MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspid 20859
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 31150 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspid.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspid ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20813 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
51, 2, 4lspval 20852 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
63, 5sylan2 592 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
7 intmin 4966 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
87adantl 481 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} = π‘ˆ)
96, 8eqtrd 2768 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428   βŠ† wss 3945  βˆ© cint 4944  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849
This theorem is referenced by:  lspidm  20863  lspssp  20865  lspsn0  20885  lspsolvlem  21023  lbsextlem3  21041  islshpsm  38446  lshpnel2N  38451  lssats  38478  lkrlsp3  38570  dochspocN  40847  dochsatshp  40918  filnm  42508
  Copyright terms: Public domain W3C validator