Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle3 37028
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle2 37026 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
5 3anass 1087 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
65rexbii 3244 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
74, 6sylib 219 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
81, 2, 3lhpexle2 37026 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
98adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
10 3anass 1087 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
1110rexbii 3244 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
129, 11sylib 219 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
131, 2, 3lhpexle2 37026 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍))
14 3anass 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1514rexbii 3244 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1613, 15sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17163ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
18 simpl1 1183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl3l 1220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌𝐴)
20 simpl2l 1218 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍𝐴)
21 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐴)
22 simpl3r 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌 𝑊)
23 simpl2r 1219 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍 𝑊)
24 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
251, 2, 3lhpexle3lem 37027 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑍𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1385 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
27 df-3an 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
2827anbi2i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
29 3anass 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
3028, 29bitr4i 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3130rexbii 3244 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3226, 31sylib 219 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3317, 32lhpexle1lem 37023 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
34 an31 644 . . . . . . . . . 10 (((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3534anbi2i 622 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
36 3anass 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
3735, 29, 363bitr4i 304 . . . . . . . 8 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3837rexbii 3244 . . . . . . 7 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3933, 38sylib 219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
40393expa 1110 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
4112, 40lhpexle1lem 37023 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
42 an32 642 . . . . . . 7 (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4342anbi2i 622 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
44 3anass 1087 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
4543, 36, 443bitr4i 304 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4645rexbii 3244 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4741, 46sylib 219 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
487, 47lhpexle1lem 37023 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
49 df-3an 1081 . . . . 5 ((𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
5049anbi2i 622 . . . 4 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
5144, 50bitr4i 279 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5251rexbii 3244 . 2 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5348, 52sylib 219 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  cdlemftr3  37581
  Copyright terms: Public domain W3C validator