Theorem lshpnel2N 38941

Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lshpnel2.t	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
lshpnel2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel2N	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
3		lshpnel2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lshpnel2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lshpnel2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnel2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnel2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpnel2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	3, 4, 5, 6, 8, 9, 11	lshpnelb 38940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
13	2, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14		lshpnel2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
16		lshpnel2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
18	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21		lshpnel2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
22	21, 4	lspid 21003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
23	20, 14, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
24	23	uneq1d 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
26	3, 21	lssss 20957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
28	10	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
29	3, 4	lspun 21008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
30	20, 27, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
31	3, 21, 4	lspsncl 20998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
32	20, 10, 31	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
33	21, 4, 5	lsmsp 21108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
34	20, 14, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
35	25, 30, 34	3eqtr4rd 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
36	35	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
37	36	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
39	38	uneq2d 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
40	39	fveqeq2d 6928	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
41	40	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
42	18, 37, 41	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
43	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
44	3, 4, 21, 6	islshp 38935	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
46	15, 17, 42, 45	mpbir3and 1342	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
47	13, 46	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  LSSumclsm 19676  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LSHypclsh 38931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lshyp 38933

This theorem is referenced by: (None)