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Theorem sticksstones12a 40565
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones12a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones12a.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
sticksstones12a.4 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones12a (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝐵,𝑏,𝑖   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑓   𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎   𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘   𝑎,𝑑,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝑔,𝑏,𝑑   𝜑,𝑏   𝜑,𝑗   𝑔,𝑑,𝑖,𝑘   𝜑,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑑,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑑,𝑙)   𝐾(𝑑)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a
Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones12a.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3 0red 11158 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 sticksstones12a.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
54nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63, 5ltned 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
76necomd 2999 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≠ 0)
87neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
98ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
109iffalsed 4497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝐾) = (𝑑𝐾))
1211oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
13 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
1413oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝑘) = (𝑑𝑘))
16 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
1715, 16oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
1817oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
1914, 18ifeq12d 4507 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
2012, 19ifeq12d 4507 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2322mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2410, 23eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑𝐵)
26 fzfid 13878 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
2726mptexd 7174 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
282, 24, 25, 27fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐺𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2928fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30 sticksstones12a.3 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)))))
32 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
3332fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3433sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3534oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
3635mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
3736adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
39 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
40 sticksstones12a.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
4140eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑𝐵𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
42 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
43 feq1 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑥) = (𝑑𝑥))
45 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑦) = (𝑑𝑦))
4644, 45breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓𝑥) < (𝑓𝑦) ↔ (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
4746imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
48472ralbidv 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
4943, 48anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))))
5042, 49elab 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5141, 50bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5251biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5453simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
574nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
5857nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
604nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
624nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
6362leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾𝐾)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾𝐾)
6556, 59, 59, 61, 64elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
6654, 65ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
7271nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7366, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
76 sticksstones12a.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7776ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7857ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7977, 78nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0)
80 nn0sub 12463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8175, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8270, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0)
83 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
84 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
85 1le1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≤ 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 1)
8756, 59, 56, 86, 61elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
8854, 87ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9654ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
9859ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101100ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103102ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106105necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
10799ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10962ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111109, 110readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113112ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114108, 111, 113leltned 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115106, 114mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116100ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11759ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118 zleltp1 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
119116, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
120115, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘𝐾)
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
12297, 98, 101, 103, 121elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
12396, 122ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℕ)
125124nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
126123, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
127 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
12858ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
1291283impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130100adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
1321313impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133132, 127zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
1351343ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1371363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138132zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141137, 138, 140leltned 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘𝑘 ≠ 1))
142135, 141mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143127, 132zltp1led 40437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144142, 143mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146137, 137, 138, 145syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147144, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148133zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151149, 150readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152151, 150resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
1531123ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154138, 151, 150, 153lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
15562recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1561553ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158156, 157pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾𝐾)
160158, 159eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161148, 152, 149, 154, 160letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162127, 129, 133, 147, 161elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163162ad5ant135 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
16496, 163ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167166nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168126, 167zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169168, 97zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171170nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172171ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173163, 122jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
17453simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
175174ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
176 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178177breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑𝑥) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)))
179176, 178imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦))))
180 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → (𝑑𝑦) = (𝑑𝑘))
182181breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
183180, 182imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))))
184179, 183rspc2va 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
185173, 175, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
186172, 185mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))
187166nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188126zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℝ)
189187, 188posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘) ↔ 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190186, 189mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192191, 168zltlem1d 40436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193190, 192mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194169, 193jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196194, 195sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0)
19783, 84, 95, 196ifbothda 4524 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0)
19838, 39, 82, 197ifbothda 4524 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0)
199 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200198, 199fmptd 7062 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
201 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203202eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204202eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205202fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑖))
206202fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207205, 206oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208207oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209204, 208ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210203, 209ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
213 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215213, 214ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216212, 215ifcld 4532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217201, 210, 211, 216fvmptd 6955 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218217sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
222 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223221, 222oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224223oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225220, 224ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226219, 225ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(1...(𝐾 + 1))
228 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(1...(𝐾 + 1))
229 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
230 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
231226, 227, 228, 229, 230cbvsum 15580 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
232231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
233 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = 1
234 1p0e1 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 0) = 1
235233, 234eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (1 + 0)
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
237 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 1)
239136, 3, 62, 136, 60, 238le2addd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
240236, 239eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
24158peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
242 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
24355, 241, 242syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
244240, 243mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
245244adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
246198nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
247 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
248 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
249 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
250 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
251249, 250oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
252251oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
253248, 252ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
254247, 253ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
255245, 246, 254fsumm1 15636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
256155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
257 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℂ)
258256, 257pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
259258oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
260259sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
261 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
262261iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
263260, 262oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
264 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
265264adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
266265zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
26762ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
268 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
269267, 268readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
270 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘𝐾)
271270adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
272267ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
273266, 267, 269, 271, 272lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
274266, 273ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
275274neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
276275iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
277276sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
278 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
279 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
280 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
281280iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
282281eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
283282oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
284 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
285284iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
286285eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
287286oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288278, 279, 283, 287ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
289288sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
290 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
291 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
292 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
293543adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
294873adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
295293, 294ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
29689nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
297295, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
298297adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
299 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
300293, 299ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
301300, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
302301adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
303293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
304 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
305593adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
306305adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
3072653impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
308307adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
309308, 304zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
310 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
311299, 310syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
312311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
313134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
314312, 313jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1))
315 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
316308zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
317315, 316ltlend 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1)))
318314, 317mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
319304, 308zltlem1d 40436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
320318, 319mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
321309zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
322306zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
323316lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
324299, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
325324adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
326321, 316, 322, 323, 325letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
327304, 306, 309, 320, 326elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
328303, 327ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
329328, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
330329nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
331302, 330zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
332291, 292, 298, 331ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
3333323expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
334333zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
335257adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
336290, 334, 335fsumsub 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
337 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
338337oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
339338eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
340339sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
341 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
342233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 = 1)
343342iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
34490nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
345343, 344eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
346 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
347 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑𝑘) = (𝑑‘1))
348 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
349347, 348oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
350346, 349ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
351350fsum1 15632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
352341, 345, 351syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
353352, 343eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
354353adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
355 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
356355adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
357340, 354, 3563eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
35843ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
359 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘1)
360359a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ‘1))
361358, 360eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3623343adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
363 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
364361, 362, 363fsum1p 15638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
365 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
366 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
367366adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
368 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
369 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
370369adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
371368, 370zltp1led 40437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
372367, 371mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
373365, 372ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
374373necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
375374neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
376375iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
377376sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
378377oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
3792563adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
380 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
381379, 380npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
382381eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
383382oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
384383sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
385384oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
386 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
387386adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
388387zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
389 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
390388, 389npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
391390eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
392391fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
393392oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
394393sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
395394oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
396563adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
397593adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
398397, 396zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
399543adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
400399adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
401 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
402397adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
403 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
404403adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
405404nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
406405peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
407 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
408404nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
409406zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
410404nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
411408lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
412407, 408, 409, 410, 411letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
413 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
414413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
415402zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
416 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
417408, 407, 415, 416syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
418414, 417mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
419401, 402, 406, 412, 418elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
420400, 419ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
421 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
422420, 421syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
423422nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
424415, 407resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
425415lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
426408, 424, 415, 414, 425letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠𝐾)
427401, 402, 405, 410, 426elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
428400ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
429427, 428mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
430 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
431429, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
432431nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℤ)
433423, 432zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℤ)
434433zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℂ)
435 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
436 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
437435, 436oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
438396, 396, 398, 434, 437fsumshft 15665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
439438eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)))
440439oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))))
441 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 𝑠 → (𝑑𝑜) = (𝑑𝑠))
442 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
443 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 1 → (𝑑𝑜) = (𝑑‘1))
444 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
445381, 361eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
44654adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
4474463impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
448447ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
449448ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
450381oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
451450eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
452451imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
453449, 452mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
454453imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
455 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
456454, 455syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
457456nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℂ)
458441, 442, 443, 444, 398, 445, 457telfsum2 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
459458oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
460381fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑𝐾))
461460oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1)))
462461oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))))
4633443adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
46466, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
465464nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
4664653adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
467463, 466pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
468 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) = (𝑑𝐾))
469467, 468eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
470462, 469eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
471459, 470eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = (𝑑𝐾))
472440, 471eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
473395, 472eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
474385, 473eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
475378, 474eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑𝐾))
476364, 475eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
4774763expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
478136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℝ)
47962adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
480478, 479leloed 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
48161, 480mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
482481orcomd 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
483357, 477, 482mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
484 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
485290, 257, 484syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
48657adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
487 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
488486, 487syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
489488oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
490256mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
491489, 490eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
492485, 491eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
493483, 492oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
494336, 493eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
495289, 494eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
496465, 256subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
497496addid1d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
498497eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0))
499 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 ∈ ℂ)
500496, 499addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
501498, 500eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
502495, 501eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
503499, 256, 465subsub2d 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
504503eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
505502, 504eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
50676nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
507506adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
508507subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁𝑁) = 0)
509508eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 = (𝑁𝑁))
510509oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
511505, 510eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
512256, 465subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
513507, 507, 512subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
514511, 513eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
515507, 256, 465addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))))
516515eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
517516oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
518514, 517eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
519277, 518eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
520 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
521 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
522 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
523297, 522zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
524523adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
525522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
526331, 525zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
527520, 521, 524, 526ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
5285273expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
529276eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
530528, 529mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
531290, 530fsumzcl 15620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
532531zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
533507, 256addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
534533, 465subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
535532, 534, 507addlsub 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))))
536519, 535mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
537 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 = 𝑁)
538536, 537eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
539263, 538eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
540255, 539eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
541232, 540eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
542218, 541eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
543200, 542jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
544 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
545544mptex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
546 feq1 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
547 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
548547fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
549548sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
550549eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551546, 550anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
552545, 551elab 3630 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
553552a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
554543, 553mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
555 sticksstones12a.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
556555a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
557556eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
558554, 557eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
559290mptexd 7174 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
56031, 37, 558, 559fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
561 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
562 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
563562eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
564562eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
565562fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑙))
566562oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
567566fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
568565, 567oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
569568oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
570564, 569ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
571563, 570ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
572 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
573583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
574573adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
575574peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
576 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
577576adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
578 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
579578adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
580577zred 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
581 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
582 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
583581, 582syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
584583nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
585584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
586575zred 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
587 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙𝑗)
588587adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝑗)
589623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
590 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
591589, 590readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
592 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗𝐾)
593581, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗𝐾)
594589lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
595584, 589, 591, 593, 594letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
596595adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
597580, 585, 586, 588, 596letrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
598572, 575, 577, 579, 597elfzd 13432 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
599 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
600 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
601 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
602600, 601ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
603599, 602ifcld 4532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
604561, 571, 598, 603fvmptd 6955 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
605604sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
606605oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
607 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
608607adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
609608nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
610589adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
611 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
612610, 611readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
613583adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
614613nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
615593adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗𝐾)
616609, 614, 610, 588, 615letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝐾)
617610ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
618609, 610, 612, 616, 617lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
619609, 618ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
620619neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
621620iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
622621sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
623622oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
624583nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
625553ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
626583nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
627 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
628625, 626, 627syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
629624, 628mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
630 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
631 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
632543adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
633 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
634633, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
635633, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
636 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
637625, 635, 636syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
638634, 637mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
639 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
640638, 639syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
641632, 640ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
642641, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
643642nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
644643, 625zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
645644zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
646645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
647646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
648632adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
649635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
650608nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
651608nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
652572, 649, 650, 651, 616elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
653648, 652ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
654 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
655653, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
656655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
657648adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
658 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
659649adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
660650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
661660, 658zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
662 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
663662adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
664611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
665609adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
666651adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
667664, 665, 666leltned 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙𝑙 ≠ 1))
668663, 667mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
669658, 660zltlem1d 40436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
670668, 669mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
671661zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
672610adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
673665lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
674616adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙𝐾)
675671, 665, 672, 673, 674letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
676658, 659, 661, 670, 675elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
677657, 676ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
678 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
679677, 678syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
680656, 679zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
681680, 658zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
682681zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
683630, 631, 647, 682ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
684 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
685629, 683, 684fsum1p 15638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
686685oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
687633, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
688687adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
689688, 688readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
690 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
691690adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
692691zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
693688ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
694 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
695694adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
696688, 689, 692, 693, 695ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
697688, 696ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
698697necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
699698neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
700699iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
701700sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
702701oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
703702oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
704 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
705632adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
706 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
707635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
708688, 689, 693ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
709688, 689, 692, 708, 695letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
710584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
711589adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
712 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙𝑗)
713712adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝑗)
714593adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗𝐾)
715692, 710, 711, 713, 714letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝐾)
716706, 707, 691, 709, 715elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
717705, 716ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
718717, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
719718zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℂ)
720691, 706zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
721 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
722688, 688, 692, 721syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
723695, 722mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
724692, 688resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
725692lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
726724, 692, 711, 725, 715letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
727706, 707, 720, 723, 726elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
728705, 727ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
729678zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
730728, 729syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
731719, 730subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
732 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
733704, 731, 732fsumsub 15673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
734733oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
735734oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
736 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
737 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
738704, 736, 737syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
739 hashfzp1 14331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
740629, 739syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
741740oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
742583nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
743742, 736subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
744743mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
745741, 744eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
746738, 745eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
747746oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
748747oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
749748oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
750704, 731fsumcl 15618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
751645, 750, 743addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
752751eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
753752oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
754645, 750addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
755742, 754, 743addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
756755eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
757742, 754, 743addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
758742, 736nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
759 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
760626, 625zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
761632adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
762 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
763635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
764 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
765764adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
766765peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
767 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
768765zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
769768, 767readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
770 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
771770adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
772768lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
773767, 768, 769, 771, 772letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
774584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
775774, 767resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
776589adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
777776, 767resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
778 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
779778adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
780593adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗𝐾)
781774, 776, 767, 780lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
782768, 775, 777, 779, 781letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
783 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
784768, 767, 776, 783syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
785782, 784mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
786762, 763, 766, 773, 785elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
787761, 786ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
788 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
789787, 788syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
790584, 687resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
791584lem1d 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
792790, 584, 589, 791, 593letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
793792adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
794768, 775, 776, 779, 793letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙𝐾)
795762, 763, 765, 771, 794elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
796761, 795ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
797796, 654syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
798789, 797zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℤ)
799798zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℂ)
800 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
801 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
802800, 801oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
803759, 759, 760, 799, 802fsumshft 15665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
804 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
805804fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
806804fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
807805, 806oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
808 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))
809 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑤((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))
810 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
811 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
812807, 808, 809, 810, 811cbvsum 15580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
813812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
814803, 813eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
815742, 736npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
816815oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
817816sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
818692recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
819818, 732npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
820819fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑𝑙))
821820oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
822821sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
823817, 822eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
824814, 823eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
825824eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))
826825oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))))
827758, 826oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))))
828 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑙 → (𝑑𝑟) = (𝑑𝑙))
829 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
830 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 1 → (𝑑𝑟) = (𝑑‘1))
831 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
832815, 629eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
833632adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
834 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
835635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
836 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
837836adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
838 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
839838adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
840837zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
841584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
842 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
843841, 842resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
844843, 842readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
845589adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
846 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
847846adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
848815, 593eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
849848adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
850840, 844, 845, 847, 849letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟𝐾)
851834, 835, 837, 839, 850elfzd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
852833, 851ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
853 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
854852, 853syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
855854zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℂ)
856828, 829, 830, 831, 760, 832, 855telfsum2 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
857856oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
858857oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
859815fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑𝑗))
860632, 581ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
861 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
862860, 861syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
863859, 862eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
864863zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
865642nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
866865recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
867864, 866subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
868736, 645, 867addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
869868eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
870736, 866pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
871870oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
872866, 864pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
873872, 859eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
874871, 873eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
875869, 874eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑𝑗))
876858, 875eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (𝑑𝑗))
877827, 876eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑𝑗))
878757, 877eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑𝑗))
879756, 878eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑𝑗))
880753, 879eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑𝑗))
881749, 880eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑𝑗))
882735, 881eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
883703, 882eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
884686, 883eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
885623, 884eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
886606, 885eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
8878863expa 1118 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
888887mpteq2dva 5205 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)))
889 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑞(𝑑𝑗)
890 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑗(𝑑𝑞)
891 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑞 → (𝑑𝑗) = (𝑑𝑞))
892889, 890, 891cbvmpt 5216 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞))
893892a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
894888, 893eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
895560, 894eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89629, 895eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89754ffnd 6669 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
898 dffn5 6901 . . . . . 6 (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
899898biimpi 215 . . . . 5 (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
900897, 899syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
901900eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)) = 𝑑)
902896, 901eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
903902ralrimiva 3143 1 (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  chash 14230  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
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