MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem3 20051
Description: Lemma for lbsext 20054. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a (𝜑𝐴𝑆)
lbsext.z (𝜑𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r (𝜑 → [] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3 (𝜑 𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
2 lbsext.s . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
32ssrab3 3971 . . . . 5 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
41, 3sstrdi 3889 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
5 sspwuni 4985 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
64, 5sylib 221 . . 3 (𝜑 𝐴𝑉)
7 lbsext.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
87fvexi 6688 . . . 4 𝑉 ∈ V
98elpw2 5213 . . 3 ( 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
106, 9sylibr 237 . 2 (𝜑 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11 ssintub 4854 . . . . 5 𝐶 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
12 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑧)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑧))
1413ss2rabi 3966 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
152, 14eqsstri 3911 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
161, 15sstrdi 3889 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧})
17 intss 4857 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} → {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} ⊆ 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} ⊆ 𝐴)
1911, 18sstrid 3888 . . . 4 (𝜑𝐶 𝐴)
20 lbsext.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21 intssuni 4858 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐴 𝐴)
2319, 22sstrd 3887 . . 3 (𝜑𝐶 𝐴)
24 eluni2 4800 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
25 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
26 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
27 lveclmod 19997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3025, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴𝑆)
31 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → [] Or 𝐴)
3225, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [] Or 𝐴)
33 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦𝐴)
34 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢𝐴)
35 sorpssun 7474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [] Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑢𝐴)) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐴)
3632, 33, 34, 35syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐴)
3730, 36sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝑆)
383, 37sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
3938elpwid 4499 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ⊆ 𝑉)
4039ssdifssd 4033 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
41 ssun2 4063 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ⊆ (𝑦𝑢)
42 ssdif 4030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ⊆ (𝑦𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
44 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
457, 44lspss 19875 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
4629, 40, 43, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
47 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
4846, 47sseldd 3878 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
49 sseq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝐶𝑧𝐶 ⊆ (𝑦𝑢)))
50 difeq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
5150fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
5251eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5352notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5453raleqbi1dv 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5549, 54anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑢) → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))))
5655, 2elrab2 3591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))))
5756simprbi 500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5857simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
5937, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
60 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥𝑦)
61 elun1 4066 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦𝑢))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝑢))
63 rsp 3118 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
6459, 62, 63sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
6548, 64pm2.65da 817 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
6665nrexdv 3180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → ¬ ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
67 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
68 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶𝑉)
69 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
70 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
71 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
727, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71lbsextlem2 20050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
7372simpld 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇𝑃)
747, 70lssss 19827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑃𝑇𝑉)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇𝑉)
7672simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
777, 44lspss 19875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁𝑇))
7828, 75, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁𝑇))
7970, 44lspid 19873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑃) → (𝑁𝑇) = 𝑇)
8028, 73, 79syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑇) = 𝑇)
8178, 80sseqtrd 3917 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
82813ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
8382, 71sseqtrdi 3927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
8483sseld 3876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
85 eliun 4885 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
8684, 85syl6ib 254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
8766, 86mtod 201 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
8887rexlimdv3a 3196 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
8924, 88syl5bi 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9089ralrimiv 3095 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
9123, 90jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
92 sseq2 3903 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐶𝑧𝐶 𝐴))
93 difeq1 4006 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ( 𝐴 ∖ {𝑥}))
9493fveq2d 6678 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
9594eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9695notbid 321 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9796raleqbi1dv 3308 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9892, 97anbi12d 634 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))))
9998, 2elrab2 3591 . 2 ( 𝐴𝑆 ↔ ( 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))))
10010, 91, 99sylanbrc 586 1 (𝜑 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  cdif 3840  cun 3841  wss 3843  c0 4211  𝒫 cpw 4488  {csn 4516   cuni 4796   cint 4836   ciun 4881   Or wor 5441  cfv 6339   [] crpss 7466  Basecbs 16586  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  LBasisclbs 19965  LVecclvec 19993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-rpss 7467  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  20052
  Copyright terms: Public domain W3C validator