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Theorem lbsextlem3 21008
Description: Lemma for lbsext 21011. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbsext.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsext.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsext.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lbsext.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
lbsext.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lbsext.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
lbsext.z (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
lbsext.r (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑒,πœ‘   𝑒,𝑆,π‘₯   π‘₯,𝑧,𝐢   𝑧,𝑒,𝑁,π‘₯   𝑒,𝑉,π‘₯,𝑧   𝑒,π‘Š,π‘₯   𝑒,𝐴,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐢(𝑒)   𝑃(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝑆(𝑧)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝐽(𝑧,𝑒)   π‘Š(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2 lbsext.s . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
32ssrab3 4075 . . . . 5 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑉
41, 3sstrdi 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉)
5 sspwuni 5096 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
64, 5sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
7 lbsext.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
87fvexi 6898 . . . 4 𝑉 ∈ V
98elpw2 5338 . . 3 (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
106, 9sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11 ssintub 4963 . . . . 5 𝐢 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
12 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑧)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑧))
1413ss2rabi 4069 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
152, 14eqsstri 4011 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧}
161, 15sstrdi 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧})
17 intss 4966 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} β†’ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} βŠ† ∩ 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐢 βŠ† 𝑧} βŠ† ∩ 𝐴)
1911, 18sstrid 3988 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† ∩ 𝐴)
20 lbsext.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
21 intssuni 4967 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐴)
2319, 22sstrd 3987 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴)
24 eluni2 4906 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝑦)
25 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ πœ‘)
26 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
27 lveclmod 20951 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3025, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
31 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
3225, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ [⊊] Or 𝐴)
33 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
34 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
35 sorpssun 7716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐴)
3632, 33, 34, 35syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐴)
3730, 36sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆)
383, 37sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝒫 𝑉)
3938elpwid 4606 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑒) βŠ† 𝑉)
4039ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
41 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒)
42 ssdif 4134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
44 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
457, 44lspss 20828 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
4629, 40, 43, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
47 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
4846, 47sseldd 3978 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
49 sseq2 4003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒)))
50 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = ((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))
5150fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5352notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5453raleqbi1dv 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5549, 54anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))))
5655, 2elrab2 3681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))))
5756simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 β†’ (𝐢 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝑒) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
5857simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
5937, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
60 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
61 elun1 4171 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒))
63 rsp 3238 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦 βˆͺ 𝑒) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯}))))
6459, 62, 63sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑦 βˆͺ 𝑒) βˆ– {π‘₯})))
6548, 64pm2.65da 814 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
6665nrexdv 3143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
67 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
68 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
69 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
70 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
727, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71lbsextlem2 21007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇))
7372simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
747, 70lssss 20780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
7672simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇)
777, 44lspss 20828 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
7828, 75, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
7970, 44lspid 20826 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = 𝑇)
8028, 73, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‡) = 𝑇)
8178, 80sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑇)
82813ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑇)
8382, 71sseqtrdi 4027 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
8483sseld 3976 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
85 eliun 4994 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
8684, 85imbitrdi 250 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
8766, 86mtod 197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
8887rexlimdv3a 3153 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
8924, 88biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9089ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
9123, 90jca 511 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
92 sseq2 4003 . . . 4 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴))
93 difeq1 4110 . . . . . . . 8 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))
9493fveq2d 6888 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))
9594eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9695notbid 318 . . . . 5 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9796raleqbi1dv 3327 . . . 4 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
9892, 97anbi12d 630 . . 3 (𝑧 = βˆͺ 𝐴 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
9998, 2elrab2 3681 . 2 (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
10010, 91, 99sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  βˆ© cint 4943  βˆͺ ciun 4990   Or wor 5580  β€˜cfv 6536   [⊊] crpss 7708  Basecbs 17150  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LBasisclbs 20919  LVecclvec 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  21009
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