Theorem dchrelbas4 25501

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	dchrrcl 25498	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 4, 5, 6, 7, 2	dchrelbas2 25495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9		nnnn0 11752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		dchrelbas4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12	4, 5, 11	znzrhfo 20376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13		fveq2 6538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = (𝑋‘𝑦))
14	13	neeq1d 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
15		eleq1 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
16	14, 15	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
17	16	cbvfo 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
18	10, 12, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19		df-ne 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))
21	4, 6, 11	znunit 20392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
22	10, 21	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23		1red 10488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 11935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		nnne0 11519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
29	28	necon3ai 3009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
30	25, 27, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31		gcdn0cl 15684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
32	24, 26, 30, 31	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnred 11501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
34	32	nnge1d 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
35	23, 33, 34	leltned 10640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
36	35	necon2bbid 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
37	22, 36	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
38	20, 37	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39		con34b 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
40	38, 39	syl6bbr 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
41	40	ralbidva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿‘𝑥)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
42	18, 41	bitr3d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))
43	42	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
44	8, 43	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
45	3, 44	biadanii 819	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
46		3anass 1088	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0))))
47	45, 46	bitr4i 279	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘𝑥)) = 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105   class class class wbr 4962  –onto→wfo 6223  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   < clt 10521  ℕcn 11486  ℕ₀cn0 11745  ℤcz 11829   gcd cgcd 15676  Basecbs 16312   MndHom cmhm 17772  mulGrpcmgp 18929  Unitcui 19079  ℂ_fldccnfld 20227  ℤRHomczrh 20329  ℤ/nℤczn 20332  DChrcdchr 25490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-ec 8141  df-qs 8145  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-imas 16610  df-qus 16611  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-nsg 18031  df-eqg 18032  df-ghm 18097  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-lidl 19636  df-rsp 19637  df-2idl 19694  df-cnfld 20228  df-zring 20300  df-zrh 20333  df-zn 20336  df-dchr 25491

This theorem is referenced by: (None)