Theorem cdlemj3 38837

Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemj3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Proof of Theorem cdlemj3

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemj.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 38024	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
7		simpl1l 1223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl1r 1224	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12		simprr1 1220	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13		cdlemj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemj.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemj.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	13, 2, 3, 4, 14, 15	cdlemfnid 38578	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	8, 10, 11, 12, 16	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18		simp1l 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)))
19		simp1r 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp3l 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
21		simp3rr 1246	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22		simp2r2 1275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹))
23	22	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑢)
24		simp3rl 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
25	23, 24	neeqtrrd 3018	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔))
26		simp2r3 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))
27	24, 26	eqnetrd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))
28		cdlemj.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29	13, 4, 14, 15, 28	cdlemj2 38836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
30	18, 19, 20, 21, 25, 27, 29	syl132anc 1387	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
31	30	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
32	31	expd 416	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑔 ∈ 𝑇 → (((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))))
33	32	rexlimdv 3212	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
34	17, 33	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
35	6, 34	rexlimddv 3220	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172  TEndoctendo 38766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769

This theorem is referenced by:  tendocan  38838