Theorem dchrelbas4 26746

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	dchrrcl 26743	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 4, 5, 6, 7, 2	dchrelbas2 26740	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9		nnnn0 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		dchrelbas4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12	4, 5, 11	znzrhfo 21103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13		fveq2 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = (𝑋‘𝑦))
14	13	neeq1d 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
15		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
16	14, 15	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
17	16	cbvfo 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
18	10, 12, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19		df-ne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))
21	4, 6, 11	znunit 21119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
22	10, 21	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23		1red 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnne0 12246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
29	28	necon3ai 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
30	25, 27, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31		gcdn0cl 16443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
32	24, 26, 30, 31	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnred 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
34	32	nnge1d 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
35	23, 33, 34	leltned 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
36	35	necon2bbid 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
37	22, 36	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
38	20, 37	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39		con34b 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
40	38, 39	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
41	40	ralbidva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
42	18, 41	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
43	42	pm5.32da 580	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
44	8, 43	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
45	3, 44	biadanii 821	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
46		3anass 1096	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
47	45, 46	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   class class class wbr 5149  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558   gcd cgcd 16435  Basecbs 17144   MndHom cmhm 18669  mulGrpcmgp 19987  Unitcui 20169  ℂ_fldccnfld 20944  ℤRHomczrh 21049  ℤ/nℤczn 21052  DChrcdchr 26735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-dchr 26736

This theorem is referenced by: (None)