Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filnm 39823
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
filnm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
2 filnm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2820 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssss 19680 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑎𝐵)
54adantl 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎𝐵)
6 velpw 4516 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
75, 6sylibr 236 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
8 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
9 ssfi 8712 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ Fin)
108, 5, 9syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ Fin)
117, 10elind 4145 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
12 eqid 2820 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
133, 12lspid 19726 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
1413adantlr 713 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
1514eqcomd 2826 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
16 fveq2 6642 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
1716rspceeqv 3614 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
1811, 15, 17syl2anc 586 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
1918ralrimiva 3169 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
202, 3, 12islnm2 39811 . 2 (𝑊 ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)))
211, 19, 20sylanbrc 585 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  cin 3908  wss 3909  𝒫 cpw 4511  cfv 6327  Fincfn 8483  Basecbs 16458  LModclmod 19606  LSubSpclss 19675  LSpanclspn 19715  LNoeMclnm 39808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-subg 18251  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-lfig 39801  df-lnm 39809
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  39824
  Copyright terms: Public domain W3C validator