Theorem lshpnel2N 38971

Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lshpnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
lshpnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel2N	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
3		lshpnel2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lshpnel2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lshpnel2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnel2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnel2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpnel2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	3, 4, 5, 6, 8, 9, 11	lshpnelb 38970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
13	2, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14		lshpnel2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
16		lshpnel2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
18	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21		lshpnel2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 4	lspid 20920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
23	20, 14, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
24	23	uneq1d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
26	3, 21	lssss 20874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
28	10	snssd 4769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
29	3, 4	lspun 20925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
30	20, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
31	3, 21, 4	lspsncl 20915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
32	20, 10, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
33	21, 4, 5	lsmsp 21025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
34	20, 14, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
35	25, 30, 34	3eqtr4rd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
36	35	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
37	36	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38		sneq 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
39	38	uneq2d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
40	39	fveqeq2d 6848	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
41	40	rspcev 3585	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
42	18, 37, 41	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
43	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
44	3, 4, 21, 6	islshp 38965	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
46	15, 17, 42, 45	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
47	13, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  LSSumclsm 19548  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  LVecclvec 21041  LSHypclsh 38961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lshyp 38963

This theorem is referenced by: (None)