Theorem lkrlsp3 39962

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp3	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lkrlsp3.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	6, 9	lspid 21165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
11	2, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
12	11	uneq1d 4117	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
13	12	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14		lkrlsp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 4, 5, 2, 3	lkrssv 39954	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17	16	snssd 4750	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	14, 9	lspun 21170	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
19	2, 15, 17, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
20	14, 6, 9	lspsncl 21160	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	2, 16, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	6, 9, 22	lsmsp 21269	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
24	2, 8, 21, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
26	14, 9, 22, 4, 5	lkrlsp2 39961	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
27	25, 26	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  LSSumclsm 19760  LModclmod 21043  LSubSpclss 21114  LSpanclspn 21154  LVecclvec 21285  LFnlclfn 39915  LKerclk 39943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lfl 39916  df-lkr 39944

This theorem is used by:  lkrshp  39963