Theorem lbsextlem3 21121

Description: Lemma for lbsext 21124. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
lbsext.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r	⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		lbsext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3	2	ssrab3 4057	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4	1, 3	sstrdi 3971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
5		sspwuni 5076	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
7		lbsext.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	8	elpw2 5304	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
10	6, 9	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
11		ssintub 4942	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
12		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧))
14	13	ss2rabi 4052	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
15	2, 14	eqsstri 4005	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
16	1, 15	sstrdi 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧})
17		intss 4945	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
19	11, 18	sstrid 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∩ 𝐴)
20		lbsext.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		intssuni 4946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
23	19, 22	sstrd 3969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
24		eluni2 4887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
25		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
26		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
27		lveclmod 21064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
30	25, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
31		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
32	25, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [⊊] Or 𝐴)
33		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
34		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
35		sorpssun 7724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
37	30, 36	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆)
38	3, 37	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
39	38	elpwid 4584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ⊆ 𝑉)
40	39	ssdifssd 4122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
41		ssun2 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)
42		ssdif 4119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
44		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
45	7, 44	lspss 20941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
46	29, 40, 43, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
48	46, 47	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
49		sseq2 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)))
50		difeq1 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
51	50	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
52	51	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
53	52	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
54	53	raleqbi1dv 3317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
55	49, 54	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
56	55, 2	elrab2 3674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
57	56	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
58	57	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
59	37, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
60		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝑦)
61		elun1 4157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
63		rsp 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
64	59, 62, 63	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
65	48, 64	pm2.65da 816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
66	65	nrexdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
67		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
68		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
69		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
70		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
71		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
72	7, 67, 44, 26, 68, 69, 2, 70, 1, 20, 31, 71	lbsextlem2 21120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
73	72	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
74	7, 70	lssss 20893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
76	72	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
77	7, 44	lspss 20941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
78	28, 75, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
79	70, 44	lspid 20939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
80	28, 73, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	sseqtrd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
82	81	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
83	82, 71	sseqtrdi 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
84	83	sseld 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
85		eliun 4971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
86	84, 85	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
87	66, 86	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
88	87	rexlimdv3a 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
89	24, 88	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
90	89	ralrimiv 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
91	23, 90	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
92		sseq2 3985	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴))
93		difeq1 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))
94	93	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
95	94	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
96	95	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
97	96	raleqbi1dv 3317	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
98	92, 97	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
99	98, 2	elrab2 3674	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
100	10, 91, 99	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601  ∪ cuni 4883  ∩ cint 4922  ∪ ciun 4967   Or wor 5560  ‘cfv 6531   [⊊] crpss 7716  Basecbs 17228  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LBasisclbs 21032  LVecclvec 21060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  21122