Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 38967
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u (𝜑𝑈𝑆)
lshpnel2.t (𝜑𝑈𝑉)
lshpnel2.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel2.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → ¬ 𝑋𝑈)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lshpnel2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑈𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑋𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 38966 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 232 . 2 ((𝜑𝑈𝐻) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
1810adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
19 lveclmod 21123 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2221, 4lspid 20998 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2320, 14, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2423uneq1d 4177 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
2524fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
263, 21lssss 20952 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
2810snssd 4814 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
293, 4lspun 21003 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 20993 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 21103 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
3635eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4641 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4178 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6915 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3622 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 38961 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1341 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
4713, 46impbida 801 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSHypclsh 38957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator