Theorem lbsextlem3 21156

Description: Lemma for lbsext 21159. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
lbsext.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r	⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		lbsext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3	2	ssrab3 4023	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4	1, 3	sstrdi 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
5		sspwuni 5043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
7		lbsext.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7	fvexi 6852	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	8	elpw2 5274	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
10	6, 9	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11		ssintub 4909	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
12		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧))
14	13	ss2rabi 4017	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
15	2, 14	eqsstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
16	1, 15	sstrdi 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧})
17		intss 4912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
19	11, 18	sstrid 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∩ 𝐴)
20		lbsext.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		intssuni 4913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
23	19, 22	sstrd 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
24		eluni2 4855	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
25		simpll1 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
26		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
27		lveclmod 21099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
30	25, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
31		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
32	25, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [⊊] Or 𝐴)
33		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
34		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
35		sorpssun 7681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
37	30, 36	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆)
38	3, 37	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
39	38	elpwid 4551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ⊆ 𝑉)
40	39	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
41		ssun2 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)
42		ssdif 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
44		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
45	7, 44	lspss 20976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
46	29, 40, 43, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
48	46, 47	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
49		sseq2 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)))
50		difeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
51	50	fveq2d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
52	51	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
53	52	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
54	53	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
55	49, 54	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
56	55, 2	elrab2 3638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
57	56	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
58	57	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
59	37, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
60		simpll3 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝑦)
61		elun1 4123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
63		rsp 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
64	59, 62, 63	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
65	48, 64	pm2.65da 817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
66	65	nrexdv 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
67		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
68		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
69		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
70		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
71		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
72	7, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71	lbsextlem2 21155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
73	72	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
74	7, 70	lssss 20928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
76	72	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
77	7, 44	lspss 20976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
78	28, 75, 76, 77	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
79	70, 44	lspid 20974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
80	28, 73, 79	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	sseqtrd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
82	81	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
83	82, 71	sseqtrdi 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
84	83	sseld 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
85		eliun 4938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
86	84, 85	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
87	66, 86	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
88	87	rexlimdv3a 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
89	24, 88	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
90	89	ralrimiv 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
91	23, 90	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
92		sseq2 3949	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴))
93		difeq1 4060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))
94	93	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
95	94	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
96	95	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
97	96	raleqbi1dv 3306	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
98	92, 97	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
99	98, 2	elrab2 3638	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
100	10, 91, 99	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  ∪ ciun 4934   Or wor 5535  ‘cfv 6496   [⊊] crpss 7673  Basecbs 17176  LModclmod 20852  LSubSpclss 20923  LSpanclspn 20963  LBasisclbs 21067  LVecclvec 21095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-rpss 7674  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-mgp 20119  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-lsp 20964  df-lvec 21096

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  21157