Theorem climfv 46974

Description: The limit of a convergent sequence, expressed as the function value of the convergence relation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
climfv	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))

Proof of Theorem climfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climrel 15703	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → Rel ⇝ )
4		brrelex1 5711	. . . . 5 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
5	3, 1, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
6		brrelex2 5712	. . . . 5 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
7	3, 1, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
8		breldmg 5903	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
9	5, 7, 1, 8	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10		climdm 15765	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
11	9, 10	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
12		climuni 15763	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
13	1, 11, 12	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Rel wrel 5663  ‘cfv 6566   ⇝ cli 15695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699

This theorem is used by:  climfvd  46981