Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle 39388
Description: There exists an atom under a co-atom. (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   π‘Š,𝑝

Proof of Theorem lhpexle
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 39381 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 eqid 2726 . . 3 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
76, 3lhpn0 39387 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ))
8 lhp2a.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 lhp2a.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 8, 6, 9atle 38819 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
111, 5, 7, 10syl3anc 1368 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  lecple 17210  0.cp0 18385  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-lhyp 39371
This theorem is referenced by:  lhpexle1  39391  lhpex2leN  39396  cdlemg5  39988
  Copyright terms: Public domain W3C validator