MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspid 19381
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 28782 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19333 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
51, 2, 4lspval 19374 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
63, 5sylan2 586 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
7 intmin 4732 . . 3 (𝑈𝑆 {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
87adantl 475 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
96, 8eqtrd 2814 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  wss 3792   cint 4712  cfv 6137  Basecbs 16259  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  LSpanclspn 19370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371
This theorem is referenced by:  lspidm  19385  lspssp  19387  lspsn0  19407  lspsolvlem  19542  lbsextlem3  19561  islshpsm  35139  lshpnel2N  35144  lssats  35171  lkrlsp3  35263  dochspocN  37539  dochsatshp  37610  filnm  38629
  Copyright terms: Public domain W3C validator