Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle3 38686
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle2 38684 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
5 3anass 1095 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
65rexbii 3093 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
74, 6sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌)))
81, 2, 3lhpexle2 38684 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
98adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
10 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
1110rexbii 3093 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
129, 11sylib 217 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍)))
131, 2, 3lhpexle2 38684 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍))
14 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1514rexbii 3093 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17163ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
18 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl3l 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌𝐴)
20 simpl2l 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍𝐴)
21 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐴)
22 simpl3r 1229 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑌 𝑊)
23 simpl2r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑍 𝑊)
24 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
251, 2, 3lhpexle3lem 38685 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑍𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1393 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)))
27 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
2827anbi2i 623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
29 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)))
3028, 29bitr4i 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3130rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍𝑝𝑋)) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3226, 31sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
3317, 32lhpexle1lem 38681 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋))
34 an31 646 . . . . . . . . . 10 (((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3534anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
36 3anass 1095 . . . . . . . . 9 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)))
3735, 29, 363bitr4i 302 . . . . . . . 8 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3837rexbii 3093 . . . . . . 7 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑌𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
3933, 38sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
40393expa 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
4112, 40lhpexle1lem 38681 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌))
42 an32 644 . . . . . . 7 (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4342anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
44 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
4543, 36, 443bitr4i 302 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4645rexbii 3093 . . . 4 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑍) ∧ 𝑝𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
4741, 46sylib 217 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑍𝐴𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
487, 47lhpexle1lem 38681 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
49 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
5049anbi2i 623 . . . 4 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ((𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍)))
5144, 50bitr4i 277 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5251rexbii 3093 . 2 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌) ∧ 𝑝𝑍) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
5348, 52sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5141  cfv 6532  lecple 17186  Atomscatm 37936  HLchlt 38023  LHypclh 38658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024  df-lhyp 38662
This theorem is referenced by:  cdlemftr3  39239
  Copyright terms: Public domain W3C validator