Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnel2N 38368
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnel2.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnel2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpnel2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lshpnel2.t (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
lshpnel2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lshpnel2.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
87adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 38367 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1810adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lveclmod 20954 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2221, 4lspid 20829 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2320, 14, 22syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2423uneq1d 4157 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})))
2524fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
263, 21lssss 20783 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2810snssd 4807 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
293, 4lspun 20834 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 20824 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 20934 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})))
3635eqeq1d 2728 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4633 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4158 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (π‘ˆ βˆͺ {𝑣}) = (π‘ˆ βˆͺ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6893 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3606 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 38362 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1339 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
4713, 46impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSHypclsh 38358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator