Theorem lhpexle3 37622

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle2 37620	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
5		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
6	5	rexbii 3175	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
7	4, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
8	1, 2, 3	lhpexle2 37620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
10		3anass 1092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
11	10	rexbii 3175	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
12	9, 11	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
13	1, 2, 3	lhpexle2 37620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
14		3anass 1092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
15	14	rexbii 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
16	13, 15	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
18		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl3l 1225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20		simpl2l 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝐴)
21		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
22		simpl3r 1226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
23		simpl2r 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑍 ≤ 𝑊)
24		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
25	1, 2, 3	lhpexle3lem 37621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
27		df-3an 1086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
28	27	anbi2i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
29		3anass 1092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
30	28, 29	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
31	30	rexbii 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
32	26, 31	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
33	17, 32	lhpexle1lem 37617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋))
34		an31 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
35	34	anbi2i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
36		3anass 1092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)))
37	35, 29, 36	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
38	37	rexbii 3175	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
39	33, 38	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
40	39	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
41	12, 40	lhpexle1lem 37617	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌))
42		an32 645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	42	anbi2i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		3anass 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
45	43, 36, 44	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
46	45	rexbii 3175	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
47	41, 46	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
48	7, 47	lhpexle1lem 37617	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
49		df-3an 1086	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
50	49	anbi2i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
51	44, 50	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
52	51	rexbii 3175	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
53	48, 52	sylib 221	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  lecple 16643  Atomscatm 36873  HLchlt 36960  LHypclh 37594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-lhyp 37598

This theorem is referenced by:  cdlemftr3  38175