Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnel2N 37843
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnel2.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnel2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpnel2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lshpnel2.t (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
lshpnel2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
21adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lshpnel2.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
87adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 37842 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1514adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1716adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1810adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lveclmod 20709 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2221, 4lspid 20585 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2320, 14, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2423uneq1d 4161 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})))
2524fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
263, 21lssss 20539 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2810snssd 4811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
293, 4lspun 20590 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 20580 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 20689 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})))
3635eqeq1d 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 477 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4637 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4162 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (π‘ˆ βˆͺ {𝑣}) = (π‘ˆ βˆͺ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6896 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3612 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 37837 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1342 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
4713, 46impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSHypclsh 37833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator