Theorem lhpexle2 37951

Description: There exists atom under a co-atom different from any two other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem lhpexle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle1 37949	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
5	1, 2, 3	lhpexle1 37949	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
7	1, 2, 3	lhpexle2lem 37950	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
8	7	3expa 1116	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
9	6, 8	lhpexle1lem 37948	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
10		3ancomb 1097	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
11	10	rexbii 3177	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
12	9, 11	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
13	4, 12	lhpexle1lem 37948	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  lecple 16895  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-lhyp 37929

This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  37952  lhpexle3  37953  cdlemj3  38764