Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemj3 39682
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemj3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
Proof of Theorem cdlemj3
Dummy variables 𝑔 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2732 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemj.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
52, 3, 4lhpexle2 38869 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))
61, 5syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))
7 simpl1l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
87adantr 481 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simpl1r 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
109adantr 481 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
11 simprl 769 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
12 simprr1 1221 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)
13 cdlemj.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemj.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemj.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1613, 2, 3, 4, 14, 15cdlemfnid 39423 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
178, 10, 11, 12, 16syl22anc 837 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
18 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)))
19 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20 simp3l 1201 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
21 simp3rr 1247 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
22 simp2r2 1276 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2322necomd 2996 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑒)
24 simp3rl 1246 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
2523, 24neeqtrrd 3015 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”))
26 simp2r3 1277 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))
2724, 26eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))
28 cdlemj.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2913, 4, 14, 15, 28cdlemj2 39681 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
3018, 19, 20, 21, 25, 27, 29syl132anc 1388 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
31303expia 1121 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž)))
3231expd 416 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))))
3332rexlimdv 3153 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž)))
3417, 33mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑒 β‰  (π‘…β€˜β„Ž)))) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
356, 34rexlimddv 3161 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜β„Ž) = (π‘‰β€˜β„Ž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017  TEndoctendo 39611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614
This theorem is referenced by:  tendocan  39683
  Copyright terms: Public domain W3C validator