Theorem lkrlsp3 40352

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp3	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 40343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lkrlsp3.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	6, 9	lspid 21284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
11	2, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
12	11	uneq1d 4169	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
13	12	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14		lkrlsp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 4, 5, 2, 3	lkrssv 40344	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17	16	snssd 4747	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	14, 9	lspun 21289	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
19	2, 15, 17, 18	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
20	14, 6, 9	lspsncl 21279	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	2, 16, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	6, 9, 22	lsmsp 21388	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
24	2, 8, 21, 23	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
26	14, 9, 22, 4, 5	lkrlsp2 40351	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
27	25, 26	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  LSSumclsm 19875  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  LSpanclspn 21273  LVecclvec 21404  LFnlclfn 40305  LKerclk 40333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lvec 21405  df-lfl 40306  df-lkr 40334

This theorem is used by:  lkrshp  40353