MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspid 20592
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 30595 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspid.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspid ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20546 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
51, 2, 4lspval 20585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
63, 5sylan2 593 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
7 intmin 4972 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
87adantl 482 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
96, 8eqtrd 2772 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582
This theorem is referenced by:  lspidm  20596  lspssp  20598  lspsn0  20618  lspsolvlem  20754  lbsextlem3  20772  islshpsm  37845  lshpnel2N  37850  lssats  37877  lkrlsp3  37969  dochspocN  40246  dochsatshp  40317  filnm  41822
  Copyright terms: Public domain W3C validator