Theorem islshpsm 38946

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpsm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpsm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpsm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		islshpsm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islshpsm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		islshpsm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		islshpsm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islshp 38945	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
8	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 3	lspid 20864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
12	11	uneq1d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
13	12	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
14	2, 4	lssss 20818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
16		snssi 4768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
18	2, 3	lspun 20869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
19	8, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
20	2, 4, 3	lspcl 20858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
21	8, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22		islshpsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
23	4, 3, 22	lsmsp 20969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
24	8, 9, 21, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4rd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
26	25	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
27	26	rexbidva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
28	27	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
29	28	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
32	29, 30, 31	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
33	7, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  LSSumclsm 19540  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813  LSpanclspn 20853  LSHypclsh 38941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lshyp 38943

This theorem is referenced by:  lshpnelb  38950  lshpcmp  38954  islshpat  38983  lshpkrex  39084  dochshpncl  41351