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Theorem sticksstones12a 42158
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones12a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones12a.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones12a.3 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
sticksstones12a.4 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones12a.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones12a.6 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones12a (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙   𝜑,𝑑,𝑏   𝑔,𝑏,𝑖,𝑘,𝑑   𝑎,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑙   𝐹,𝑏,𝑘   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘   𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙   𝑗,𝐾,𝑙,𝑎   𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎   𝐾,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝐵,𝑗   𝜑,𝑎   𝑗,𝑘,𝜑,𝑥,𝑦,𝑙,𝑑   𝜑,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑑,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑑,𝑙)   𝐾(𝑑)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem sticksstones12a
Dummy variables 𝑜 𝑠 𝑟 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones12a.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))))
3 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 sticksstones12a.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
54nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63, 5ltned 11397 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≠ 𝐾)
76necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≠ 0)
87neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0)
98ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0)
109iffalsed 4536 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
11 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝐾) = (𝑑𝐾))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
13 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1))
1413oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1))
15 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏𝑘) = (𝑑𝑘))
16 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
1715, 16oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
1817oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
1914, 18ifeq12d 4547 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
2012, 19ifeq12d 4547 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
2322mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2410, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
25 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑𝐵)
26 fzfid 14014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
2726mptexd 7244 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V)
282, 24, 25, 27fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐺𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
2928fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
30 sticksstones12a.3 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)))))
32 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
3332fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3433sumeq2dv 15738 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))
3534oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))
3635mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
38 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
39 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0))
40 sticksstones12a.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
4140eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑𝐵𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
42 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
43 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
44 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑥) = (𝑑𝑥))
45 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑦) = (𝑑𝑦))
4644, 45breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓𝑥) < (𝑓𝑦) ↔ (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
4746imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
48472ralbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
4943, 48anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))))
5042, 49elab 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5141, 50bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5251biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
5453simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
55 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
574nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
5857nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
604nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
624nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
6362leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾𝐾)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾𝐾)
6556, 59, 59, 61, 64elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
6654, 65ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
67 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
71 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
7271nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7366, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ0)
76 sticksstones12a.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7776ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7857ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7977, 78nn0addcld 12591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0)
80 nn0sub 12576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8175, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0))
8270, 81mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℕ0)
83 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
84 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0))
85 1le1 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≤ 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ≤ 1)
8756, 59, 56, 86, 61elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
8854, 87ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
89 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑‘1) ∈ ℕ → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℕ0)
9654ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
97 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
9859ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
99 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
101100ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
103102ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
104 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
106105necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
10799ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10962ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
110 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
111109, 110readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
112 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
113112ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
114108, 111, 113leltned 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
115106, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
116100ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
118 zleltp1 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
119116, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘𝐾𝑘 < (𝐾 + 1)))
120115, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘𝐾)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
12297, 98, 101, 103, 121elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
12396, 122ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
124 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℕ)
125124nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
126123, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
127 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
12858ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
1291283impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
130100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
1321313impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
133132, 127zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
134 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
1351343ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
136 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1371363ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
138132zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
139 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
141137, 138, 140leltned 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘𝑘 ≠ 1))
142135, 141mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
143127, 132zltp1led 41980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
144142, 143mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
145 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
146137, 137, 138, 145syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
147144, 146mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
148133zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
149623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
150 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
151149, 150readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
152151, 150resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ℝ)
1531123ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
154138, 151, 150, 153lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1))
15562recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1561553ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
158156, 157pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾𝐾)
160158, 159eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾)
161148, 152, 149, 154, 160letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
162127, 129, 133, 147, 161elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
163162ad5ant135 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
16496, 163ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
165 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
167166nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
168126, 167zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
169168, 97zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
170107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
171170nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
172171ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
173163, 122jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
17453simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
175174ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
176 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
177 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
178177breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑𝑥) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)))
179176, 178imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦))))
180 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
181 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → (𝑑𝑦) = (𝑑𝑘))
182181breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
183180, 182imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))))
184179, 183rspc2va 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
185173, 175, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘)))
186172, 185mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘))
187166nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
188126zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℝ)
189187, 188posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑𝑘) ↔ 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
190186, 189mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
191 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℤ)
192191, 168zltlem1d 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
193190, 192mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
194169, 193jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
195 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
196194, 195sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ0)
19783, 84, 95, 196ifbothda 4564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ0)
19838, 39, 82, 197ifbothda 4564 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ0)
199 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
200198, 199fmptd 7134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
201 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
202 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
203202eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
204202eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
205202fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑖))
206202fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
207205, 206oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))))
208207oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))
209204, 208ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
210203, 209ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
212 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
213 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
214 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
215213, 214ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
216212, 215ifcld 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
217201, 210, 211, 216fvmptd 7023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
218217sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))))
219 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1)))
220 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1))
221 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
222 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
223221, 222oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
224223oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))
225220, 224ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
226219, 225ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
227 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))
228 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
229226, 227, 228cbvsum 15731 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
231 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = 1
232 1p0e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 0) = 1
233231, 232eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (1 + 0)
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
235 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 1)
237136, 3, 62, 136, 60, 236le2addd 11882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1))
238234, 237eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1))
23958peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
240 eluz 12892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
24155, 239, 240syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1)))
242238, 241mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
243242adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ‘1))
244198nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
245 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
246 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
247 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1)))
248 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))
249247, 248oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))))
250249oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
251246, 250ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
252245, 251ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
253243, 244, 252fsumm1 15787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
254155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
255 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℂ)
256254, 255pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
257256oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾))
258257sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))
259 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
260259iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
261258, 260oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
262 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
263262adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
264263zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ)
26562ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
266 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
267265, 266readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
268 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘𝐾)
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
270265ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
271264, 265, 267, 269, 270lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
272264, 271ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
273272neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1))
274273iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
275274sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))
276 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
277 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)))
278 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1)
279278iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
280279eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
281280oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
282 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1)
283282iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
284283eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
285284oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
286276, 277, 281, 285ifbothda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
287286sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))
288 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
289 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
290 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ))
291543adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
292873adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
293291, 292ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
29489nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
295293, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
297 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
298291, 297ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
299298, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑𝑘) ∈ ℤ)
301291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
302 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
303593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
304303adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
3052633impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
306305adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
307306, 302zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
308 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘)
309297, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘)
310309adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
311134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
312310, 311jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1))
313 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
314306zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
315313, 314ltlend 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≠ 1)))
316312, 315mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
317302, 306zltlem1d 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
318316, 317mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
319307zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
320304zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
321314lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘)
322297, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘𝐾)
323322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐾)
324319, 314, 320, 321, 323letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
325302, 304, 307, 318, 324elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
326301, 325ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
327326, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
328327nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
329300, 328zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
330289, 290, 296, 329ifbothda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
3313303expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℤ)
332331zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
333255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
334288, 332, 333fsumsub 15824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1))
335 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾)
336335oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾))
337336eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1))
338337sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
339 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℤ)
340231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 = 1)
341340iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1))
34290nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
343341, 342eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
344 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
345 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑𝑘) = (𝑑‘1))
346 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1)))
347345, 346oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 1 → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))
348344, 347ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
349348fsum1 15783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((1 ∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
350339, 343, 349syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))))
351350, 341eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
352351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
353 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 = 𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
354353adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑𝐾))
355338, 352, 3543eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
35643ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ)
357 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘1)
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ = (ℤ‘1))
359356, 358eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3603323adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
361 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1))
362359, 360, 361fsum1p 15789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))))
363 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
364 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
365364adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘)
366 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
367 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ)
368367adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
369366, 368zltp1led 41980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
370365, 369mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘)
371363, 370ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘)
372371necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1)
373372neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1)
374373iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
375374sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
376375oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
3772543adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
378 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
379377, 378npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
380379eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
381380oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
382381sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
383382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
384 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
385384adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
386385zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
387 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
388386, 387npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
389388eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
390389fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
391390oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
392391sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
393392oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))
394563adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ)
395593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
396395, 394zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
397543adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
398397adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
399 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
400395adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
401 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
402401adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
403402nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
404403peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
405 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
406402nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
407404zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
408402nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
409406lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
410405, 406, 407, 408, 409letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
411 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
412411adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
413400zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
414 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
415406, 405, 413, 414syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
416412, 415mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
417399, 400, 404, 410, 416elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
418398, 417ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
419 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
420418, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
421420nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
422413, 405resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
423413lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
424406, 422, 413, 412, 423letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠𝐾)
425399, 400, 403, 408, 424elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
426398ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
427425, 426mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
428 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑑𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
429427, 428syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℕ)
430429nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑𝑠) ∈ ℤ)
431421, 430zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℤ)
432431zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) ∈ ℂ)
433 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)))
434 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1)))
435433, 434oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
436394, 394, 396, 432, 435fsumshft 15816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))
437436eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)))
438437oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))))
439 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 𝑠 → (𝑑𝑜) = (𝑑𝑠))
440 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1)))
441 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = 1 → (𝑑𝑜) = (𝑑‘1))
442 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)))
443379, 359eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
44454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
4454443impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
446445ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
447446ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
448379oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾))
449448eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾)))
450449imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))))
451447, 450mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))
452451imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
453 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑑𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
454452, 453syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℕ)
455454nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑𝑜) ∈ ℂ)
456439, 440, 441, 442, 396, 443, 455telfsum2 15841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
457456oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
458379fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑𝐾))
459458oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1)))
460459oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))))
4613423adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
46266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℕ)
463462nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
4644633adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) ∈ ℂ)
465461, 464pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
466 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑𝐾) = (𝑑𝐾))
467465, 466eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
468460, 467eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝐾))
469457, 468eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑𝑠))) = (𝑑𝐾))
470438, 469eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
471393, 470eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
472383, 471eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
473376, 472eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑𝐾))
474362, 473eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
4754743expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
476136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 1 ∈ ℝ)
47762adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
478476, 477leloed 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)))
47961, 478mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))
480479orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾))
481355, 475, 480mpjaodan 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑𝐾))
482 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
483288, 255, 482syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
48457adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
485 hashfz1 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
486484, 485syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
487486oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
488254mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
489487, 488eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
490483, 489eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
491481, 490oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
492334, 491eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
493287, 492eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
494463, 254subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ)
495494addridd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑𝐾) − 𝐾))
496495eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0))
497 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 ∈ ℂ)
498494, 497addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → (((𝑑𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
499496, 498eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑑𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
500493, 499eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
501497, 254, 463subsub2d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)))
502501eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 + ((𝑑𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
503500, 502eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
50476nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
505504adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
506505subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁𝑁) = 0)
507506eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → 0 = (𝑁𝑁))
508507oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
509503, 508eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))))
510254, 463subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐾 − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
511505, 505, 510subsub4d 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁𝑁) − (𝐾 − (𝑑𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
512509, 511eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))))
513505, 254, 463addsubassd 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))))
514513eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))
515514oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
516512, 515eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
517275, 516eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))))
518 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
519 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
520 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
521295, 520zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
522521adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
523520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
524329, 523zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
525518, 519, 522, 524ifbothda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
5265253expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
527274eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
528526, 527mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
529288, 528fsumzcl 15771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
530529zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
531505, 254addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
532531, 463subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ ℂ)
533530, 532, 505addlsub 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)))))
534517, 533mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
535 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑁 = 𝑁)
536534, 535eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾))) = 𝑁)
537261, 536eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
538253, 537eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁)
539230, 538eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
540218, 539eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
541200, 540jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
542 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
543542mptex 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
544 feq1 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
545 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
546545fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
547546sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
548547eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
549544, 548anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
550543, 549elab 3679 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551550a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
552541, 551mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
553 sticksstones12a.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
554553a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
555554eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} = 𝐴)
556552, 555eleqtrd 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
557288mptexd 7244 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V)
55831, 37, 556, 557fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))))
559 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
560 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙)
561560eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1)))
562560eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1))
563560fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑𝑘) = (𝑑𝑙))
564560oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1))
565564fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
566563, 565oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
567566oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
568562, 567ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
569561, 568ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
570 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
571583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
572571adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
573572peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
574 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
575574adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
576 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙)
577576adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
578575zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
579 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾))
580 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ)
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
582581nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ)
583582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
584573zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
585 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙𝑗)
586585adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝑗)
587623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
588 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
589587, 588readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
590 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗𝐾)
591579, 590syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗𝐾)
592587lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
593582, 587, 589, 591, 592letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
594593adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1))
595578, 583, 584, 586, 594letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1))
596570, 573, 575, 577, 595elfzd 13555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
597 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)) ∈ V)
598 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ V)
599 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ V)
600598, 599ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ V)
601597, 600ifcld 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈ V)
602559, 569, 596, 601fvmptd 7023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
603602sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
604603oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
605 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ)
606605adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ)
607606nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
608587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
609 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
610608, 609readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
611581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
612611nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
613591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗𝐾)
614607, 612, 608, 586, 613letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙𝐾)
615608ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
616607, 608, 610, 614, 615lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1))
617607, 616ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1))
618617neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1))
619618iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
620619sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
621620oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
622581nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗)
623553ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
624581nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
625 eluz 12892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
626623, 624, 625syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗))
627622, 626mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
628 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
629 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ))
630543adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
631 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑)
632631, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
633631, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
634 eluz 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
635623, 633, 634syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
636632, 635mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
637 eluzfz1 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝐾))
638636, 637syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾))
639630, 638ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
640639, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ)
641640nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ)
642641, 623zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℤ)
643642zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
644643adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
645644adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈ ℂ)
646630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
647633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
648606nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
649606nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
650570, 647, 648, 649, 614elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
651646, 650ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
652 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
653651, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
654653adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
655646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
656 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℤ)
657647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
658648adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ)
659658, 656zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
660 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1)
661660adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1)
662609adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈ ℝ)
663607adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ)
664649adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙)
665662, 663, 664leltned 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙𝑙 ≠ 1))
666661, 665mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙)
667656, 658zltlem1d 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
668666, 667mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
669659zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
670608adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
671663lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
672614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙𝐾)
673669, 663, 670, 671, 672letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
674656, 657, 659, 668, 673elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
675655, 674ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
676 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ)
678654, 677zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℤ)
679678, 656zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
680679zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ)
681628, 629, 645, 680ifbothda 4564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈ ℂ)
682 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) − 1))
683627, 681, 682fsum1p 15789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
684683oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))))
685631, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
686685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
687686, 686readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
688 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ)
689688adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ)
690689zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ)
691686ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1))
692 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
693692adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙)
694686, 687, 690, 691, 693ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙)
695686, 694ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙)
696695necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1)
697696neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1)
698697iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
699698sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))
700699oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))
701700oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))
702 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
703630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
704 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ)
705633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ)
706686, 687, 691ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1))
707686, 687, 690, 706, 693letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙)
708582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
709587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
710 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙𝑗)
711710adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝑗)
712591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗𝐾)
713690, 708, 709, 711, 712letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙𝐾)
714704, 705, 689, 707, 713elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
715703, 714ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
716715, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
717716zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑𝑙) ∈ ℂ)
718689, 704zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ)
719 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
720686, 686, 690, 719syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1)))
721693, 720mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1))
722690, 686resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ)
723690lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙)
724722, 690, 709, 723, 713letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾)
725704, 705, 718, 721, 724elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾))
726703, 725ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
727676zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
728726, 727syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
729717, 728subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
730 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
731702, 729, 730fsumsub 15824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))
732731oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))
733732oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))))
734 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
735 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
736702, 734, 735syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1))
737 hashfzp1 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
738627, 737syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1))
739738oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) · 1))
740581nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
741740, 734subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
742741mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1))
743739, 742eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1))
744736, 743eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1))
745744oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))
746745oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
747746oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))))
748702, 729fsumcl 15769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈ ℂ)
749643, 748, 741addsubassd 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))
750749eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))
751750oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
752643, 748addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈ ℂ)
753740, 752, 741addsubassd 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))))
754753eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)))
755740, 752, 741addsubd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))))
756740, 734nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
757 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
758624, 623zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
759630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
760 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
761633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
762 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
763762adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
764763peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
765 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
766763zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
767766, 765readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
768 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙)
769768adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙)
770766lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1))
771765, 766, 767, 769, 770letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1))
772582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
773772, 765resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
774587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
775774, 765resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
776 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
777776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1))
778591adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗𝐾)
779772, 774, 765, 778lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1))
780766, 773, 775, 777, 779letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))
781 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
782766, 765, 774, 781syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾𝑙 ≤ (𝐾 − 1)))
783780, 782mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾)
784760, 761, 764, 771, 783elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾))
785759, 784ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
786 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
787785, 786syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ)
788582, 685resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
789582lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
790788, 582, 587, 789, 591letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
791790adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾)
792766, 773, 774, 777, 791letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙𝐾)
793760, 761, 763, 769, 792elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾))
794759, 793ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
795794, 652syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑𝑙) ∈ ℤ)
796787, 795zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℤ)
797796zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) ∈ ℂ)
798 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)))
799 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1)))
800798, 799oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
801757, 757, 758, 797, 800fsumshft 15816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))))
802 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1))
803802fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)))
804802fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1)))
805803, 804oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
806 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))
807 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
808805, 806, 807cbvsum 15731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))
809808a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
810801, 809eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
811740, 734npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
812811oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗))
813812sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
814690recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ)
815814, 730npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
816815fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑𝑙))
817816oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
818817sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
819813, 818eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
820810, 819eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))
821820eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))
822821oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))))
823756, 822oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))))
824 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑙 → (𝑑𝑟) = (𝑑𝑙))
825 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1)))
826 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 1 → (𝑑𝑟) = (𝑑‘1))
827 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
828811, 627eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
829630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
830 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
831633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
832 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
833832adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ)
834 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑟)
835834adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟)
836833zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
837582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
838 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
839837, 838resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
840839, 838readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈ ℝ)
841587adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
842 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
843842adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1))
844811, 591eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
845844adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾)
846836, 840, 841, 843, 845letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟𝐾)
847830, 831, 833, 835, 846elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾))
848829, 847ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
849 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
850848, 849syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℤ)
851850zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑𝑟) ∈ ℂ)
852824, 825, 826, 827, 758, 828, 851telfsum2 15841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))
853852oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
854853oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
855811fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑𝑗))
856630, 579ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
857 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
858856, 857syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑𝑗) ∈ ℤ)
859855, 858eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℤ)
860859zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
861640nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ)
862861recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ)
863860, 862subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ)
864734, 643, 863addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))))
865864eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
866734, 862pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1))
867866oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))
868862, 860pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)))
869868, 855eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
870867, 869eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑𝑗))
871865, 870eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑𝑗))
872854, 871eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑𝑙)))) = (𝑑𝑗))
873823, 872eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑𝑗))
874755, 873eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑𝑗))
875754, 874eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑𝑗))
876751, 875eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑𝑗))
877747, 876eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑𝑗))
878733, 877eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
879701, 878eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
880684, 879eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑𝑗))
881621, 880eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑𝑗))
882604, 881eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
8838823expa 1119 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑𝑗))
884883mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)))
885 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑞(𝑑𝑗)
886 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑗(𝑑𝑞)
887 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑞 → (𝑑𝑗) = (𝑑𝑞))
888885, 886, 887cbvmpt 5253 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞))
889888a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
890884, 889eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
891558, 890eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89229, 891eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
89354ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾))
894 dffn5 6967 . . . . . 6 (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
895894biimpi 216 . . . . 5 (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
896893, 895syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)))
897896eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑𝑞)) = 𝑑)
898892, 897eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
899898ralrimiva 3146 1 (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  chash 14369  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
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