Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 38513
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnel2.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnel2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpnel2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lshpnel2.t (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
lshpnel2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel2.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
21adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 lshpnel2.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
87adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 38512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1514adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1716adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
1810adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lveclmod 20995 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2221, 4lspid 20870 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2320, 14, 22syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
2423uneq1d 4155 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋})))
2524fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
263, 21lssss 20824 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2810snssd 4808 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
293, 4lspun 20875 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 20865 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 20975 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})))
3635eqeq1d 2727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 475 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4634 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 4156 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (π‘ˆ βˆͺ {𝑣}) = (π‘ˆ βˆͺ {𝑋}))
4039fveqeq2d 6900 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉))
4140rspcev 3601 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
4218, 37, 41syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
437adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
443, 4, 21, 6islshp 38507 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4615, 17, 42, 45mpbir3and 1339 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
4713, 46impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆͺ cun 3937   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LSHypclsh 38503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lshyp 38505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator