Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp3 37880
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20694 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 37871 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
106, 9lspid 20570 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
112, 8, 10syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
1211uneq1d 4160 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
1312fveq2d 6885 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14 lkrlsp3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 37872 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
16 simp2l 1200 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
1716snssd 4808 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1814, 9lspun 20575 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
192, 15, 17, 18syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2014, 6, 9lspsncl 20565 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
212, 16, 20syl2anc 585 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 eqid 2733 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
236, 9, 22lsmsp 20674 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
242, 8, 21, 23syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2513, 19, 243eqtr4d 2783 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 37879 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2725, 26eqtrd 2773 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3944  wss 3946  {csn 4624  cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  LSSumclsm 19486  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  LSpanclspn 20559  LVecclvec 20690  LFnlclfn 37833  LKerclk 37861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-cntz 19166  df-lsm 19488  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-drng 20295  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-lvec 20691  df-lfl 37834  df-lkr 37862
This theorem is referenced by:  lkrshp  37881
  Copyright terms: Public domain W3C validator