Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj3 39289
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemj3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))

Proof of Theorem cdlemj3
Dummy variables 𝑔 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2737 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemj.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
52, 3, 4lhpexle2 38476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))
61, 5syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))
7 simpl1l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
87adantr 482 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simpl1r 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
109adantr 482 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
11 simprl 770 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
12 simprr1 1222 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)
13 cdlemj.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemj.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemj.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1613, 2, 3, 4, 14, 15cdlemfnid 39030 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
178, 10, 11, 12, 16syl22anc 838 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
18 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)))
19 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20 simp3l 1202 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
21 simp3rr 1248 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
22 simp2r2 1277 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2322necomd 3000 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑒)
24 simp3rl 1247 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
2523, 24neeqtrrd 3019 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”))
26 simp2r3 1278 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))
2724, 26eqnetrd 3012 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))
28 cdlemj.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2913, 4, 14, 15, 28cdlemj2 39288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
3018, 19, 20, 21, 25, 27, 29syl132anc 1389 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
31303expia 1122 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž)))
3231expd 417 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))))
3332rexlimdv 3151 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž)))
3417, 33mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
356, 34rexlimddv 3159 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendocan  39290
  Copyright terms: Public domain W3C validator