Theorem limsupval3 46120

Description: The superior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupval3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval3.4	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupval3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		limsupval3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	1, 2	fexd 7182	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsupval 15436	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7		limsupval3.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9		limsupval3.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10	1	fimassd 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11		dfss2 3907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14	13	supeq1d 9359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	9, 15	mpteq2da 5177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	8, 16	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
18	17	rneqd 5893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
19	18	infeq1d 9391	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
20	6, 19	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  supcsup 9353  infcinf 9354  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  [,)cico 13300  lim supclsp 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-limsup 15433

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  46148  limsup10ex  46201