Theorem filnm 43114

Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
filnm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
filnm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
2		filnm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
8		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
9		ssfi 9187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝑎 ∈ Fin)
10	8, 5, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ Fin)
11	7, 10	elind 4175	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
13	3, 12	lspid 20939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
15	14	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
16		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
17	16	rspceeqv 3624	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
18	11, 15, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
19	18	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
20	2, 3, 12	islnm2 43102	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)))
21	1, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  Basecbs 17228  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LNoeMclnm 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lfig 43092  df-lnm 43100

This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  43115