Theorem lshpnel2N 40118

Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lshpnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
lshpnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel2N	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
3		lshpnel2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lshpnel2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lshpnel2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnel2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnel2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpnel2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	3, 4, 5, 6, 8, 9, 11	lshpnelb 40117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
13	2, 12	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14		lshpnel2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
16		lshpnel2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
18	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	7, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21		lshpnel2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 4	lspid 21258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
23	20, 14, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
24	23	uneq1d 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
26	3, 21	lssss 21212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
27	14, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
28	10	snssd 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
29	3, 4	lspun 21263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
30	20, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
31	3, 21, 4	lspsncl 21253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
32	20, 10, 31	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
33	21, 4, 5	lsmsp 21362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
34	20, 14, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
35	25, 30, 34	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
36	35	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
37	36	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38		sneq 4593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
39	38	uneq2d 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
40	39	fveqeq2d 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
41	40	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
42	18, 37, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
43	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
44	3, 4, 21, 6	islshp 40112	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
46	15, 17, 42, 45	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
47	13, 46	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  LSSumclsm 19849  LModclmod 21136  LSubSpclss 21207  LSpanclspn 21247  LVecclvec 21378  LSHypclsh 40108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lvec 21379  df-lshyp 40110

This theorem is used by: (None)