Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle 39510
Description: There exists an atom under a co-atom. (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   π‘Š,𝑝

Proof of Theorem lhpexle
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 39503 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54adantl 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 eqid 2728 . . 3 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
76, 3lhpn0 39509 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ))
8 lhp2a.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 lhp2a.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 8, 6, 9atle 38941 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
111, 5, 7, 10syl3anc 1368 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  0.cp0 18422  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493
This theorem is referenced by:  lhpexle1  39513  lhpex2leN  39518  cdlemg5  40110
  Copyright terms: Public domain W3C validator