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Theorem lbsextlem3 20666
Description: Lemma for lbsext 20669. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbsext.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsext.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsext.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lbsext.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
lbsext.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lbsext.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
lbsext.z (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
lbsext.r (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑒,πœ‘   𝑒,𝑆,π‘₯   π‘₯,𝑧,𝐢   𝑧,𝑒,𝑁,π‘₯   𝑒,𝑉,π‘₯,𝑧   𝑒,π‘Š,π‘₯   𝑒,𝐴,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐢(𝑒)   𝑃(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝑆(𝑧)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝐽(𝑧,𝑒)   π‘Š(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2 lbsext.s . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
32ssrab3 4044 . . . . 5 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑉
41, 3sstrdi 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉)
5 sspwuni 5064 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
64, 5sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
7 lbsext.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
87fvexi 6860 . . . 4 𝑉 ∈ V
98elpw2 5306 . . 3 (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
106, 9sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11 ssintub 4931 . . . . 5 𝐢 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
12 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑧)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑧))
1413ss2rabi 4038 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
152, 14eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
161, 15sstrdi 3960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧})
17 intss 4934 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} β†’ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} βŠ† ∩ 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} βŠ† ∩ 𝐴)
1911, 18sstrid 3959 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† ∩ 𝐴)
20 lbsext.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
21 intssuni 4935 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐴)
2319, 22sstrd 3958 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴)
24 eluni2 4873 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝑦)
25 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ πœ‘)
26 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
27 lveclmod 20611 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3025, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
31 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
3225, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ [⊊] Or 𝐴)
33 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
35 sorpssun 7671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐴)
3632, 33, 34, 35syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐴)
3730, 36sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆)
383, 37sselid 3946 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝒫 𝑉)
3938elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) βŠ† 𝑉)
4039ssdifssd 4106 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
41 ssun2 4137 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒)
42 ssdif 4103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
44 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
457, 44lspss 20489 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
4629, 40, 43, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
47 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
4846, 47sseldd 3949 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
49 sseq2 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒)))
50 difeq1 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
5150fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
5251eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5352notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5453raleqbi1dv 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5549, 54anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))))
5655, 2elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))))
5756simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 β†’ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5857simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
5937, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
60 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
61 elun1 4140 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒))
63 rsp 3229 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
6459, 62, 63sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
6548, 64pm2.65da 816 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
6665nrexdv 3143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
67 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
68 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
69 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
70 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
727, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71lbsextlem2 20665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇))
7372simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
747, 70lssss 20441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
7672simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇)
777, 44lspss 20489 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
7828, 75, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
7970, 44lspid 20487 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = 𝑇)
8028, 73, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‡) = 𝑇)
8178, 80sseqtrd 3988 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑇)
82813ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑇)
8382, 71sseqtrdi 3998 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
8483sseld 3947 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
85 eliun 4962 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
8684, 85syl6ib 251 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
8766, 86mtod 197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
8887rexlimdv3a 3153 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
8924, 88biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9089ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
9123, 90jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
92 sseq2 3974 . . . 4 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴))
93 difeq1 4079 . . . . . . . 8 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))
9493fveq2d 6850 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
9594eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9695notbid 318 . . . . 5 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9796raleqbi1dv 3306 . . . 4 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9892, 97anbi12d 632 . . 3 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
9998, 2elrab2 3652 . 2 (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
10010, 91, 99sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911  βˆͺ ciun 4958   Or wor 5548  β€˜cfv 6500   [⊊] crpss 7663  Basecbs 17091  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LBasisclbs 20579  LVecclvec 20607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608
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