| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sticksstones12a.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {〈1, 𝑁〉}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) −
1)))))) |
| 2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {〈1, 𝑁〉}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) −
1))))))) |
| 3 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 4 | | sticksstones12a.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 5 | 4 | nngt0d 12315 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾) |
| 6 | 3, 5 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐾) |
| 7 | 6 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0) |
| 8 | 7 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 0) |
| 9 | 8 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → ¬ 𝐾 = 0) |
| 10 | 9 | iffalsed 4536 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {〈1, 𝑁〉}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 11 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝐾) = (𝑑‘𝐾)) |
| 12 | 11 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) |
| 13 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘1) = (𝑑‘1)) |
| 14 | 13 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑑‘1) − 1)) |
| 15 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘𝑘) = (𝑑‘𝑘)) |
| 16 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1))) |
| 17 | 15, 16 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 18 | 17 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝑑 → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) |
| 19 | 14, 18 | ifeq12d 4547 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 20 | 12, 19 | ifeq12d 4547 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = 𝑑 → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 21 | 20 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 23 | 22 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 24 | 10, 23 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 = 𝑑) → if(𝐾 = 0, {〈1, 𝑁〉}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 25 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐵) |
| 26 | | fzfid 14014 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin) |
| 27 | 26 | mptexd 7244 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈
V) |
| 28 | 2, 24, 25, 27 | fvmptd 7023 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑑) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 29 | 28 | fveq2d 6910 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) −
1)))))) |
| 30 | | sticksstones12a.3 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)))) |
| 31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))) |
| 32 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 33 | 32 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑎‘𝑙) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) |
| 34 | 33 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) |
| 35 | 34 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) |
| 36 | 35 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))) |
| 37 | 36 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))) |
| 38 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℕ0 ↔
if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℕ0)) |
| 39 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℕ0 ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℕ0)) |
| 40 | | sticksstones12a.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} |
| 41 | 40 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}) |
| 42 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 𝑑 ∈ V |
| 43 | | feq1 6716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))) |
| 44 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑥) = (𝑑‘𝑥)) |
| 45 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑓 = 𝑑 → (𝑓‘𝑦) = (𝑑‘𝑦)) |
| 46 | 44, 45 | breq12d 5156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) |
| 47 | 46 | imbi2d 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 48 | 47 | 2ralbidv 3221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 49 | 43, 48 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))))) |
| 50 | 42, 49 | elab 3679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 51 | 41, 50 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 52 | 51 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 53 | 52 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 54 | 53 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 55 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
| 56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ) |
| 57 | 4 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 58 | 57 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 59 | 58 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 60 | 4 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾) |
| 61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾) |
| 62 | 4 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 63 | 62 | leidd 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾) |
| 64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾) |
| 65 | 56, 59, 59, 61, 64 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾)) |
| 66 | 54, 65 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 67 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
| 68 | 66, 67 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
| 69 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
| 70 | 69 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
| 71 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ) |
| 72 | 71 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑑‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝐾) ∈
ℕ0) |
| 73 | 66, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈
ℕ0) |
| 74 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑑‘𝐾) ∈
ℕ0) |
| 75 | 74 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑑‘𝐾) ∈
ℕ0) |
| 76 | | sticksstones12a.1 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 77 | 76 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 78 | 57 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 79 | 77, 78 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈
ℕ0) |
| 80 | | nn0sub 12576 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑑‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈
ℕ0)) |
| 81 | 75, 79, 80 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈
ℕ0)) |
| 82 | 70, 81 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈
ℕ0) |
| 83 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈
ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℕ0)) |
| 84 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈
ℕ0 ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℕ0)) |
| 85 | | 1le1 11891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ≤
1 |
| 86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1) |
| 87 | 56, 59, 56, 86, 61 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾)) |
| 88 | 54, 87 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 89 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ) |
| 90 | 88, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℕ) |
| 91 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑑‘1) ∈ ℕ →
((𝑑‘1) − 1)
∈ ℕ0) |
| 92 | 90, 91 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℕ0) |
| 93 | 92 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℕ0) |
| 94 | 93 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℕ0) |
| 95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℕ0) |
| 96 | 54 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 97 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℤ) |
| 98 | 59 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 99 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
| 100 | 99 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 101 | 100 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 102 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘) |
| 103 | 102 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘) |
| 104 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1)) |
| 105 | 104 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1)) |
| 106 | 105 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘) |
| 107 | 99 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
| 108 | 107 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 109 | 62 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 110 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈
ℝ) |
| 111 | 109, 110 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 112 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 113 | 112 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 114 | 108, 111,
113 | leltned 11414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)) |
| 115 | 106, 114 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1)) |
| 116 | 100 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 117 | 59 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 118 | | zleltp1 12668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1))) |
| 119 | 116, 117,
118 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1))) |
| 120 | 115, 119 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 121 | 120 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 122 | 97, 98, 101, 103, 121 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾)) |
| 123 | 96, 122 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 124 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℕ) |
| 125 | 124 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ) |
| 126 | 123, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ) |
| 127 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℤ) |
| 128 | 58 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 129 | 128 | 3impa 1110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 130 | 100 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 131 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 132 | 131 | 3impa 1110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 133 | 132, 127 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ) |
| 134 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (¬
𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1) |
| 135 | 134 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1) |
| 136 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 137 | 136 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℝ) |
| 138 | 132 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 139 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) |
| 140 | 139, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘) |
| 141 | 137, 138,
140 | leltned 11414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1)) |
| 142 | 135, 141 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘) |
| 143 | 127, 132 | zltp1led 41980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)) |
| 144 | 142, 143 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑘) |
| 145 | | leaddsub 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1))) |
| 146 | 137, 137,
138, 145 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1))) |
| 147 | 144, 146 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1)) |
| 148 | 133 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
| 149 | 62 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 150 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℝ) |
| 151 | 149, 150 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 152 | 151, 150 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ∈
ℝ) |
| 153 | 112 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 154 | 138, 151,
150, 153 | lesub1dd 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ ((𝐾 + 1) − 1)) |
| 155 | 62 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 156 | 155 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 157 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℂ) |
| 158 | 156, 157 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾) |
| 159 | 63 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ≤ 𝐾) |
| 160 | 158, 159 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝐾 + 1) − 1) ≤ 𝐾) |
| 161 | 148, 152,
149, 154, 160 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾) |
| 162 | 127, 129,
133, 147, 161 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 163 | 162 | ad5ant135 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 164 | 96, 163 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 165 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ) |
| 166 | 164, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ) |
| 167 | 166 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ) |
| 168 | 126, 167 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈
ℤ) |
| 169 | 168, 97 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈
ℤ) |
| 170 | 107 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ) |
| 171 | 170 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 172 | 171 | ltm1d 12200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘) |
| 173 | 163, 122 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾))) |
| 174 | 53 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) |
| 175 | 174 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) |
| 176 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦)) |
| 177 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑥) = (𝑑‘(𝑘 − 1))) |
| 178 | 177 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦))) |
| 179 | 176, 178 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)))) |
| 180 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘)) |
| 181 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑑‘𝑦) = (𝑑‘𝑘)) |
| 182 | 181 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦) ↔ (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))) |
| 183 | 180, 182 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)))) |
| 184 | 179, 183 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑‘𝑥) < (𝑑‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))) |
| 185 | 173, 175,
184 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘))) |
| 186 | 172, 185 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘)) |
| 187 | 166 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ) |
| 188 | 126 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℝ) |
| 189 | 187, 188 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘(𝑘 − 1)) < (𝑑‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 190 | 186, 189 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 191 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈
ℤ) |
| 192 | 191, 168 | zltlem1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 < ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 193 | 190, 192 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) |
| 194 | 169, 193 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧
0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 195 | | elnn0z 12626 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈
ℕ0 ↔ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧
0 ≤ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 196 | 194, 195 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈
ℕ0) |
| 197 | 83, 84, 95, 196 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℕ0) |
| 198 | 38, 39, 82, 197 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℕ0) |
| 199 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 200 | 198, 199 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0) |
| 201 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 202 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖) |
| 203 | 202 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1))) |
| 204 | 202 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1)) |
| 205 | 202 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑖)) |
| 206 | 202 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1))) |
| 207 | 205, 206 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1)))) |
| 208 | 207 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) |
| 209 | 204, 208 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) |
| 210 | 203, 209 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))) |
| 211 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) |
| 212 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V) |
| 213 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
V) |
| 214 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈
V) |
| 215 | 213, 214 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈
V) |
| 216 | 212, 215 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈
V) |
| 217 | 201, 210,
211, 216 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))) |
| 218 | 217 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)))) |
| 219 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1))) |
| 220 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1)) |
| 221 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘𝑖) = (𝑑‘𝑘)) |
| 222 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑘 − 1))) |
| 223 | 221, 222 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 224 | 223 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) |
| 225 | 220, 224 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 226 | 219, 225 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 227 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑘if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) |
| 228 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑖if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 229 | 226, 227,
228 | cbvsum 15731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Σ𝑖 ∈
(1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 230 | 229 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 231 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 =
1 |
| 232 | | 1p0e1 12390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1 + 0) =
1 |
| 233 | 231, 232 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 = (1 +
0) |
| 234 | 233 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 1 = (1 +
0)) |
| 235 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 0 ≤
1 |
| 236 | 235 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
| 237 | 136, 3, 62, 136, 60, 236 | le2addd 11882 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝐾 + 1)) |
| 238 | 234, 237 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 239 | 58 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ) |
| 240 | | eluz 12892 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ (𝐾 +
1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈
(ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1))) |
| 241 | 55, 239, 240 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ∈
(ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (𝐾 + 1))) |
| 242 | 238, 241 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 243 | 242 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 244 | 198 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℂ) |
| 245 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))) |
| 246 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑘 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1)) |
| 247 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘(𝐾 + 1))) |
| 248 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) |
| 249 | 247, 248 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1)))) |
| 250 | 249 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) −
1)) |
| 251 | 246, 250 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) −
1))) |
| 252 | 245, 251 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) −
1)))) |
| 253 | 243, 244,
252 | fsumm1 15787 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) −
1))))) |
| 254 | 155 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 255 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ) |
| 256 | 254, 255 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾) |
| 257 | 256 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...((𝐾 + 1) − 1)) = (1...𝐾)) |
| 258 | 257 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) |
| 259 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)) |
| 260 | 259 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) |
| 261 | 258, 260 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) =
(Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))) |
| 262 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 263 | 262 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 264 | 263 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 265 | 62 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 266 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ) |
| 267 | 265, 266 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 268 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 269 | 268 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 270 | 265 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1)) |
| 271 | 264, 265,
267, 269, 270 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 < (𝐾 + 1)) |
| 272 | 264, 271 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1)) |
| 273 | 272 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) |
| 274 | 273 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 275 | 274 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) |
| 276 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))) |
| 277 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1))) |
| 278 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑘 = 1) |
| 279 | 278 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1)) |
| 280 | 279 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 281 | 280 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)) |
| 282 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ 𝑘 = 1) |
| 283 | 282 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 284 | 283 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 285 | 284 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)) |
| 286 | 276, 277,
281, 285 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)) |
| 287 | 286 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1)) |
| 288 | | fzfid 14014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin) |
| 289 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑑‘1) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑑‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℤ)) |
| 290 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℤ)) |
| 291 | 54 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 292 | 87 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾)) |
| 293 | 291, 292 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 294 | 89 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ) |
| 295 | 293, 294 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ) |
| 296 | 295 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → (𝑑‘1) ∈ ℤ) |
| 297 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾)) |
| 298 | 291, 297 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 299 | 298, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ) |
| 300 | 299 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘𝑘) ∈ ℤ) |
| 301 | 291 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 302 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℤ) |
| 303 | 59 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 304 | 303 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 305 | 263 | 3impa 1110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 306 | 305 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 307 | 306, 302 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ) |
| 308 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐾) → 1 ≤ 𝑘) |
| 309 | 297, 308 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑘) |
| 310 | 309 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘) |
| 311 | 134 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1) |
| 312 | 310, 311 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)) |
| 313 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℝ) |
| 314 | 306 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 315 | 313, 314 | ltlend 11406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))) |
| 316 | 312, 315 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘) |
| 317 | 302, 306 | zltlem1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1))) |
| 318 | 316, 317 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1)) |
| 319 | 307 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
| 320 | 304 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 321 | 314 | lem1d 12201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝑘) |
| 322 | 297, 268 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 323 | 322 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≤ 𝐾) |
| 324 | 319, 314,
320, 321, 323 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾) |
| 325 | 302, 304,
307, 318, 324 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 326 | 301, 325 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 327 | 326, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ) |
| 328 | 327 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ) |
| 329 | 300, 328 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) ∈
ℤ) |
| 330 | 289, 290,
296, 329 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℤ) |
| 331 | 330 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℤ) |
| 332 | 331 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℂ) |
| 333 | 255 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ) |
| 334 | 288, 332,
333 | fsumsub 15824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1)) |
| 335 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → 1 = 𝐾) |
| 336 | 335 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...1) = (1...𝐾)) |
| 337 | 336 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (1...𝐾) = (1...1)) |
| 338 | 337 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 339 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ) |
| 340 | 231 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 = 1) |
| 341 | 340 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) = (𝑑‘1)) |
| 342 | 90 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘1) ∈ ℂ) |
| 343 | 341, 342 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈
ℂ) |
| 344 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1)) |
| 345 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘1)) |
| 346 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(1 − 1))) |
| 347 | 345, 346 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) |
| 348 | 344, 347 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))) |
| 349 | 348 | fsum1 15783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1)))) ∈ ℂ)
→ Σ𝑘 ∈
(1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))) |
| 350 | 339, 343,
349 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = if(1 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘1) − (𝑑‘(1 − 1))))) |
| 351 | 350, 341 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1)) |
| 352 | 351 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1)) |
| 353 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (1 =
𝐾 → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾)) |
| 354 | 353 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → (𝑑‘1) = (𝑑‘𝐾)) |
| 355 | 338, 352,
354 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 356 | 4 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 357 | | nnuz 12921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 358 | 357 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ℕ =
(ℤ≥‘1)) |
| 359 | 356, 358 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 360 | 332 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) ∈
ℂ) |
| 361 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘1)) |
| 362 | 359, 360,
361 | fsum1p 15789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))))) |
| 363 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ) |
| 364 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑘) |
| 365 | 364 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑘) |
| 366 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ) |
| 367 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 368 | 367 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 369 | 366, 368 | zltp1led 41980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)) |
| 370 | 365, 369 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑘) |
| 371 | 363, 370 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑘) |
| 372 | 371 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑘 ≠ 1) |
| 373 | 372 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑘 = 1) |
| 374 | 373 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 375 | 374 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 376 | 375 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 377 | 254 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 378 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℂ) |
| 379 | 377, 378 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾) |
| 380 | 379 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1)) |
| 381 | 380 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) |
| 382 | 381 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 383 | 382 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 384 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑘 ∈
ℤ) |
| 385 | 384 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 386 | 385 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 387 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈
ℂ) |
| 388 | 386, 387 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
| 389 | 388 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1)) |
| 390 | 389 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1))) |
| 391 | 390 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 392 | 391 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 393 | 392 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) |
| 394 | 56 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 1 ∈ ℤ) |
| 395 | 59 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 396 | 395, 394 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ) |
| 397 | 54 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 398 | 397 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 399 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈
ℤ) |
| 400 | 395 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 401 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ) |
| 402 | 401 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ) |
| 403 | 402 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ) |
| 404 | 403 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ) |
| 405 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈
ℝ) |
| 406 | 402 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ) |
| 407 | 404 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ) |
| 408 | 402 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠) |
| 409 | 406 | lep1d 12199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1)) |
| 410 | 405, 406,
407, 408, 409 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1)) |
| 411 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)) |
| 412 | 411 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)) |
| 413 | 400 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 414 | | leaddsub 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ 𝐾 ∈
ℝ) → ((𝑠 + 1)
≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))) |
| 415 | 406, 405,
413, 414 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))) |
| 416 | 412, 415 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾) |
| 417 | 399, 400,
404, 410, 416 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 418 | 398, 417 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 419 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ) |
| 420 | 418, 419 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ) |
| 421 | 420 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ) |
| 422 | 413, 405 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) |
| 423 | 413 | lem1d 12201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾) |
| 424 | 406, 422,
413, 412, 423 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾) |
| 425 | 399, 400,
403, 408, 424 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾)) |
| 426 | 398 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑠 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 427 | 425, 426 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 428 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑑‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ) |
| 429 | 427, 428 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℕ) |
| 430 | 429 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑑‘𝑠) ∈ ℤ) |
| 431 | 421, 430 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℤ) |
| 432 | 431 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) ∈ ℂ) |
| 433 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘(𝑠 + 1)) = (𝑑‘((𝑘 − 1) + 1))) |
| 434 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → (𝑑‘𝑠) = (𝑑‘(𝑘 − 1))) |
| 435 | 433, 434 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑠 = (𝑘 − 1) → ((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 436 | 394, 394,
396, 432, 435 | fsumshft 15816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) |
| 437 | 436 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) |
| 438 | 437 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)))) |
| 439 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘𝑠)) |
| 440 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑜 = (𝑠 + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘(𝑠 + 1))) |
| 441 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑜 = 1 → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘1)) |
| 442 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑜 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑜) = (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1))) |
| 443 | 379, 359 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 444 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 445 | 444 | 3impa 1110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 446 | 445 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 447 | 446 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))) |
| 448 | 379 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (1...((𝐾 − 1) + 1)) = (1...𝐾)) |
| 449 | 448 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑜 ∈ (1...𝐾))) |
| 450 | 449 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) ↔ (𝑜 ∈ (1...𝐾) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))))) |
| 451 | 447, 450 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))) |
| 452 | 451 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 453 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑑‘𝑜) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ) |
| 454 | 452, 453 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℕ) |
| 455 | 454 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑜) ∈ ℂ) |
| 456 | 439, 440,
441, 442, 396, 443, 455 | telfsum2 15841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠)) = ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) |
| 457 | 456 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) |
| 458 | 379 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝐾)) |
| 459 | 458 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) = ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) |
| 460 | 459 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1)))) |
| 461 | 342 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘1) ∈ ℂ) |
| 462 | 66, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℕ) |
| 463 | 462 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ) |
| 464 | 463 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) ∈ ℂ) |
| 465 | 461, 464 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 466 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → (𝑑‘𝐾) = (𝑑‘𝐾)) |
| 467 | 465, 466 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘𝐾) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 468 | 460, 467 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 469 | 457, 468 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑑‘(𝑠 + 1)) − (𝑑‘𝑠))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 470 | 438, 469 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑘 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 471 | 393, 470 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 472 | 383, 471 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 473 | 376, 472 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑑‘1) + Σ𝑘 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 474 | 362, 473 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 475 | 474 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 1 < 𝐾) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 476 | 136 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ) |
| 477 | 62 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 478 | 476, 477 | leloed 11404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾))) |
| 479 | 61, 478 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾)) |
| 480 | 479 | orcomd 872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾)) |
| 481 | 355, 475,
480 | mpjaodan 961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) = (𝑑‘𝐾)) |
| 482 | | fsumconst 15826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((1...𝐾) ∈ Fin
∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1)) |
| 483 | 288, 255,
482 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1)) |
| 484 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 485 | | hashfz1 14385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾) |
| 486 | 484, 485 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾) |
| 487 | 486 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1)) |
| 488 | 254 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾) |
| 489 | 487, 488 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾) |
| 490 | 483, 489 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾) |
| 491 | 481, 490 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) |
| 492 | 334, 491 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)(if(𝑘 = 1, (𝑑‘1), ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1)))) − 1) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) |
| 493 | 287, 492 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) |
| 494 | 463, 254 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) ∈ ℂ) |
| 495 | 494 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) |
| 496 | 495 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0)) |
| 497 | | 0cnd 11254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ) |
| 498 | 494, 497 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (((𝑑‘𝐾) − 𝐾) + 0) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))) |
| 499 | 496, 498 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑑‘𝐾) − 𝐾) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))) |
| 500 | 493, 499 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))) |
| 501 | 497, 254,
463 | subsub2d 11649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾))) |
| 502 | 501 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 + ((𝑑‘𝐾) − 𝐾)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) |
| 503 | 500, 502 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) |
| 504 | 76 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 505 | 504 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 506 | 505 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0) |
| 507 | 506 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁)) |
| 508 | 507 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) |
| 509 | 503, 508 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) |
| 510 | 254, 463 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ) |
| 511 | 505, 505,
510 | subsub4d 11651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))) |
| 512 | 509, 511 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))))) |
| 513 | 505, 254,
463 | addsubassd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) |
| 514 | 513 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) |
| 515 | 514 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑑‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))) |
| 516 | 512, 515 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))) |
| 517 | 275, 516 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)))) |
| 518 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈
ℤ ↔ if(𝑘 = 1,
((𝑑‘1) − 1),
(((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℤ)) |
| 519 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ
↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℤ)) |
| 520 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ) |
| 521 | 295, 520 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℤ) |
| 522 | 521 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℤ) |
| 523 | 520 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈
ℤ) |
| 524 | 329, 523 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈
ℤ) |
| 525 | 518, 519,
522, 524 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℤ) |
| 526 | 525 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℤ) |
| 527 | 274 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℤ
↔ if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈
ℤ)) |
| 528 | 526, 527 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℤ) |
| 529 | 288, 528 | fsumzcl 15771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℤ) |
| 530 | 529 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈
ℂ) |
| 531 | 505, 254 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ) |
| 532 | 531, 463 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ ℂ) |
| 533 | 530, 532,
505 | addlsub 11679 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))))) |
| 534 | 517, 533 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁) |
| 535 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑁 = 𝑁) |
| 536 | 534, 535 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝐾)if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾))) = 𝑁) |
| 537 | 261, 536 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝐾 + 1) − 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘(𝐾 + 1)) − (𝑑‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁) |
| 538 | 253, 537 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = 𝑁) |
| 539 | 230, 538 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑖) − (𝑑‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁) |
| 540 | 218, 539 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁) |
| 541 | 200, 540 | jca 511 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)) |
| 542 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1...(𝐾 + 1)) ∈
V |
| 543 | 542 | mptex 7243 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈
V |
| 544 | | feq1 6716 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔
(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0)) |
| 545 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 546 | 545 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖)) |
| 547 | 546 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) →
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖)) |
| 548 | 547 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) →
(Σ𝑖 ∈
(1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)) |
| 549 | 544, 548 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))) |
| 550 | 543, 549 | elab 3679 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)) |
| 551 | 550 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 +
1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))) |
| 552 | 541, 551 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}) |
| 553 | | sticksstones12a.5 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} |
| 554 | 553 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}) |
| 555 | 554 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧
Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = 𝐴) |
| 556 | 552, 555 | eleqtrd 2843 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴) |
| 557 | 288 | mptexd 7244 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) ∈ V) |
| 558 | 31, 37, 556, 557 | fvmptd 7023 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)))) |
| 559 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) |
| 560 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → 𝑘 = 𝑙) |
| 561 | 560 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑙 = (𝐾 + 1))) |
| 562 | 560 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1)) |
| 563 | 560 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘𝑘) = (𝑑‘𝑙)) |
| 564 | 560 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑘 − 1) = (𝑙 − 1)) |
| 565 | 564 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (𝑑‘(𝑘 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1))) |
| 566 | 563, 565 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → ((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 567 | 566 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) |
| 568 | 562, 567 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) |
| 569 | 561, 568 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑙) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 570 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℤ) |
| 571 | 58 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 572 | 571 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 573 | 572 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ) |
| 574 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 575 | 574 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 576 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ 𝑙) |
| 577 | 576 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙) |
| 578 | 575 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ) |
| 579 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ (1...𝐾)) |
| 580 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ∈ ℕ) |
| 581 | 579, 580 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ) |
| 582 | 581 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 583 | 582 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 584 | 573 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 585 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗) |
| 586 | 585 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗) |
| 587 | 62 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 588 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ) |
| 589 | 587, 588 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 590 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) → 𝑗 ≤ 𝐾) |
| 591 | 579, 590 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ 𝐾) |
| 592 | 587 | lep1d 12199 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 593 | 582, 587,
589, 591, 592 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 594 | 593 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 595 | 578, 583,
584, 586, 594 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ (𝐾 + 1)) |
| 596 | 570, 573,
575, 577, 595 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...(𝐾 + 1))) |
| 597 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)) ∈ V) |
| 598 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
V) |
| 599 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈
V) |
| 600 | 598, 599 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈
V) |
| 601 | 597, 600 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) ∈
V) |
| 602 | 559, 569,
596, 601 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 603 | 602 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 604 | 603 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))) |
| 605 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑗) → 𝑙 ∈ ℕ) |
| 606 | 605 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℕ) |
| 607 | 606 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ) |
| 608 | 587 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 609 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ) |
| 610 | 608, 609 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ) |
| 611 | 581 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ) |
| 612 | 611 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 613 | 591 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾) |
| 614 | 607, 612,
608, 586, 613 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾) |
| 615 | 608 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 < (𝐾 + 1)) |
| 616 | 607, 608,
610, 614, 615 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 < (𝐾 + 1)) |
| 617 | 607, 616 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ≠ (𝐾 + 1)) |
| 618 | 617 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ¬ 𝑙 = (𝐾 + 1)) |
| 619 | 618 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) |
| 620 | 619 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) |
| 621 | 620 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 622 | 581 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑗) |
| 623 | 55 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ) |
| 624 | 581 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
| 625 | | eluz 12892 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ 𝑗
∈ ℤ) → (𝑗
∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝑗)) |
| 626 | 623, 624,
625 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)
↔ 1 ≤ 𝑗)) |
| 627 | 622, 626 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 628 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑑‘1) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → (((𝑑‘1) − 1) ∈
ℂ ↔ if(𝑙 = 1,
((𝑑‘1) − 1),
(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈
ℂ)) |
| 629 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) → ((((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈ ℂ
↔ if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈
ℂ)) |
| 630 | 54 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 631 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝜑) |
| 632 | 631, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝐾) |
| 633 | 631, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 634 | | eluz 12892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ 𝐾
∈ ℤ) → (𝐾
∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ 𝐾)) |
| 635 | 623, 633,
634 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)
↔ 1 ≤ 𝐾)) |
| 636 | 632, 635 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 637 | | eluzfz1 13571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝐾)) |
| 638 | 636, 637 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ (1...𝐾)) |
| 639 | 630, 638 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 640 | 639, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℕ) |
| 641 | 640 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℤ) |
| 642 | 641, 623 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℤ) |
| 643 | 642 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℂ) |
| 644 | 643 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℂ) |
| 645 | 644 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘1) − 1) ∈
ℂ) |
| 646 | 630 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 647 | 633 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 648 | 606 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 649 | 606 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙) |
| 650 | 570, 647,
648, 649, 614 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾)) |
| 651 | 646, 650 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 652 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ) |
| 653 | 651, 652 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ) |
| 654 | 653 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ) |
| 655 | 646 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 656 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈
ℤ) |
| 657 | 647 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 658 | 648 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 659 | 658, 656 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ) |
| 660 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬
𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1) |
| 661 | 660 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≠ 1) |
| 662 | 609 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ∈
ℝ) |
| 663 | 607 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ∈ ℝ) |
| 664 | 649 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ 𝑙) |
| 665 | 662, 663,
664 | leltned 11414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1)) |
| 666 | 661, 665 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 < 𝑙) |
| 667 | 656, 658 | zltlem1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1))) |
| 668 | 666, 667 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 1 ≤ (𝑙 − 1)) |
| 669 | 659 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ) |
| 670 | 608 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 671 | 663 | lem1d 12201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙) |
| 672 | 614 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → 𝑙 ≤ 𝐾) |
| 673 | 669, 663,
670, 671, 672 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾) |
| 674 | 656, 657,
659, 668, 673 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 675 | 655, 674 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 676 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ) |
| 677 | 675, 676 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℤ) |
| 678 | 654, 677 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈
ℤ) |
| 679 | 678, 656 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈
ℤ) |
| 680 | 679 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) ∧ ¬ 𝑙 = 1) → (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) ∈
ℂ) |
| 681 | 628, 629,
645, 680 | ifbothda 4564 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) ∈
ℂ) |
| 682 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑙 = 1 → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = ((𝑑‘1) −
1)) |
| 683 | 627, 681,
682 | fsum1p 15789 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) +
Σ𝑙 ∈ ((1 +
1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 684 | 683 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))))) |
| 685 | 631, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ) |
| 686 | 685 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℝ) |
| 687 | 686, 686 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ∈
ℝ) |
| 688 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 689 | 688 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 690 | 689 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℝ) |
| 691 | 686 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < (1 + 1)) |
| 692 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → (1 + 1) ≤ 𝑙) |
| 693 | 692 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (1 + 1) ≤ 𝑙) |
| 694 | 686, 687,
690, 691, 693 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 < 𝑙) |
| 695 | 686, 694 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≠ 𝑙) |
| 696 | 695 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≠ 1) |
| 697 | 696 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ¬ 𝑙 = 1) |
| 698 | 697 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) |
| 699 | 698 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) |
| 700 | 699 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (((𝑑‘1) − 1) +
Σ𝑙 ∈ ((1 +
1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) |
| 701 | 700 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) |
| 702 | | fzfid 14014 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...𝑗) ∈ Fin) |
| 703 | 630 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 704 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℤ) |
| 705 | 633 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 706 | 686, 687,
691 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (1 + 1)) |
| 707 | 686, 687,
690, 706, 693 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ 𝑙) |
| 708 | 582 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 709 | 587 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 710 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗) → 𝑙 ≤ 𝑗) |
| 711 | 710 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝑗) |
| 712 | 591 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝐾) |
| 713 | 690, 708,
709, 711, 712 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ≤ 𝐾) |
| 714 | 704, 705,
689, 707, 713 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ (1...𝐾)) |
| 715 | 703, 714 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 716 | 715, 652 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ) |
| 717 | 716 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℂ) |
| 718 | 689, 704 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℤ) |
| 719 | | leaddsub 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1))) |
| 720 | 686, 686,
690, 719 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((1 + 1) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ (𝑙 − 1))) |
| 721 | 693, 720 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ≤ (𝑙 − 1)) |
| 722 | 690, 686 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ ℝ) |
| 723 | 690 | lem1d 12201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝑙) |
| 724 | 722, 690,
709, 723, 713 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ≤ 𝐾) |
| 725 | 704, 705,
718, 721, 724 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑙 − 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 726 | 703, 725 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 727 | 676 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ) |
| 728 | 726, 727 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘(𝑙 − 1)) ∈ ℂ) |
| 729 | 717, 728 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈
ℂ) |
| 730 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 1 ∈ ℂ) |
| 731 | 702, 729,
730 | fsumsub 15824 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) |
| 732 | 731 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) +
(Σ𝑙 ∈ ((1 +
1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) |
| 733 | 732 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)))) |
| 734 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ) |
| 735 | | fsumconst 15826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((1 +
1)...𝑗) ∈ Fin ∧ 1
∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1)) |
| 736 | 702, 734,
735 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1)) |
| 737 | | hashfzp1 14470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘1) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1)) |
| 738 | 627, 737 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (♯‘((1 + 1)...𝑗)) = (𝑗 − 1)) |
| 739 | 738 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = ((𝑗 − 1) ·
1)) |
| 740 | 581 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
| 741 | 740, 734 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ) |
| 742 | 741 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) · 1) = (𝑗 − 1)) |
| 743 | 739, 742 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((♯‘((1 + 1)...𝑗)) · 1) = (𝑗 − 1)) |
| 744 | 736, 743 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1 = (𝑗 − 1)) |
| 745 | 744 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1) = (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) |
| 746 | 745 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) |
| 747 | 746 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))))) |
| 748 | 702, 729 | fsumcl 15769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) ∈
ℂ) |
| 749 | 643, 748,
741 | addsubassd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)) = (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) |
| 750 | 749 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1))) = ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) |
| 751 | 750 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))) |
| 752 | 643, 748 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) ∈
ℂ) |
| 753 | 740, 752,
741 | addsubassd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1)))) |
| 754 | 753 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1))) |
| 755 | 740, 752,
741 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))))) |
| 756 | 740, 734 | nncand 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1) |
| 757 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ) |
| 758 | 624, 623 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
| 759 | 630 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 760 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈
ℤ) |
| 761 | 633 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 762 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 763 | 762 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℤ) |
| 764 | 763 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ) |
| 765 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ∈
ℝ) |
| 766 | 763 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ) |
| 767 | 766, 765 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ) |
| 768 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 1 ≤ 𝑙) |
| 769 | 768 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ 𝑙) |
| 770 | 766 | lep1d 12199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑙 + 1)) |
| 771 | 765, 766,
767, 769, 770 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 1 ≤ (𝑙 + 1)) |
| 772 | 582 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 773 | 772, 765 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 774 | 587 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 775 | 774, 765 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) |
| 776 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1)) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1)) |
| 777 | 776 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝑗 − 1)) |
| 778 | 591 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑗 ≤ 𝐾) |
| 779 | 772, 774,
765, 778 | lesub1dd 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) |
| 780 | 766, 773,
775, 777, 779 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ (𝐾 − 1)) |
| 781 | | leaddsub 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ 𝐾 ∈
ℝ) → ((𝑙 + 1)
≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))) |
| 782 | 766, 765,
774, 781 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑙 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ (𝐾 − 1))) |
| 783 | 780, 782 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝐾) |
| 784 | 760, 761,
764, 771, 783 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝐾)) |
| 785 | 759, 784 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 786 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ) |
| 787 | 785, 786 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) ∈ ℤ) |
| 788 | 582, 685 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 789 | 582 | lem1d 12201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗) |
| 790 | 788, 582,
587, 789, 591 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾) |
| 791 | 790 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ≤ 𝐾) |
| 792 | 766, 773,
774, 777, 791 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ≤ 𝐾) |
| 793 | 760, 761,
763, 769, 792 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → 𝑙 ∈ (1...𝐾)) |
| 794 | 759, 793 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 795 | 794, 652 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → (𝑑‘𝑙) ∈ ℤ) |
| 796 | 787, 795 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℤ) |
| 797 | 796 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) ∈ ℂ) |
| 798 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘(𝑙 + 1)) = (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1))) |
| 799 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → (𝑑‘𝑙) = (𝑑‘(𝑤 − 1))) |
| 800 | 798, 799 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑙 = (𝑤 − 1) → ((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))) |
| 801 | 757, 757,
758, 797, 800 | fsumshft 15816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1)))) |
| 802 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑤 − 1) = (𝑙 − 1)) |
| 803 | 802 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) = (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1))) |
| 804 | 802 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑤 = 𝑙 → (𝑑‘(𝑤 − 1)) = (𝑑‘(𝑙 − 1))) |
| 805 | 803, 804 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑤 = 𝑙 → ((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 806 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑙((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) |
| 807 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑤((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) |
| 808 | 805, 806,
807 | cbvsum 15731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Σ𝑤 ∈ ((1
+ 1)...((𝑗 − 1) +
1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) |
| 809 | 808 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑤 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑤 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑤 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 810 | 801, 809 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 811 | 740, 734 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗) |
| 812 | 811 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1)) = ((1 + 1)...𝑗)) |
| 813 | 812 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 814 | 690 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → 𝑙 ∈ ℂ) |
| 815 | 814, 730 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙) |
| 816 | 815 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → (𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑙)) |
| 817 | 816 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)) → ((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = ((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 818 | 817 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 819 | 813, 818 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...((𝑗 − 1) + 1))((𝑑‘((𝑙 − 1) + 1)) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 820 | 810, 819 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) |
| 821 | 820 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) = Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))) |
| 822 | 821 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) = (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) |
| 823 | 756, 822 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))))) |
| 824 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑟 = 𝑙 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘𝑙)) |
| 825 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑟 = (𝑙 + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘(𝑙 + 1))) |
| 826 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑟 = 1 → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘1)) |
| 827 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑟 = ((𝑗 − 1) + 1) → (𝑑‘𝑟) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1))) |
| 828 | 811, 627 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 829 | 630 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 830 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈
ℤ) |
| 831 | 633 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 832 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ∈
ℤ) |
| 833 | 832 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℤ) |
| 834 | | elfzle1 13567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 1 ≤
𝑟) |
| 835 | 834 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑟) |
| 836 | 833 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ) |
| 837 | 582 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 838 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 1 ∈
ℝ) |
| 839 | 837, 838 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 840 | 839, 838 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 841 | 587 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 842 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1)) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1)) |
| 843 | 842 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ ((𝑗 − 1) + 1)) |
| 844 | 811, 591 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾) |
| 845 | 844 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) ≤ 𝐾) |
| 846 | 836, 840,
841, 843, 845 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ≤ 𝐾) |
| 847 | 830, 831,
833, 835, 846 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → 𝑟 ∈ (1...𝐾)) |
| 848 | 829, 847 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 849 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑑‘𝑟) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ) |
| 850 | 848, 849 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℤ) |
| 851 | 850 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑟 ∈ (1...((𝑗 − 1) + 1))) → (𝑑‘𝑟) ∈ ℂ) |
| 852 | 824, 825,
826, 827, 758, 828, 851 | telfsum2 15841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)) = ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) |
| 853 | 852 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙))) = (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) |
| 854 | 853 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))) |
| 855 | 811 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑑‘𝑗)) |
| 856 | 630, 579 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾))) |
| 857 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑑‘𝑗) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ) |
| 858 | 856, 857 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘𝑗) ∈ ℤ) |
| 859 | 855, 858 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈
ℤ) |
| 860 | 859 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) ∈
ℂ) |
| 861 | 640 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℝ) |
| 862 | 861 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑑‘1) ∈ ℂ) |
| 863 | 860, 862 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)) ∈ ℂ) |
| 864 | 734, 643,
863 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))))) |
| 865 | 864 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) |
| 866 | 734, 862 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + ((𝑑‘1) − 1)) = (𝑑‘1)) |
| 867 | 866 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) |
| 868 | 862, 860 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘((𝑗 − 1) + 1))) |
| 869 | 868, 855 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑑‘1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 870 | 867, 869 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((1 + ((𝑑‘1) − 1)) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 871 | 865, 870 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + ((𝑑‘((𝑗 − 1) + 1)) − (𝑑‘1)))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 872 | 854, 871 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (1 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ (1...(𝑗 − 1))((𝑑‘(𝑙 + 1)) − (𝑑‘𝑙)))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 873 | 823, 872 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 874 | 755, 873 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))))) − (𝑗 − 1)) = (𝑑‘𝑗)) |
| 875 | 754, 874 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + ((((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1)))) − (𝑗 − 1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 876 | 751, 875 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − (𝑗 − 1)))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 877 | 747, 876 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + (Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 878 | 733, 877 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)(((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 879 | 701, 878 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + (((𝑑‘1) − 1) + Σ𝑙 ∈ ((1 + 1)...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 880 | 684, 879 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 881 | 621, 880 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)if(𝑙 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑙 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑙) − (𝑑‘(𝑙 − 1))) − 1)))) = (𝑑‘𝑗)) |
| 882 | 604, 881 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗)) |
| 883 | 882 | 3expa 1119 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝐾)) → (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙)) = (𝑑‘𝑗)) |
| 884 | 883 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗))) |
| 885 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑞(𝑑‘𝑗) |
| 886 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑗(𝑑‘𝑞) |
| 887 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 = 𝑞 → (𝑑‘𝑗) = (𝑑‘𝑞)) |
| 888 | 885, 886,
887 | cbvmpt 5253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)) |
| 889 | 888 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑗)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 890 | 884, 889 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑙))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 891 | 558, 890 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑑‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑑‘1) − 1), (((𝑑‘𝑘) − (𝑑‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 892 | 29, 891 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 893 | 54 | ffnd 6737 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 Fn (1...𝐾)) |
| 894 | | dffn5 6967 |
. . . . . 6
⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) ↔ 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 895 | 894 | biimpi 216 |
. . . . 5
⊢ (𝑑 Fn (1...𝐾) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 896 | 893, 895 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → 𝑑 = (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞))) |
| 897 | 896 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑑‘𝑞)) = 𝑑) |
| 898 | 892, 897 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑) |
| 899 | 898 | ralrimiva 3146 |
1
⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = 𝑑) |