Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filnm 38633
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
filnm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem filnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
2 filnm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2778 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssss 19340 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑎𝐵)
54adantl 475 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎𝐵)
6 selpw 4386 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
75, 6sylibr 226 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
8 simplr 759 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
9 ssfi 8470 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ Fin)
108, 5, 9syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ Fin)
117, 10elind 4021 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
12 eqid 2778 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
133, 12lspid 19388 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
1413adantlr 705 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝑎)
1514eqcomd 2784 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
16 fveq2 6448 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎))
1716rspceeqv 3529 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑎)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
1811, 15, 17syl2anc 579 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
1918ralrimiva 3148 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))
202, 3, 12islnm2 38621 . 2 (𝑊 ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑊)∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑎 = ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)))
211, 19, 20sylanbrc 578 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  cin 3791  wss 3792  𝒫 cpw 4379  cfv 6137  Fincfn 8243  Basecbs 16266  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  LSpanclspn 19377  LNoeMclnm 38618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lfig 38611  df-lnm 38619
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  38634
  Copyright terms: Public domain W3C validator