Theorem cdlemj3 42146

Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemj3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Proof of Theorem cdlemj3

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemj.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 41333	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))
7		simpl1l 1243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝐾 ∈ HL)
9		simpl1r 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12		simprr1 1240	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13		cdlemj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemj.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemj.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	13, 2, 3, 4, 14, 15	cdlemfnid 41887	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	8, 10, 11, 12, 16	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)))
19		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp3l 1220	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
21		simp3rr 1266	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22		simp2r2 1295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹))
23	22	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑢)
24		simp3rl 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
25	23, 24	neeqtrrd 3033	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔))
26		simp2r3 1296	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))
27	24, 26	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))
28		cdlemj.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29	13, 4, 14, 15, 28	cdlemj2 42145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
30	18, 19, 20, 21, 25, 27, 29	syl132anc 1416	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
31	30	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
32	31	expd 421	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑔 ∈ 𝑇 → (((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))))
33	32	rexlimdv 3165	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
34	17, 33	mpd 16	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅‘ℎ)))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
35	6, 34	rexlimddv 3173	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108   I cid 5552   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307  LTrncltrn 41424  trLctrl 41481  TEndoctendo 42075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-undef 8328  df-map 8887  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tendo 42078

This theorem is used by:  tendocan  42147