Theorem limsupval3 44708

Description: The superior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupval3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval3.4	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupval3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		limsupval3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	1, 2	fexd 7232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsupval 15423	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7		limsupval3.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9		limsupval3.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10	1	fimassd 44230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11		df-ss 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
12	10, 11	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
13	12	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14	13	supeq1d 9444	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	9, 15	mpteq2da 5247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	8, 16	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
18	17	rneqd 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
19	18	infeq1d 9475	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
20	6, 19	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   “ cima 5680  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  infcinf 9439  ℝcr 11112  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253  [,)cico 13331  lim supclsp 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-limsup 15420

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  44736  limsup10ex  44789