sticksstones12a - Mathbox for metakunt

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Theorem sticksstones12a 43207

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones12a.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones12a.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones12a	⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑗,𝑙 𝜑,𝑑,𝑏 𝑔,𝑏,𝑖,𝑘,𝑑 𝑎,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑙 𝐹,𝑏,𝑘 𝐵,𝑏 𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘 𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙 𝑗,𝐾,𝑙,𝑎 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎 𝐾,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦 𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦 𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙 𝐵,𝑗 𝜑,𝑎 𝑗,𝑘,𝜑,𝑥,𝑦,𝑙,𝑑 𝜑,𝑏,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓, 𝑔) 𝐴(𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑑) 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑑) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑑, 𝑙) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑙) 𝐾(𝑑) 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3		0red 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		sticksstones12a.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nngt0d 12387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
6	3, 5	ltned 11446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
7	6	necomd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
8	7	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
10	9	iffalsed 4493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
12	11	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
13		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
14	13	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑘) = (𝑑‘𝑘))
16		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
17	15, 16	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
18	17	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
19	14, 18	ifeq12d 4504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
20	12, 19	ifeq12d 4504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
23	22	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
24	10, 23	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		fzfid 14116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
27	26	mptexd 7230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
28	2, 24, 25, 27	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
29	28	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30		sticksstones12a.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)))))
32		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
33	32	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎‘𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
34	33	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
35	34	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
36	35	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
37	36	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38		eleq1 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
39		eleq1 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
40		sticksstones12a.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
41	40	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
42		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ V
43		feq1 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑥) = (𝑑‘𝑥))
45		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑦) = (𝑑‘𝑦))
46	44, 45	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
47	46	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
48	47	2ralbidv 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
49	43, 48	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))))
50	42, 49	elab 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
51	41, 50	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
52	51	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))
54	53	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
57	4	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
58	57	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
60	4	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
62	4	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
65	56, 59, 59, 61, 64	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
66	54, 65	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
73	66, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀)
76		sticksstones12a.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
77	76	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
78	57	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
79	77, 78	nn0addcld 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
80		nn0sub 12656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ₀) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
81	75, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀))
82	70, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
83		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
84		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
85		1le1 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ≤ 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
87	56, 59, 56, 86, 61	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
88	54, 87	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
90	88, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91		nnm1nn0 12647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
96	54	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
98	59	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101	100	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103	102	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104		neqne 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105	104	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106	105	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
107	99	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
109	62	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111	109, 110	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113	112	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114	108, 111, 113	leltned 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115	106, 114	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116	100	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
117	59	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118		zleltp1 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
119	116, 117, 118	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
120	115, 119	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
122	97, 98, 101, 103, 121	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	96, 122	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℕ)
125	124	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
126	123, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
127		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
128	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
129	128	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
132	131	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133	132, 127	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134		neqne 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
135	134	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
137	136	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138	132	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140	139, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141	137, 138, 140	leltned 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1))
142	135, 141	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143	127, 132	zltp1led 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144	142, 143	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145		leaddsub 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146	137, 137, 138, 145	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147	144, 146	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148	133	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149	62	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151	149, 150	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152	151, 150	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
153	112	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154	138, 151, 150, 153	lesub1dd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
155	62	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
156	155	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158	156, 157	pncand 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159	63	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ≤ 𝐾)
160	158, 159	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161	148, 152, 149, 154, 160	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162	127, 129, 133, 147, 161	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163	162	ad5ant135 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
164	96, 163	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166	164, 165	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167	166	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168	126, 167	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169	168, 97	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171	170	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172	171	ltm1d 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173	163, 122	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
174	53	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
175	174	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))
176		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178	177	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)))
179	176, 178	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦))))
180		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑑‘𝑦) = (𝑑‘𝑘))
182	181	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
183	180, 182	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))))
184	179, 183	rspc2va 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
185	173, 175, 184	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))
186	172, 185	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))
187	166	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188	126	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℝ)
189	187, 188	posdifd 11903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190	186, 189	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191		0zd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192	191, 168	zltlem1d 12750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193	190, 192	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194	169, 193	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195		elnn0z 12706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196	194, 195	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
197	83, 84, 95, 196	ifbothda 4521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
198	38, 39, 82, 197	ifbothda 4521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
199		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200	198, 199	fmptd 7114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
201		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203	202	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204	202	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205	202	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑖))
206	202	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207	205, 206	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208	207	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209	204, 208	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210	203, 209	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
213		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215	213, 214	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216	212, 215	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217	201, 210, 211, 216	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218	217	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘𝑖) = (𝑑‘𝑘))
222		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223	221, 222	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224	223	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225	220, 224	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226	219, 225	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
228		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
229	226, 227, 228	cbvsum 15862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
231		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = 1
232		1p0e1 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 0) = 1
233	231, 232	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1 + 0)
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
235		0le1 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
237	136, 3, 62, 136, 60, 236	le2addd 11935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
238	234, 237	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
239	58	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
240		eluz 12979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
241	55, 239, 240	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
242	238, 241	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
243	242	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
244	198	nn0cnd 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
245		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
246		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
247		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
248		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
249	247, 248	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
250	249	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
251	246, 250	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
252	245, 251	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
253	243, 244, 252	fsumm1 15917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
254	155	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
255		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
256	254, 255	pncand 11670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
257	256	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
258	257	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
259		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
260	259	iftrued 4490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
261	258, 260	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
262	76	nn0cnd 12669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
263	262	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
264	263, 254	addcld 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
265	66, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
267	264, 266	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
268		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
269	268	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
270	269	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
271	62	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
272		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
273	271, 272	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
274		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ≤ 𝐾)
275	274	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
276	271	ltp1d 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
277	270, 271, 273, 275, 276	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
278	270, 277	ltned 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
279	278	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
280	279	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
281	280	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
282		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
283		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
284		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
285	284	iftrued 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
286	285	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
287	286	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
289	288	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
290	289	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
291	290	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
292	282, 283, 287, 291	ifbothda 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
293	292	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
294		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
295		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
296		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
297	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
298	87	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
299	297, 298	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
300	89	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
301	299, 300	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
302	301	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
303		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
304	297, 303	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
305	304, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
306	305	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ)
307	297	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
308		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
309	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
310	309	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
311	269	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
312	311	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
313	312, 308	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
314		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
315	303, 314	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
316	315	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
317	134	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
318	316, 317	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
319		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
320	312	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
321	319, 320	ltlend 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
322	318, 321	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
323	308, 312	zltlem1d 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
324	322, 323	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
325	313	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
326	310	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
327	320	lem1d 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
328	303, 274	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
329	328	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾)
330	325, 320, 326, 327, 329	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
331	308, 310, 313, 324, 330	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
332	307, 331	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
333	332, 165	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
334	333	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
335	306, 334	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
336	295, 296, 302, 335	ifbothda 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
337	336	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
338	337	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
339	255	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
340	294, 338, 339	fsumsub 15954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
341		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
342	341	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
343	342	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
344	343	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
345		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
346	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 = 1)
347	346	iftrued 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
348	90	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
349	347, 348	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
350		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
351		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘1))
352		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
353	351, 352	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
354	350, 353	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
355	354	fsum1 15913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
356	345, 349, 355	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
357	356, 347	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
358	357	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
359		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
360	359	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾))
361	344, 358, 360	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
362	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
363		nnuz 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
364	363	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ_≥‘1))
365	362, 364	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
366	338	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
367		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
368	365, 366, 367	fsum1p 15919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
369		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
370		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
371	370	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
372		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
373		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
374	373	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
375	372, 374	zltp1led 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
376	371, 375	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
377	369, 376	ltned 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
378	377	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
379	378	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
380	379	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
381	380	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
382	381	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
383	254	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
384		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
385	383, 384	npcand 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
386	385	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
387	386	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
388	387	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
389	388	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
390		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
391	390	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
392	391	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
393		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
394	392, 393	npcand 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
395	394	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
396	395	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
397	396	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
398	397	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
399	398	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
400	56	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
401	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
402	401, 400	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
403	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
404	403	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
405		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
406	401	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
407		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
408	407	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
409	408	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
410	409	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
411		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
412	408	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
413	410	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
414	408	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
415	412	lep1d 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
416	411, 412, 413, 414, 415	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
417		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
418	417	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
419	406	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
420		leaddsub 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
421	412, 411, 419, 420	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
422	418, 421	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
423	405, 406, 410, 416, 422	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
424	404, 423	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
425		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
426	424, 425	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
427	426	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
428	419, 411	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
429	419	lem1d 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
430	412, 428, 419, 418, 429	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
431	405, 406, 409, 414, 430	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
432	404	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
433	431, 432	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
434		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
435	433, 434	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ)
436	435	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℤ)
437	427, 436	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℤ)
438	437	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℂ)
439		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
440		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
441	439, 440	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
442	400, 400, 402, 438, 441	fsumshft 15946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
443	442	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)))
444	443	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))))
445		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘𝑠))
446		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
447		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑜 = 1 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘1))
448		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
449	385, 365	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
450	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
451	450	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
452	451	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
453	452	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
454	385	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
455	454	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
456	455	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
457	453, 456	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
458	457	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
459		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
460	458, 459	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ)
461	460	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℂ)
462	445, 446, 447, 448, 402, 449, 461	telfsum2 15972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
463	462	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
464	385	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝐾))
465	464	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1)))
466	465	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))))
467	348	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
468	266	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ)
469	467, 468	pncan3d 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
470		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) = (𝑑‘𝐾))
471	469, 470	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
472	466, 471	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾))
473	463, 472	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = (𝑑‘𝐾))
474	444, 473	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
475	399, 474	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
476	389, 475	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
477	382, 476	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑‘𝐾))
478	368, 477	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
479	478	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
480	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
481	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
482	480, 481	leloed 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
483	61, 482	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
484	483	orcomd 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
485	361, 479, 484	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾))
486		fsumconst 15956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
487	294, 255, 486	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
488	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
489		hashfz1 14490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
490	488, 489	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
491	490	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
492	254	mulridd 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
493	491, 492	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
494	487, 493	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
495	485, 494	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
496	340, 495	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
497	293, 496	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
498	266, 254	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
499	498	addridd 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))
500	499	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0))
501		0cnd 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
502	498, 501	addcomd 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
503	500, 502	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
504	497, 503	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
505	501, 254, 266	subsub2d 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)))
506	505	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
507	504, 506	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
508	263	subidd 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
509	508	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
510	509	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
511	507, 510	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
512	254, 266	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ)
513	263, 263, 512	subsub4d 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
514	511, 513	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))))
515	263, 254, 266	addsubassd 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))
516	515	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))
517	516	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
518	514, 517	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
519	281, 518	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))
520	263, 267, 519	mvrrsubd 11729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁)
521	261, 520	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
522	253, 521	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
523	230, 522	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
524	218, 523	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
525	200, 524	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
526		ovex 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
527	526	mptex 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
528		feq1 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
529		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
530	529	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
531	530	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
532	531	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
533	528, 532	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
534	527, 533	elab 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
535	534	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
536	525, 535	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
537		sticksstones12a.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
538	537	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
539	538	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
540	536, 539	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
541	294	mptexd 7230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
542	31, 37, 540, 541	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
543		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
544		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
545	544	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
546	544	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
547	544	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑙))
548	544	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
549	548	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
550	547, 549	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
551	550	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
552	546, 551	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
553	545, 552	ifbieq2d 4509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
554		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
555	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
556	555	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
557	556	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
558		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
559	558	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
560		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
561	560	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
562	559	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
563		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
564		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
565	563, 564	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
566	565	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
567	566	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
568	557	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
569		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
570	569	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
571	62	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
572		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
573	571, 572	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
574		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ≤ 𝐾)
575	563, 574	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
576	571	lep1d 12248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
577	566, 571, 573, 575, 576	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
578	577	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
579	562, 567, 568, 570, 578	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
580	554, 557, 559, 561, 579	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
581		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V)
582		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
583		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
584	582, 583	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
585	581, 584	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
586	543, 553, 580, 585	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
587	586	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
588	587	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
589		elfznn 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
590	589	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
591	590	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
592	571	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
593		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
594	592, 593	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
595	565	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
596	595	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
597	575	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
598	591, 596, 592, 570, 597	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
599	592	ltp1d 12247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
600	591, 592, 594, 598, 599	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
601	591, 600	ltned 11446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
602	601	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
603	602	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
604	603	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
605	604	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
606	565	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
607	55	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
608	565	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
609		eluz 12979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
610	607, 608, 609	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
611	606, 610	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
612		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
613		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
614	54	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
615		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
616	615, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
617	615, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
618		eluz 12979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
619	607, 617, 618	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
620	616, 619	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
621		eluzfz1 13664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
622	620, 621	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
623	614, 622	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
624	623, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
625	624	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
626	625, 607	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
627	626	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
628	627	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
629	628	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
630	614	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
631	617	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
632	590	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
633	590	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
634	554, 631, 632, 633, 598	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
635	630, 634	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
636		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
637	635, 636	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
638	637	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
639	630	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
640		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
641	631	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
642	632	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
643	642, 640	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
644		neqne 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
645	644	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
646	593	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
647	591	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
648	633	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
649	646, 647, 648	leltned 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1))
650	645, 649	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
651	640, 642	zltlem1d 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
652	650, 651	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
653	643	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
654	592	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
655	647	lem1d 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
656	598	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≤ 𝐾)
657	653, 647, 654, 655, 656	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
658	640, 641, 643, 652, 657	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
659	639, 658	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
660		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
661	659, 660	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
662	638, 661	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
663	662, 640	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
664	663	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
665	612, 613, 629, 664	ifbothda 4521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
666		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
667	611, 665, 666	fsum1p 15919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
668	667	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
669	615, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
670	669	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
671	670, 670	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
672		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
673	672	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
674	673	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
675	670	ltp1d 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
676		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
677	676	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
678	670, 671, 674, 675, 677	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
679	670, 678	ltned 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
680	679	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
681	680	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
682	681	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
683	682	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
684	683	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
685	684	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
686		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
687	614	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
688		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
689	617	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
690	670, 671, 675	ltled 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
691	670, 671, 674, 690, 677	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
692	566	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
693	571	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
694		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗)
695	694	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
696	575	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾)
697	674, 692, 693, 695, 696	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾)
698	688, 689, 673, 691, 697	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
699	687, 698	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
700	699, 636	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
701	700	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℂ)
702	673, 688	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
703		leaddsub 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
704	670, 670, 674, 703	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
705	677, 704	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
706	674, 670	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
707	674	lem1d 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
708	706, 674, 693, 707, 697	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
709	688, 689, 702, 705, 708	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
710	687, 709	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
711	660	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
712	710, 711	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
713	701, 712	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
714		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
715	686, 713, 714	fsumsub 15954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
716	715	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
717	716	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
718		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
719		fsumconst 15956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
720	686, 718, 719	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
721		hashfzp1 14576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
722	611, 721	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
723	722	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
724	565	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
725	724, 718	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
726	725	mulridd 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
727	723, 726	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
728	720, 727	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
729	728	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
730	729	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
731	730	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
732	686, 713	fsumcl 15899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
733	627, 732, 725	addsubassd 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
734	733	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
735	734	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
736	627, 732	addcld 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
737	724, 736, 725	addsubassd 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
738	737	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
739	724, 736, 725	addsubd 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
740	724, 718	nncand 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
741		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
742	608, 607	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
743	614	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
744		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
745	617	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
746		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
747	746	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
748	747	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
749		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
750	747	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
751	750, 749	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
752		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
753	752	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
754	750	lep1d 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
755	749, 750, 751, 753, 754	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
756	566	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
757	756, 749	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
758	571	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
759	758, 749	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
760		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
761	760	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
762	575	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ≤ 𝐾)
763	756, 758, 749, 762	lesub1dd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
764	750, 757, 759, 761, 763	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
765		leaddsub 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
766	750, 749, 758, 765	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
767	764, 766	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
768	744, 745, 748, 755, 767	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
769	743, 768	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
770		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
771	769, 770	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
772	566, 669	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
773	566	lem1d 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
774	772, 566, 571, 773, 575	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
775	774	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
776	750, 757, 758, 761, 775	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ 𝐾)
777	744, 745, 747, 753, 776	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
778	743, 777	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
779	778, 636	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ)
780	771, 779	zsubcld 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℤ)
781	780	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℂ)
782		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
783		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
784	782, 783	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
785	741, 741, 742, 781, 784	fsumshft 15946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
786		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
787	786	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
788	786	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
789	787, 788	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
790		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
791		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
792	789, 790, 791	cbvsum 15862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
793	792	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
794	785, 793	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
795	724, 718	npcand 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
796	795	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
797	796	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
798	674	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
799	798, 714	npcand 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
800	799	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑙))
801	800	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
802	801	sumeq2dv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
803	797, 802	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
804	794, 803	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
805	804	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))
806	805	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))))
807	740, 806	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))))
808		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑙 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘𝑙))
809		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
810		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 1 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘1))
811		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
812	795, 611	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
813	614	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
814		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
815	617	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
816		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
817	816	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
818		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
819	818	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
820	817	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
821	566	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
822		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
823	821, 822	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
824	823, 822	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
825	571	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
826		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
827	826	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
828	795, 575	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
829	828	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
830	820, 824, 825, 827, 829	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ 𝐾)
831	814, 815, 817, 819, 830	elfzd 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
832	813, 831	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
833		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
834	832, 833	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ)
835	834	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℂ)
836	808, 809, 810, 811, 742, 812, 835	telfsum2 15972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
837	836	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
838	837	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
839	795	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑗))
840	614, 563	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
841		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
842	840, 841	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ)
843	839, 842	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
844	843	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
845	624	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
846	845	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
847	844, 846	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
848	718, 627, 847	addassd 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
849	848	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
850	718, 846	pncan3d 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
851	850	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
852	846, 844	pncan3d 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
853	852, 839	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
854	851, 853	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗))
855	849, 854	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑‘𝑗))
856	838, 855	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (𝑑‘𝑗))
857	807, 856	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑‘𝑗))
858	739, 857	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑‘𝑗))
859	738, 858	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑‘𝑗))
860	735, 859	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
861	731, 860	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑‘𝑗))
862	717, 861	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
863	685, 862	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
864	668, 863	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗))
865	605, 864	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗))
866	588, 865	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
867	866	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗))
868	867	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)))
869		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑑‘𝑗)
870		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑑‘𝑞)
871		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑑‘𝑗) = (𝑑‘𝑞))
872	869, 870, 871	cbvmpt 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))
873	872	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
874	868, 873	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
875	542, 874	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
876	29, 875	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
877	54	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
878		dffn5 6943	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
879	878	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
880	877, 879	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)))
881	880	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)) = 𝑑)
882	876, 881	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)
883	882	ralrimiva 3155	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 {cab 2739 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 Vcvv 3451 ifcif 4482 {csn 4584 ⟨cop 4590 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 Fn wfn 6533 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 Fincfn 8973 ℂcc 11198 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 + caddc 11203 · cmul 11205 < clt 11343 ≤ cle 11344 − cmin 11541 ℕcn 12335 ℕ₀cn0 12606 ℤcz 12693 ℤ_≥cuz 12965 ...cfz 13639 ♯chash 14474 Σcsu 15853

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-inf2 9642 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-sup 9434 df-oi 9504 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-rp 13121 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-seq 14145 df-exp 14205 df-hash 14475 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-clim 15655 df-sum 15854

This theorem is used by: sticksstones12 43208

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