Theorem lhpexle3 40388

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle2 40386	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
5		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
6	5	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
7	4, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
8	1, 2, 3	lhpexle2 40386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
10		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
11	10	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
12	9, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
13	1, 2, 3	lhpexle2 40386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
14		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
15	14	rexbii 3085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
16	13, 15	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
18		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl3l 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20		simpl2l 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝐴)
21		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
22		simpl3r 1231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
23		simpl2r 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ≤ 𝑊)
24		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
25	1, 2, 3	lhpexle3lem 40387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
27		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	anbi2i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	28, 29	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	30	rexbii 3085	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32	26, 31	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	17, 32	lhpexle1lem 40383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34		an31 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
35	34	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
36		3anass 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
37	35, 29, 36	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
38	37	rexbii 3085	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
39	33, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
40	39	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
41	12, 40	lhpexle1lem 40383	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
42		an32 647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	42	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
45	43, 36, 44	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
46	45	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
47	41, 46	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
48	7, 47	lhpexle1lem 40383	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
49		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
50	49	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
51	44, 50	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
52	51	rexbii 3085	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
53	48, 52	sylib 218	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  lecple 17196  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-lhyp 40364

This theorem is referenced by:  cdlemftr3  40941