Theorem lkrlsp3 39733

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp3	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lkrlsp3.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	6, 9	lspid 21051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
11	2, 8, 10	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
12	11	uneq1d 4122	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
13	12	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14		lkrlsp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 4, 5, 2, 3	lkrssv 39725	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16		simp2l 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17	16	snssd 4747	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	14, 9	lspun 21056	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
19	2, 15, 17, 18	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
20	14, 6, 9	lspsncl 21046	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	2, 16, 20	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	6, 9, 22	lsmsp 21155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
24	2, 8, 21, 23	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4d 2809	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
26	14, 9, 22, 4, 5	lkrlsp2 39732	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
27	25, 26	eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4584  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  LSSumclsm 19676  LModclmod 20929  LSubSpclss 21000  LSpanclspn 21040  LVecclvec 21171  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lfl 39687  df-lkr 39715

This theorem is referenced by:  lkrshp  39734