Theorem lkrlsp3 36804

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp3	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 36795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lkrlsp3.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	6, 9	lspid 19973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
11	2, 8, 10	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
12	11	uneq1d 4062	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
13	12	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14		lkrlsp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 4, 5, 2, 3	lkrssv 36796	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16		simp2l 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17	16	snssd 4708	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	14, 9	lspun 19978	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
19	2, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
20	14, 6, 9	lspsncl 19968	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	2, 16, 20	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	6, 9, 22	lsmsp 20077	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
24	2, 8, 21, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
26	14, 9, 22, 4, 5	lkrlsp2 36803	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
27	25, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3851   ⊆ wss 3853  {csn 4527  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  LSSumclsm 18977  LModclmod 19853  LSubSpclss 19922  LSpanclspn 19962  LVecclvec 20093  LFnlclfn 36757  LKerclk 36785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-subg 18494  df-cntz 18665  df-lsm 18979  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-drng 19723  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-lvec 20094  df-lfl 36758  df-lkr 36786

This theorem is referenced by:  lkrshp  36805