Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 36159
 Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u (𝜑𝑈𝑆)
lshpnel2.t (𝜑𝑈𝑉)
lshpnel2.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel2.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → ¬ 𝑋𝑈)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lshpnel2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
87adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑈𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑋𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 36158 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 235 . 2 ((𝜑𝑈𝐻) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1716adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
1810adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
19 lveclmod 19853 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2221, 4lspid 19729 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2320, 14, 22syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2423uneq1d 4114 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
2524fveq2d 6647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
263, 21lssss 19683 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
2810snssd 4715 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
293, 4lspun 19734 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 19724 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 19833 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2867 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
3635eqeq1d 2823 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4550 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4115 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6651 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3600 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 36153 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1339 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
4713, 46impbida 800 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  LSSumclsm 18737  LModclmod 19609  LSubSpclss 19678  LSpanclspn 19718  LVecclvec 19849  LSHypclsh 36149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-lshyp 36151 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator