Theorem lkrlsp3 39550

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp3	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lkrlsp3.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	6, 9	lspid 20977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
11	2, 8, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘(𝐾‘𝐺)) = (𝐾‘𝐺))
12	11	uneq1d 4107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
13	12	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14		lkrlsp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15	14, 4, 5, 2, 3	lkrssv 39542	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16		simp2l 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
17	16	snssd 4730	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	14, 9	lspun 20982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
19	2, 15, 17, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾‘𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
20	14, 6, 9	lspsncl 20972	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	2, 16, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
23	6, 9, 22	lsmsp 21081	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
24	2, 8, 21, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
26	14, 9, 22, 4, 5	lkrlsp2 39549	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((𝐾‘𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
27	25, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝑁‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lfl 39504  df-lkr 39532

This theorem is referenced by:  lkrshp  39551