Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filnm 42382
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
filnm ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ π‘Š ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 filnm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2724 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssss 20779 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
54adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
6 velpw 4600 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ↔ π‘Ž βŠ† 𝐡)
75, 6sylibr 233 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
8 simplr 766 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
9 ssfi 9170 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ Fin ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
108, 5, 9syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
117, 10elind 4187 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Ž ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin))
12 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
133, 12lspid 20825 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
1413adantlr 712 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
1514eqcomd 2730 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž))
16 fveq2 6882 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž))
1716rspceeqv 3626 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))
1811, 15, 17syl2anc 583 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))
1918ralrimiva 3138 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))
202, 3, 12islnm2 42370 . 2 (π‘Š ∈ LNoeM ↔ (π‘Š ∈ LMod ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘Ž = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))
211, 19, 20sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ π‘Š ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  β€˜cfv 6534  Fincfn 8936  Basecbs 17149  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LNoeMclnm 42367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lfig 42360  df-lnm 42368
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  42383
  Copyright terms: Public domain W3C validator