Theorem limsupval3 45697

Description: The superior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupval3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval3.4	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupval3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		limsupval3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	1, 2	fexd 7204	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsupval 15447	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7		limsupval3.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9		limsupval3.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10	1	fimassd 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11		dfss2 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
13	12	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14	13	supeq1d 9404	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	9, 15	mpteq2da 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	8, 16	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
18	17	rneqd 5905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
19	18	infeq1d 9436	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
20	6, 19	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  infcinf 9399  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  [,)cico 13315  lim supclsp 15443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-limsup 15444

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  45725  limsup10ex  45778