Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 37438
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u (𝜑𝑈𝑆)
lshpnel2.t (𝜑𝑈𝑉)
lshpnel2.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel2.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → ¬ 𝑋𝑈)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lshpnel2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑈𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑋𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 37437 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 231 . 2 ((𝜑𝑈𝐻) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
1810adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
19 lveclmod 20565 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2221, 4lspid 20441 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2320, 14, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2423uneq1d 4122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
2524fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
263, 21lssss 20395 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
2810snssd 4769 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
293, 4lspun 20446 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 20436 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 20545 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
3635eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4596 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4123 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6850 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3581 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 37432 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1342 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
4713, 46impbida 799 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cun 3908  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  LSSumclsm 19414  LModclmod 20320  LSubSpclss 20390  LSpanclspn 20430  LVecclvec 20561  LSHypclsh 37428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-cntz 19095  df-lsm 19416  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-lvec 20562  df-lshyp 37430
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator