Theorem climfveqmpt2 46619

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqmpt2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqmpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
climfveqmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
climfveqmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climfveqmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climfveqmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climfveqmpt2	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfveqmpt2.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climfveqmpt2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	mptexd 7219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
7		climfveqmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7	mptexd 7219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
9		climfveqmpt2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		climfveqmpt2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12		climfveqmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
14	13	fvmpt2 6994	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15	11, 12, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
16		climfveqmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
17	16	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐵)
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
19	18	fvmpt2 6994	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
20	17, 12, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
21	15, 20	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
22	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 21	climfveqf 46606	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920   ⇝ cli 15604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608

This theorem is used by: (None)