Theorem cdlemj3 41597

Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemj3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Proof of Theorem cdlemj3

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemj.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 40784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
7		simpl1l 1243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl1r 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12		simprr1 1240	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13		cdlemj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemj.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemj.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	13, 2, 3, 4, 14, 15	cdlemfnid 41338	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	8, 10, 11, 12, 16	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)))
19		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp3l 1220	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
21		simp3rr 1266	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22		simp2r2 1295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹))
23	22	necomd 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑢)
24		simp3rl 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
25	23, 24	neeqtrrd 3032	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔))
26		simp2r3 1296	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))
27	24, 26	eqnetrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))
28		cdlemj.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29	13, 4, 14, 15, 28	cdlemj2 41596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
30	18, 19, 20, 21, 25, 27, 29	syl132anc 1415	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
31	30	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
32	31	expd 420	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑔 ∈ 𝑇 → (((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))))
33	32	rexlimdv 3164	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
34	17, 33	mpd 16	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
35	6, 34	rexlimddv 3172	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  LHypclh 40758  LTrncltrn 40875  trLctrl 40932  TEndoctendo 41526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tendo 41529

This theorem is referenced by:  tendocan  41598