Theorem lhpexle3 40014

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle2 40012	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
5		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
6	5	rexbii 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
7	4, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
8	1, 2, 3	lhpexle2 40012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
10		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
11	10	rexbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
12	9, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
13	1, 2, 3	lhpexle2 40012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
14		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
15	14	rexbii 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
16	13, 15	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
18		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl3l 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20		simpl2l 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝐴)
21		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
22		simpl3r 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
23		simpl2r 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ≤ 𝑊)
24		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
25	1, 2, 3	lhpexle3lem 40013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
27		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	28, 29	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	30	rexbii 3094	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32	26, 31	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	17, 32	lhpexle1lem 40009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34		an31 648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
35	34	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
36		3anass 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
37	35, 29, 36	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
38	37	rexbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
39	33, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
40	39	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
41	12, 40	lhpexle1lem 40009	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
42		an32 646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	42	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
45	43, 36, 44	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
46	45	rexbii 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
47	41, 46	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
48	7, 47	lhpexle1lem 40009	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
49		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
50	49	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
51	44, 50	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
52	51	rexbii 3094	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
53	48, 52	sylib 218	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  cdlemftr3  40567