Theorem lspsn0 21062

Description: Span of the singleton of the zero vector. (spansn0 31700 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })

Proof of Theorem lspsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsssn0 21002	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
4		lspsn0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 4	lspid 21036	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
6	3, 5	mpdan 697	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4579  ‘cfv 6515  0_gc0g 17458  LModclmod 20914  LSubSpclss 20985  LSpanclspn 21025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026

This theorem is referenced by:  lspun0  21065  lspsneq0  21066  lsppr0  21146  lspdisj2  21184  lspprat  21210  rsp0  21295  lsatspn0  39584  islshpat  39601  dihlsprn  41915  dihatexv  41922  dihjat1  42013  dvh2dim  42029  mapdval2N  42214  mapdspex  42252  mapdn0  42253  mapdindp1  42304  hdmap10  42424