Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj3 38019
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemj3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))

Proof of Theorem cdlemj3
Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2824 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemj.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 37206 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))
61, 5syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))
7 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
87adantr 484 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl1r 1222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊𝐻)
109adantr 484 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑊𝐻)
11 simprl 770 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12 simprr1 1218 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13 cdlemj.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemj.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemj.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1613, 2, 3, 4, 14, 15cdlemfnid 37760 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
178, 10, 11, 12, 16syl22anc 837 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → ∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)))
19 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
20 simp3l 1198 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔𝑇)
21 simp3rr 1244 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 simp2r2 1273 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅𝐹))
2322necomd 3068 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑢)
24 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑔) = 𝑢)
2523, 24neeqtrrd 3087 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))
26 simp2r3 1274 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅))
2724, 26eqnetrd 3080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))
28 cdlemj.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
2913, 4, 14, 15, 28cdlemj2 38018 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → (𝑈) = (𝑉))
3018, 19, 20, 21, 25, 27, 29syl132anc 1385 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈) = (𝑉))
31303expia 1118 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → ((𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈) = (𝑉)))
3231expd 419 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (𝑔𝑇 → (((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))))
3332rexlimdv 3275 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉)))
3417, 33mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (𝑈) = (𝑉))
356, 34rexlimddv 3283 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133   class class class wbr 5047   I cid 5440  cres 5538  cfv 6336  Basecbs 16472  lecple 16561  Atomscatm 36459  HLchlt 36546  LHypclh 37180  LTrncltrn 37297  trLctrl 37354  TEndoctendo 37948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-riotaBAD 36149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-undef 7922  df-map 8391  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tendo 37951
This theorem is referenced by:  tendocan  38020
  Copyright terms: Public domain W3C validator