MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspid 19754
Description: The span of a subspace is itself. (spanid 29137 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspid.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lspid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lspid.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19708 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lspid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
51, 2, 4lspval 19747 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
63, 5sylan2 595 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
7 intmin 4882 . . 3 (𝑈𝑆 {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
87adantl 485 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} = 𝑈)
96, 8eqtrd 2859 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3137  wss 3919   cint 4862  cfv 6343  Basecbs 16483  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744
This theorem is referenced by:  lspidm  19758  lspssp  19760  lspsn0  19780  lspsolvlem  19914  lbsextlem3  19932  islshpsm  36225  lshpnel2N  36230  lssats  36257  lkrlsp3  36349  dochspocN  38625  dochsatshp  38696  filnm  39955
  Copyright terms: Public domain W3C validator