Theorem lbsextlem3 21438

Description: Lemma for lbsext 21441. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
lbsext.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r	⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥, 𝑧, 𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑢)   𝐽(𝑧, 𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		lbsext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3	2	ssrab3 4007	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4	1, 3	sstrdi 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
5		sspwuni 5059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
7		lbsext.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	8	elpw2 5295	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
10	6, 9	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11		ssintub 4925	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
12		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧))
14	13	ss2rabi 4001	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
15	2, 14	eqsstri 3954	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
16	1, 15	sstrdi 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧})
17		intss 4928	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
19	11, 18	sstrid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∩ 𝐴)
20		lbsext.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		intssuni 4929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
23	19, 22	sstrd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
24		eluni2 4870	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
25		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
26		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
27		lveclmod 21381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
29	25, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
30	25, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
31		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
32	25, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [⊊] Or 𝐴)
33		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
34		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
35		sorpssun 7746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
37	30, 36	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆)
38	3, 37	sselid 3906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
39	38	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ⊆ 𝑉)
40	39	ssdifssd 4083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
41		ssun2 4177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)
42		ssdif 4080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
43	41, 42	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
44		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
45	7, 44	lspss 21259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
46	29, 40, 43, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
47		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
48	46, 47	sseldd 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
49		sseq2 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)))
50		difeq1 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
51	50	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
52	51	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
53	52	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
54	53	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
55	49, 54	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
56	55, 2	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
57	56	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
58	57	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
59	37, 58	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
60		simpll3 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝑦)
61		elun1 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
63		rsp 3250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
64	59, 62, 63	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
65	48, 64	pm2.65da 829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
66	65	nrexdv 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
67		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
68		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
69		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
70		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
71		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
72	7, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71	lbsextlem2 21437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
73	72	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
74	7, 70	lssss 21211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
76	72	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
77	7, 44	lspss 21259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
78	28, 75, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
79	70, 44	lspid 21257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
80	28, 73, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	sseqtrd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
82	81	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
83	82, 71	sseqtrdi 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
84	83	sseld 3907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
85		eliun 4954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
86	84, 85	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
87	66, 86	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
88	87	rexlimdv3a 3167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
89	24, 88	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
90	89	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
91	23, 90	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
92		sseq2 3934	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴))
93		difeq1 4056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))
94	93	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
95	94	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
96	95	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
97	96	raleqbi1dv 3329	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
98	92, 97	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
99	98, 2	elrab2 3648	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
100	10, 91, 99	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906  ∪ ciun 4950   Or wor 5557  ‘cfv 6538   [⊊] crpss 7738  Basecbs 17387  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  LSpanclspn 21246  LBasisclbs 21349  LVecclvec 21377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378

This theorem is used by:  lbsextlem4  21439