lhpexle3 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem lhpexle3 39186

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
lhpexle3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups: ≤ ,𝑝 𝐴,𝑝 𝐻,𝑝 𝐾,𝑝 𝑊,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 𝑍,𝑝

**Proof of Theorem lhpexle3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle2 39184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
5		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
6	5	rexbii 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
7	4, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
8	1, 2, 3	lhpexle2 39184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
10		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
11	10	rexbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
12	9, 11	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
13	1, 2, 3	lhpexle2 39184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
14		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
15	14	rexbii 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
16	13, 15	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
18		simpl1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl3l 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20		simpl2l 1226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝐴)
21		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
22		simpl3r 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
23		simpl2r 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ≤ 𝑊)
24		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
25	1, 2, 3	lhpexle3lem 39185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
27		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	28, 29	bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	30	rexbii 3094	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32	26, 31	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	17, 32	lhpexle1lem 39181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34		an31 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
35	34	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
36		3anass 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
37	35, 29, 36	3bitr4i 302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
38	37	rexbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
39	33, 38	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
40	39	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
41	12, 40	lhpexle1lem 39181	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
42		an32 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	42	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
45	43, 36, 44	3bitr4i 302	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
46	45	rexbii 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
47	41, 46	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
48	7, 47	lhpexle1lem 39181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
49		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
50	49	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
51	44, 50	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
52	51	rexbii 3094	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
53	48, 52	sylib 217	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∃wrex 3070 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 lecple 17208 Atomscatm 38436 HLchlt 38523 LHypclh 39158

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-proset 18252 df-poset 18270 df-plt 18287 df-lub 18303 df-glb 18304 df-join 18305 df-meet 18306 df-p0 18382 df-p1 18383 df-lat 18389 df-clat 18456 df-oposet 38349 df-ol 38351 df-oml 38352 df-covers 38439 df-ats 38440 df-atl 38471 df-cvlat 38495 df-hlat 38524 df-lhyp 39162

This theorem is referenced by: cdlemftr3 39739

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