Theorem lshpnel2N 36926

Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lshpnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
lshpnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel2N	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
3		lshpnel2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lshpnel2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lshpnel2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnel2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnel2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpnel2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	3, 4, 5, 6, 8, 9, 11	lshpnelb 36925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
13	2, 12	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14		lshpnel2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
16		lshpnel2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
18	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 20283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21		lshpnel2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 4	lspid 20159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
23	20, 14, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
24	23	uneq1d 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
26	3, 21	lssss 20113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
28	10	snssd 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
29	3, 4	lspun 20164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
30	20, 27, 28, 29	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
31	3, 21, 4	lspsncl 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
32	20, 10, 31	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
33	21, 4, 5	lsmsp 20263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
34	20, 14, 32, 33	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
35	25, 30, 34	3eqtr4rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
36	35	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
37	36	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38		sneq 4568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
39	38	uneq2d 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
40	39	fveqeq2d 6764	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
41	40	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
42	18, 37, 41	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
43	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
44	3, 4, 21, 6	islshp 36920	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
46	15, 17, 42, 45	mpbir3and 1340	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
47	13, 46	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSHypclsh 36916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lshyp 36918

This theorem is referenced by: (None)