Theorem cdlemj3 38764

Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemj3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Proof of Theorem cdlemj3

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemj.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 37951	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
7		simpl1l 1222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl1r 1223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12		simprr1 1219	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13		cdlemj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemj.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemj.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	13, 2, 3, 4, 14, 15	cdlemfnid 38505	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	8, 10, 11, 12, 16	syl22anc 835	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18		simp1l 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)))
19		simp1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp3l 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
21		simp3rr 1245	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22		simp2r2 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹))
23	22	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑢)
24		simp3rl 1244	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
25	23, 24	neeqtrrd 3017	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔))
26		simp2r3 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))
27	24, 26	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))
28		cdlemj.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29	13, 4, 14, 15, 28	cdlemj2 38763	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
30	18, 19, 20, 21, 25, 27, 29	syl132anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
31	30	3expia 1119	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
32	31	expd 415	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑔 ∈ 𝑇 → (((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))))
33	32	rexlimdv 3211	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
34	17, 33	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
35	6, 34	rexlimddv 3219	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   I cid 5479   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099  TEndoctendo 38693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tendo 38696

This theorem is referenced by:  tendocan  38765