MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem3 19433
Description: Lemma for lbsext 19436. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a (𝜑𝐴𝑆)
lbsext.z (𝜑𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r (𝜑 → [] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3 (𝜑 𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
2 lbsext.s . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3 ssrab2 3846 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ 𝒫 𝑉
42, 3eqsstri 3794 . . . . 5 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
51, 4syl6ss 3772 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
6 sspwuni 4767 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
75, 6sylib 209 . . 3 (𝜑 𝐴𝑉)
8 lbsext.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
98fvexi 6388 . . . 4 𝑉 ∈ V
109elpw2 4985 . . 3 ( 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
117, 10sylibr 225 . 2 (𝜑 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
12 ssintub 4650 . . . . 5 𝐶 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
13 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑧))
1514ss2rabi 3843 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
162, 15eqsstri 3794 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧}
171, 16syl6ss 3772 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧})
18 intss 4653 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} → {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} ⊆ 𝐴)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉𝐶𝑧} ⊆ 𝐴)
2012, 19syl5ss 3771 . . . 4 (𝜑𝐶 𝐴)
21 lbsext.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
22 intssuni 4654 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐴 𝐴)
2420, 23sstrd 3770 . . 3 (𝜑𝐶 𝐴)
25 eluni2 4597 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
26 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
27 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
28 lveclmod 19377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3126, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴𝑆)
32 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → [] Or 𝐴)
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [] Or 𝐴)
34 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦𝐴)
35 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢𝐴)
36 sorpssun 7141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [] Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑢𝐴)) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐴)
3733, 34, 35, 36syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐴)
3831, 37sseldd 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝑆)
394, 38sseldi 3758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
4039elpwid 4326 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑢) ⊆ 𝑉)
4140ssdifssd 3909 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
42 ssun2 3938 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ⊆ (𝑦𝑢)
43 ssdif 3906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ⊆ (𝑦𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
45 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
468, 45lspss 19255 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
4730, 41, 44, 46syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
48 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
4947, 48sseldd 3761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
50 sseq2 3786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝐶𝑧𝐶 ⊆ (𝑦𝑢)))
51 difeq1 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))
5251fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
5352eleq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5453notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5554raleqbi1dv 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦𝑢) → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5650, 55anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦𝑢) → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))))
5756, 2elrab2 3522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))))
5857simprbi 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
5958simprd 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
6038, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
61 simpll3 1273 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥𝑦)
62 elun1 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦𝑢))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝑢))
64 rsp 3075 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑦𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥}))))
6560, 63, 64sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦𝑢) ∖ {𝑥})))
6649, 65pm2.65da 851 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
6766nrexdv 3146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → ¬ ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
68 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
69 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶𝑉)
70 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
71 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
72 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
738, 68, 45, 27, 69, 70, 2, 71, 1, 21, 32, 72lbsextlem2 19432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
7473simpld 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇𝑃)
758, 71lssss 19205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑃𝑇𝑉)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇𝑉)
7773simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
788, 45lspss 19255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁𝑇))
7929, 76, 77, 78syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁𝑇))
8071, 45lspid 19253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑃) → (𝑁𝑇) = 𝑇)
8129, 74, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑇) = 𝑇)
8279, 81sseqtrd 3800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
83823ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
8483, 72syl6sseq 3810 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
8584sseld 3759 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
86 eliun 4679 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
8785, 86syl6ib 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
8867, 87mtod 189 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴𝑥𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
8988rexlimdv3a 3179 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9025, 89syl5bi 233 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9190ralrimiv 3111 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
9224, 91jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
93 sseq2 3786 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐶𝑧𝐶 𝐴))
94 difeq1 3882 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ( 𝐴 ∖ {𝑥}))
9594fveq2d 6378 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))
9695eleq2d 2829 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9796notbid 309 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9897raleqbi1dv 3293 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥}))))
9993, 98anbi12d 624 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))))
10099, 2elrab2 3522 . 2 ( 𝐴𝑆 ↔ ( 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 𝐴 ∧ ∀𝑥 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘( 𝐴 ∖ {𝑥})))))
10111, 92, 100sylanbrc 578 1 (𝜑 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  cdif 3728  cun 3729  wss 3731  c0 4078  𝒫 cpw 4314  {csn 4333   cuni 4593   cint 4632   ciun 4675   Or wor 5196  cfv 6067   [] crpss 7133  Basecbs 16131  LModclmod 19131  LSubSpclss 19200  LSpanclspn 19242  LBasisclbs 19345  LVecclvec 19373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-rpss 7134  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-plusg 16228  df-0g 16369  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-lsp 19243  df-lvec 19374
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  19434
  Copyright terms: Public domain W3C validator