Theorem dchrelbas4 27477

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	dchrrcl 27474	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 4, 5, 6, 7, 2	dchrelbas2 27471	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9		nnnn0 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		dchrelbas4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12	4, 5, 11	znzrhfo 21761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = (𝑋‘𝑦))
14	13	neeq1d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
15		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
16	14, 15	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
17	16	cbvfo 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
18	10, 12, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19		df-ne 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))
21	4, 6, 11	znunit 21777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
22	10, 21	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23		1red 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnne0 12297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
29	28	necon3ai 2982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
30	25, 27, 29	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31		gcdn0cl 16596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
32	24, 26, 30, 31	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnred 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
34	32	nnge1d 12311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
35	23, 33, 34	leltned 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
36	35	necon2bbid 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
37	22, 36	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
38	20, 37	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39		con34b 319	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
40	38, 39	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
41	40	ralbidva 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
42	18, 41	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
43	42	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
44	8, 43	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
45	3, 44	biadanii 834	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
46		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
47	45, 46	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618   gcd cgcd 16588  Basecbs 17305   MndHom cmhm 18890  mulGrpcmgp 20274  Unitcui 20497  ℂ_fldccnfld 21586  ℤRHomczrh 21713  ℤ/nℤczn 21716  DChrcdchr 27466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-zn 21720  df-dchr 27467

This theorem is used by: (None)