Theorem climfveqmpt2 44709

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqmpt2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqmpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
climfveqmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
climfveqmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climfveqmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climfveqmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climfveqmpt2	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfveqmpt2.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5257	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5257	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climfveqmpt2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	mptexd 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
7		climfveqmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7	mptexd 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
9		climfveqmpt2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		climfveqmpt2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12		climfveqmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
14	13	fvmpt2 7010	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15	11, 12, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
16		climfveqmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
17	16	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐵)
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
19	18	fvmpt2 7010	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
20	17, 12, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
21	15, 20	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
22	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 21	climfveqf 44696	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827   ⇝ cli 15433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437

This theorem is referenced by: (None)