MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas4 26607
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas4 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.b . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
31, 2dchrrcl 26604 . . 3 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmhm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6 eqid 2737 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
81, 4, 5, 6, 7, 2dchrelbas2 26601 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 dchrelbas4.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124, 5, 11znzrhfo 20970 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = (𝑋𝑦))
1413neeq1d 3004 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑦) ≠ 0))
15 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
1614, 15imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1716cbvfo 7240 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1810, 12, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19 df-ne 2945 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))
214, 6, 11znunit 20986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
2210, 21sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2928necon3ai 2969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3025, 27, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31 gcdn0cl 16389 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3224, 26, 30, 31syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnred 12175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3432nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
3523, 33, 34leltned 11315 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
3635necon2bbid 2988 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3722, 36bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3820, 37imbi12d 345 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39 con34b 316 . . . . . . . 8 ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
4038, 39bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4140ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4218, 41bitr3d 281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4342pm5.32da 580 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
448, 43bitrd 279 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
453, 44biadanii 821 . 2 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
46 3anass 1096 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
4745, 46bitr4i 278 1 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065   class class class wbr 5110  ontowfo 6499  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506   gcd cgcd 16381  Basecbs 17090   MndHom cmhm 18606  mulGrpcmgp 19903  Unitcui 20075  fldccnfld 20812  ℤRHomczrh 20916  ℤ/nczn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator