Theorem filnm 40915

Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
filnm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
filnm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
2		filnm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4538	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
8		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
9		ssfi 8956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝑎 ∈ Fin)
10	8, 5, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ Fin)
11	7, 10	elind 4128	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
13	3, 12	lspid 20244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
14	13	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
15	14	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
16		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
17	16	rspceeqv 3575	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
18	11, 15, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
19	18	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
20	2, 3, 12	islnm2 40903	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)))
21	1, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  Basecbs 16912  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LNoeMclnm 40900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lfig 40893  df-lnm 40901

This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  40916