Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas4 25931
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas4 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.b . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
31, 2dchrrcl 25928 . . 3 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmhm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6 eqid 2758 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
81, 4, 5, 6, 7, 2dchrelbas2 25925 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9 nnnn0 11946 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 dchrelbas4.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124, 5, 11znzrhfo 20320 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fveq2 6662 . . . . . . . . . 10 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = (𝑋𝑦))
1413neeq1d 3010 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑦) ≠ 0))
15 eleq1 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
1614, 15imbi12d 348 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1716cbvfo 7042 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1810, 12, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19 df-ne 2952 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))
214, 6, 11znunit 20336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
2210, 21sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23 1red 10685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 nnne0 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2928necon3ai 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3025, 27, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31 gcdn0cl 15906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3224, 26, 30, 31syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnred 11694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3432nnge1d 11727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
3523, 33, 34leltned 10836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
3635necon2bbid 2994 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3722, 36bitrd 282 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3820, 37imbi12d 348 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39 con34b 319 . . . . . . . 8 ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
4038, 39bitr4di 292 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4140ralbidva 3125 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4218, 41bitr3d 284 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4342pm5.32da 582 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
448, 43bitrd 282 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
453, 44biadanii 821 . 2 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
46 3anass 1092 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
4745, 46bitr4i 281 1 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   class class class wbr 5035  –onto→wfo 6337  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   < clt 10718  ℕcn 11679  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025   gcd cgcd 15898  Basecbs 16546   MndHom cmhm 18025  mulGrpcmgp 19312  Unitcui 19465  ℂfldccnfld 20171  ℤRHomczrh 20274  ℤ/nℤczn 20277  DChrcdchr 25920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-dvds 15661  df-gcd 15899  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-0g 16778  df-imas 16844  df-qus 16845  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-nsg 18349  df-eqg 18350  df-ghm 18428  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-rnghom 19543  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-lidl 20019  df-rsp 20020  df-2idl 20078  df-cnfld 20172  df-zring 20244  df-zrh 20278  df-zn 20281  df-dchr 25921 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator