Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle 38514
Description: There exists an atom under a co-atom. (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   π‘Š,𝑝

Proof of Theorem lhpexle
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 38507 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54adantl 483 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 eqid 2733 . . 3 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
76, 3lhpn0 38513 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ))
8 lhp2a.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 lhp2a.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 8, 6, 9atle 37945 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
111, 5, 7, 10syl3anc 1372 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  0.cp0 18317  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  lhpexle1  38517  lhpex2leN  38522  cdlemg5  39114
  Copyright terms: Public domain W3C validator