MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspid 20998
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 31376 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 20952 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
51, 2, 4lspval 20991 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
63, 5sylan2 593 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
7 intmin 4973 . . 3 (𝑈𝑆 {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
87adantl 481 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
96, 8eqtrd 2775 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963   cint 4951  cfv 6563  Basecbs 17245  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988
This theorem is referenced by:  lspidm  21002  lspssp  21004  lspsn0  21024  lspsolvlem  21162  lbsextlem3  21180  islshpsm  38962  lshpnel2N  38967  lssats  38994  lkrlsp3  39086  dochspocN  41363  dochsatshp  41434  filnm  43079
  Copyright terms: Public domain W3C validator