Theorem filnm 43188

Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
filnm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
filnm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
2		filnm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
8		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
9		ssfi 9088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝑎 ∈ Fin)
10	8, 5, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ Fin)
11	7, 10	elind 4149	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
12		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
13	3, 12	lspid 20921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
15	14	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
16		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
17	16	rspceeqv 3595	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
18	11, 15, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
19	18	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
20	2, 3, 12	islnm2 43176	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)))
21	1, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4549  ‘cfv 6487  Fincfn 8875  Basecbs 17126  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870  LSpanclspn 20910  LNoeMclnm 43173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-mgp 20065  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lfig 43166  df-lnm 43174

This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  43189