MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas4 26591
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas4 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrelbas4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.b . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
31, 2dchrrcl 26588 . . 3 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmhm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6 eqid 2736 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
81, 4, 5, 6, 7, 2dchrelbas2 26585 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))))
9 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 dchrelbas4.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124, 5, 11znzrhfo 20954 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = (𝑋𝑦))
1413neeq1d 3003 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑦) ≠ 0))
15 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)))
1614, 15imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑥) = 𝑦 → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1716cbvfo 7235 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
1810, 12, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))))
19 df-ne 2944 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))
214, 6, 11znunit 20970 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
2210, 21sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
23 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
25 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2928necon3ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3025, 27, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31 gcdn0cl 16382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑥 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3224, 26, 30, 31syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3432nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ≤ (𝑥 gcd 𝑁))
3523, 33, 34leltned 11308 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1 < (𝑥 gcd 𝑁) ↔ (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
3635necon2bbid 2987 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3722, 36bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
3820, 37imbi12d 344 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁))))
39 con34b 315 . . . . . . . 8 ((1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0) ↔ (¬ (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0 → ¬ 1 < (𝑥 gcd 𝑁)))
4038, 39bitr4di 288 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4140ralbidva 3172 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝑋‘(𝐿𝑥)) ≠ 0 → (𝐿𝑥) ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4218, 41bitr3d 280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
4342pm5.32da 579 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
448, 43bitrd 278 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
453, 44biadanii 820 . 2 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
46 3anass 1095 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0))))
4745, 46bitr4i 277 1 (𝑋𝐷 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (1 < (𝑥 gcd 𝑁) → (𝑋‘(𝐿𝑥)) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5105  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499   gcd cgcd 16374  Basecbs 17083   MndHom cmhm 18599  mulGrpcmgp 19896  Unitcui 20068  fldccnfld 20796  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-dchr 26581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator