Theorem limsupval3 45613

Description: The superior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupval3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupval3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval3.4	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupval3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupval3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		limsupval3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	1, 2	fexd 7264	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsupval 15520	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7		limsupval3.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9		limsupval3.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10	1	fimassd 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11		dfss2 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
13	12	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14	13	supeq1d 9515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	9, 15	mpteq2da 5264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
17	8, 16	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
18	17	rneqd 5963	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
19	18	infeq1d 9546	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
20	6, 19	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  infcinf 9510  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  [,)cico 13409  lim supclsp 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-limsup 15517

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  45641  limsup10ex  45694