝑘 ≠ 1))
142135, 141mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143127, 132zltp1led 41960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144142, 143mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145 leaddsub 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146137, 137, 138, 145syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147144, 146mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148133zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149623ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151149, 150readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152151, 150resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
1531123ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154138, 151, 150, 153lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
15562recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1561553ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158156, 157pncand 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159633ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾𝐾)
160158, 159eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161148, 152, 149, 154, 160letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162127, 129, 133, 147, 161elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163162ad5ant135 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
16496, 163ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167166nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168126, 167zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169168, 97zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171170nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172171ltm1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173163, 122jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
17453simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
175174ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
176 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178177breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑𝑥) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)))
179176, 178imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦))))
180 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → (𝑑𝑦) = (𝑑𝑘))
182181breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
183180, 182imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))))
184179, 183rspc2va 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
185173, 175, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
186172, 185mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))
187166nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188126zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℝ)
189187, 188posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘) ↔ 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190186, 189mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191 0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192191, 168zltlem1d 12668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193190, 192mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194169, 193jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195 elnn0z 12623 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196194, 195sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0)
19783, 84, 95, 196ifbothda 4568 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0)
19838, 39, 82, 197ifbothda 4568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0)
199 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200198, 199fmptd 7133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
201 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203202eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204202eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205202fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑖))
206202fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207205, 206oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208207oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209204, 208ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210203, 209ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
213 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215213, 214ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216212, 215ifcld 4576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217201, 210, 211, 216fvmptd 7022 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218217sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
222 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223221, 222oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224223oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225220, 224ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226219, 225ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
228 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
229226, 227, 228cbvsum 15727 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
231 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = 1
232 1p0e1 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 0) = 1
233231, 232eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (1 + 0)
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
235 0le1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 1)
237136, 3, 62, 136, 60, 236le2addd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
238234, 237eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
23958peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
240 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
24155, 239, 240syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
242238, 241mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
243242adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
244198nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
245 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
246 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
247 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
248 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
249247, 248oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
250249oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
251246, 250ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
252245, 251ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
253243, 244, 252fsumm1 15783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
254155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
255 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℂ)
256254, 255pncand 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
257256oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
258257sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
259 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
260259iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
261258, 260oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
262 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
263262adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
264263zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
26562ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
266 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
267265, 266readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
268 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘𝐾)
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
270265ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
271264, 265, 267, 269, 270lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
272264, 271ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
273272neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
274273iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
275274sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
276 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
277 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
278 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
279278iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
280279eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
281280oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
282 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
283282iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
284283eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
285284oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
286276, 277, 281, 285ifbothda 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
287286sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
289 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
290 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
291543adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
292873adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
293291, 292ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
29489nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
295293, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
297 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
298291, 297ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
299298, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
301291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
302 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
303593adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
304303adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
3052633impa 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
306305adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
307306, 302zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
308 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
309297, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
310309adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
311134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
312310, 311jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1))
313 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
314306zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
315313, 314ltlend 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1)))
316312, 315mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
317302, 306zltlem1d 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
318316, 317mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
319307zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
320304zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
321314lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
322297, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
323322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
324319, 314, 320, 321, 323letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
325302, 304, 307, 318, 324elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
326301, 325ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
327326, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
328327nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
329300, 328zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
330289, 290, 296, 329ifbothda 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
3313303expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
332331zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
333255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
334288, 332, 333fsumsub 15820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
335 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
336335oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
337336eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
338337sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
339 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
340231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 = 1)
341340iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
34290nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
343341, 342eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
344 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
345 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑𝑘) = (𝑑‘1))
346 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
347345, 346oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
348344, 347ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
349348fsum1 15779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
350339, 343, 349syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
351350, 341eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
352351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
353 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
354353adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
355338, 352, 3543eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
35643ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
357 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘1)
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ‘1))
359356, 358eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3603323adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
361 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
362359, 360, 361fsum1p 15785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
363 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
364 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
365364adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
366 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
367 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
368367adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
369366, 368zltp1led 41960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
370365, 369mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
371363, 370ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
372371necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
373372neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
374373iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
375374sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
376375oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
3772543adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
378 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
379377, 378npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
380379eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
381380oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
382381sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
383382oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
384 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
385384adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
386385zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
387 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
388386, 387npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
389388eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
390389fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
391390oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
392391sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
393392oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
394563adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
395593adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
396395, 394zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
397543adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
398397adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
399 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
400395adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
401 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
402401adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
403402nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
404403peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
405 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
406402nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
407404zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
408402nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
409406lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
410405, 406, 407, 408, 409letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
411 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
412411adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
413400zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
414 leaddsub 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
415406, 405, 413, 414syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
416412, 415mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
417399, 400, 404, 410, 416elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
418398, 417ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
419 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
420418, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
421420nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
422413, 405resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
423413lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
424406, 422, 413, 412, 423letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠𝐾)
425399, 400, 403, 408, 424elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
426398ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
427425, 426mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
428 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
429427, 428syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
430429nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℤ)
431421, 430zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℤ)
432431zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℂ)
433 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
434 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
435433, 434oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
436394, 394, 396, 432, 435fsumshft 15812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
437436eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)))
438437oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))))
439 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 𝑠 → (𝑑𝑜) = (𝑑𝑠))
440 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
441 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 1 → (𝑑𝑜) = (𝑑‘1))
442 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
443379, 359eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
44454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
4454443impa 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
446445ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
447446ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
448379oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
449448eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
450449imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
451447, 450mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
452451imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
453 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
454452, 453syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
455454nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℂ)
456439, 440, 441, 442, 396, 443, 455telfsum2 15837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
457456oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
458379fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑𝐾))
459458oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1)))
460459oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))))
4613423adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
46266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
463462nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
4644633adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
465461, 464pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
466 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) = (𝑑𝐾))
467465, 466eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
468460, 467eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
469457, 468eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = (𝑑𝐾))
470438, 469eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
471393, 470eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
472383, 471eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
473376, 472eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑𝐾))
474362, 473eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
4754743expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
476136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℝ)
47762adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
478476, 477leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
47961, 478mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
480479orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
481355, 475, 480mpjaodan 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
482 fsumconst 15822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
483288, 255, 482syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
48457adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
485 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
486484, 485syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
487486oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
488254mulridd 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
489487, 488eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
490483, 489eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
491481, 490oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
492334, 491eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
493287, 492eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
494463, 254subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
495494addridd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
496495eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0))
497 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 ∈ ℂ)
498494, 497addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
499496, 498eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
500493, 499eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
501497, 254, 463subsub2d 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
502501eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
503500, 502eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
50476nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
505504adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
506505subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁𝑁) = 0)
507506eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 = (𝑁𝑁))
508507oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
509503, 508eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
510254, 463subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
511505, 505, 510subsub4d 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
512509, 511eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
513505, 254, 463addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))))
514513eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
515514oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
516512, 515eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
517275, 516eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
518 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
519 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
520 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
521295, 520zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
522521adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
523520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
524329, 523zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
525518, 519, 522, 524ifbothda 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
5265253expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
527274eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
528526, 527mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
529288, 528fsumzcl 15767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
530529zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
531505, 254addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
532531, 463subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
533530, 532, 505addlsub 11676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))))
534517, 533mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
535 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 = 𝑁)
536534, 535eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
537261, 536eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
538253, 537eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
539230, 538eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
540218, 539eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
541200, 540jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
542 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
543542mptex 7242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
544 feq1 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
545 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
546545fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
547546sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
548547eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
549544, 548anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
550543, 549elab 3680 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551550a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
552541, 551mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
553 sticksstones12a.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
554553a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
555554eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
556552, 555eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
557288mptexd 7243 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
55831, 37, 556, 557fvmptd 7022 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
559 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
560 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
561560eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
562560eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
563560fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑙))
564560oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
565564fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
566563, 565oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
567566oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
568562, 567ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
569561, 568ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
570 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
571583ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
572571adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
573572peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
574 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
575574adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
576 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
577576adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
578575zred 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
579 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
580 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
582581nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
583582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
584573zred 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
585 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙𝑗)
586585adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝑗)
587623ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
588 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
589587, 588readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
590 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗𝐾)
591579, 590syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗𝐾)
592587lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
593582, 587, 589, 591, 592letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
594593adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
595578, 583, 584, 586, 594letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
596570, 573, 575, 577, 595elfzd 13551 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
597 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
598 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
599 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
600598, 599ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
601597, 600ifcld 4576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
602559, 569, 596, 601fvmptd 7022 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
603602sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
604603oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
605 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
606605adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
607606nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
608587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
609 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
610608, 609readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
611581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
612611nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
613591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗𝐾)
614607, 612, 608, 586, 613letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝐾)
615608ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
616607, 608, 610, 614, 615lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
617607, 616ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
618617neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
619618iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
620619sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
621620oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
622581nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
623553ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
624581nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
625 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
626623, 624, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
627622, 626mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
628 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
629 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
630543adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
631 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
632631, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
633631, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
634 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
635623, 633, 634syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
636632, 635mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
637 eluzfz1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
638636, 637syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
639630, 638ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
640639, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
641640nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
642641, 623zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
643642zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
644643adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
645644adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
646630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
647633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
648606nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
649606nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
650570, 647, 648, 649, 614elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
651646, 650ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
652 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
653651, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
654653adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
655646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
656 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
657647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
658648adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
659658, 656zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
660 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
661660adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
662609adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
663607adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
664649adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
665662, 663, 664leltned 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙𝑙 ≠ 1))
666661, 665mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
667656, 658zltlem1d 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
668666, 667mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
669659zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
670608adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
671663lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
672614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙𝐾)
673669, 663, 670, 671, 672letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
674656, 657, 659, 668, 673elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
675655, 674ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
676 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
678654, 677zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
679678, 656zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
680679zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
681628, 629, 645, 680ifbothda 4568 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
682 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
683627, 681, 682fsum1p 15785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
684683oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
685631, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
686685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
687686, 686readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
688 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
689688adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
690689zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
691686ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
692 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
693692adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
694686, 687, 690, 691, 693ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
695686, 694ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
696695necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
697696neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
698697iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
699698sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
700699oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
701700oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
702 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
703630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
704 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
705633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
706686, 687, 691ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
707686, 687, 690, 706, 693letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
708582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
709587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
710 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙𝑗)
711710adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝑗)
712591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗𝐾)
713690, 708, 709, 711, 712letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝐾)
714704, 705, 689, 707, 713elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
715703, 714ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
716715, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
717716zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℂ)
718689, 704zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
719 leaddsub 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
720686, 686, 690, 719syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
721693, 720mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
722690, 686resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
723690lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
724722, 690, 709, 723, 713letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
725704, 705, 718, 721, 724elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
726703, 725ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
727676zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
728726, 727syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
729717, 728subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
730 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
731702, 729, 730fsumsub 15820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
732731oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
733732oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
734 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
735 fsumconst 15822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
736702, 734, 735syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
737 hashfzp1 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
738627, 737syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
739738oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
740581nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
741740, 734subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
742741mulridd 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
743739, 742eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
744736, 743eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
745744oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
746745oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
747746oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
748702, 729fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
749643, 748, 741addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
750749eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
751750oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
752643, 748addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
753740, 752, 741addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
754753eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
755740, 752, 741addsubd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
756740, 734nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
757 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
758624, 623zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
759630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
760 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
761633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
762 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
763762adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
764763peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
765 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
766763zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
767766, 765readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
768 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
769768adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
770766lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
771765, 766, 767, 769, 770letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
772582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
773772, 765resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
774587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
775774, 765resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
776 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
777776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
778591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗𝐾)
779772, 774, 765, 778lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
780766, 773, 775, 777, 779letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
781 leaddsub 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
782766, 765, 774, 781syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
783780, 782mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
784760, 761, 764, 771, 783elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
785759, 784ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
786 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
787785, 786syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
788582, 685resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
789582lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
790788, 582, 587, 789, 591letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
791790adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
792766, 773, 774, 777, 791letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙𝐾)
793760, 761, 763, 769, 792elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
794759, 793ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
795794, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
796787, 795zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℤ)
797796zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℂ)
798 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
799 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
800798, 799oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
801757, 757, 758, 797, 800fsumshft 15812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
802 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
803802fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
804802fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
805803, 804oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
806 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
807 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
808805, 806, 807cbvsum 15727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
809808a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
810801, 809eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
811740, 734npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
812811oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
813812sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
814690recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
815814, 730npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
816815fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑𝑙))
817816oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
818817sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
819813, 818eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
820810, 819eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
821820eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))
822821oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))))
823756, 822oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))))
824 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑙 → (𝑑𝑟) = (𝑑𝑙))
825 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
826 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 1 → (𝑑𝑟) = (𝑑‘1))
827 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
828811, 627eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
829630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
830 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
831633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
832 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
833832adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
834 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
835834adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
836833zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
837582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
838 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
839837, 838resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
840839, 838readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
841587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
842 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
843842adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
844811, 591eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
845844adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
846836, 840, 841, 843, 845letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟𝐾)
847830, 831, 833, 835, 846elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
848829, 847ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
849 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
850848, 849syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
851850zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℂ)
852824, 825, 826, 827, 758, 828, 851telfsum2 15837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
853852oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
854853oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
855811fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑𝑗))
856630, 579ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
857 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
858856, 857syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
859855, 858eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
860859zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
861640nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
862861recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
863860, 862subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
864734, 643, 863addassd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
865864eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
866734, 862pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
867866oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
868862, 860pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
869868, 855eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
870867, 869eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
871865, 870eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑𝑗))
872854, 871eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (𝑑𝑗))
873823, 872eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑𝑗))
874755, 873eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑𝑗))
875754, 874eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑𝑗))
876751, 875eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑𝑗))
877747, 876eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑𝑗))
878733, 877eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
879701, 878eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
880684, 879eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
881621, 880eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
882604, 881eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
8838823expa 1117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
884883mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)))
885 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑞(𝑑𝑗)
886 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑗(𝑑𝑞)
887 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑞 → (𝑑𝑗) = (𝑑𝑞))
888885, 886, 887cbvmpt 5258 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞))
889888a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
890884, 889eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
891558, 890eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89229, 891eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89354ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
894 dffn5 6966 . . . . . 6 (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
895894biimpi 216 . . . . 5 (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
896893, 895syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
897896eqcomd 2740 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)) = 𝑑)
898892, 897eqtrd 2774 . 2 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
899898ralrimiva 3143 1 (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3477  ifcif 4530  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  chash 14365  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
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