Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt2 40815
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt2.k 𝑘𝜑
climfveqmpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt2.a (𝜑𝐴𝑉)
climfveqmpt2.c (𝜑𝐵𝑊)
climfveqmpt2.s (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt2.i (𝜑𝑍𝐵)
climfveqmpt2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt2
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt2.k . 2 𝑘𝜑
2 nfmpt1 4982 . 2 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
3 nfmpt1 4982 . 2 𝑘(𝑘𝐵𝐶)
4 climfveqmpt2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 climfveqmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
65mptexd 6759 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) ∈ V)
7 climfveqmpt2.c . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
87mptexd 6759 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) ∈ V)
9 climfveqmpt2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climfveqmpt2.s . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
1110sselda 3820 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
12 climfveqmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
13 eqid 2777 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
1413fvmpt2 6552 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑈) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1511, 12, 14syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
16 climfveqmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
1716sselda 3820 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐵)
18 eqid 2777 . . . . 5 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
1918fvmpt2 6552 . . . 4 ((𝑘𝐵𝐶𝑈) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2017, 12, 19syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2115, 20eqtr4d 2816 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
221, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 21climfveqf 40802 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐵𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601  Ⅎwnf 1827   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ⊆ wss 3791   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  ℤcz 11728  ℤ≥cuz 11992   ⇝ cli 14623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator