Theorem limsupval3 44893

Description: The superior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupval3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval3.4	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupval3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		limsupval3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	1, 2	fexd 7220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsupval 15415	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7		limsupval3.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9		limsupval3.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10	1	fimassd 44415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11		df-ss 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
12	10, 11	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
13	12	eqcomd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14	13	supeq1d 9437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	9, 15	mpteq2da 5236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	8, 16	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
18	17	rneqd 5927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
19	18	infeq1d 9468	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
20	6, 19	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667   “ cima 5669  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  supcsup 9431  infcinf 9432  ℝcr 11105  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  [,)cico 13323  lim supclsp 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-limsup 15412

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  44921  limsup10ex  44974