MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspid 20821
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 31072 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspid.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspid ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20775 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
51, 2, 4lspval 20814 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
63, 5sylan2 592 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
7 intmin 4963 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
87adantl 481 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
96, 8eqtrd 2764 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   βŠ† wss 3941  βˆ© cint 4941  β€˜cfv 6534  Basecbs 17145  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  LSpanclspn 20810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811
This theorem is referenced by:  lspidm  20825  lspssp  20827  lspsn0  20847  lspsolvlem  20985  lbsextlem3  21003  islshpsm  38344  lshpnel2N  38349  lssats  38376  lkrlsp3  38468  dochspocN  40745  dochsatshp  40816  filnm  42346
  Copyright terms: Public domain W3C validator