Theorem lspid 21172

Description: The span of a subspace is itself. (spanid 31836 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21126	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 2, 4	lspval 21165	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	3, 5	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		intmin 4931	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} = 𝑈)
9	6, 8	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162

This theorem is used by:  lspidm  21176  lspssp  21178  lspsn0  21198  lspsolvlem  21335  lbsextlem3  21353  islshpsm  39861  lshpnel2N  39866  lssats  39893  lkrlsp3  39985  dochspocN  42261  dochsatshp  42332  filnm  43939