Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp3 36120
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19807 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1192 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 36111 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
106, 9lspid 19683 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
1211uneq1d 4135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
1312fveq2d 6667 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14 lkrlsp3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 36112 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
16 simp2l 1191 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
1716snssd 4734 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1814, 9lspun 19688 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
192, 15, 17, 18syl3anc 1363 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2014, 6, 9lspsncl 19678 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
212, 16, 20syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 eqid 2818 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
236, 9, 22lsmsp 19787 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
242, 8, 21, 23syl3anc 1363 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2513, 19, 243eqtr4d 2863 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 36119 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2725, 26eqtrd 2853 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3931  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  LSSumclsm 18688  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lfl 36074  df-lkr 36102
This theorem is referenced by:  lkrshp  36121
  Copyright terms: Public domain W3C validator