Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle3 38052
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle2 38050 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
5 3anass 1093 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
65rexbii 3091 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
81, 2, 3lhpexle2 38050 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
98adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
10 3anass 1093 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
1110rexbii 3091 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
129, 11sylib 217 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
131, 2, 3lhpexle2 38050 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍))
14 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1514rexbii 3091 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
18 simpl1 1189 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl3l 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌𝐴)
20 simpl2l 1224 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍𝐴)
21 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐴)
22 simpl3r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌 𝑊)
23 simpl2r 1225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍 𝑊)
24 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
251, 2, 3lhpexle3lem 38051 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑍𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1391 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
27 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
2827anbi2i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
29 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
3028, 29bitr4i 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3130rexbii 3091 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3226, 31sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3317, 32lhpexle1lem 38047 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
34 an31 644 . . . . . . . . . 10 (((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3534anbi2i 622 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
36 3anass 1093 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
3735, 29, 363bitr4i 302 . . . . . . . 8 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3837rexbii 3091 . . . . . . 7 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3933, 38sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
40393expa 1116 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
4112, 40lhpexle1lem 38047 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
42 an32 642 . . . . . . 7 (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4342anbi2i 622 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
44 3anass 1093 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
4543, 36, 443bitr4i 302 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4645rexbii 3091 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4741, 46sylib 217 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
487, 47lhpexle1lem 38047 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
49 df-3an 1087 . . . . 5 ((𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
5049anbi2i 622 . . . 4 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
5144, 50bitr4i 277 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5251rexbii 3091 . 2 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5348, 52sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5077  cfv 6447  lecple 16997  Atomscatm 37303  HLchlt 37390  LHypclh 38024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-proset 18041  df-poset 18059  df-plt 18076  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-p0 18171  df-p1 18172  df-lat 18178  df-clat 18245  df-oposet 37216  df-ol 37218  df-oml 37219  df-covers 37306  df-ats 37307  df-atl 37338  df-cvlat 37362  df-hlat 37391  df-lhyp 38028
This theorem is referenced by:  cdlemftr3  38605
  Copyright terms: Public domain W3C validator