Theorem islshpsm 39179

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpsm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpsm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpsm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		islshpsm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islshpsm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		islshpsm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		islshpsm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islshp 39178	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
8	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 3	lspid 20931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
12	11	uneq1d 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
13	12	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
14	2, 4	lssss 20885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
16		snssi 4762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
18	2, 3	lspun 20936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
19	8, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
20	2, 4, 3	lspcl 20925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
21	8, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22		islshpsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
23	4, 3, 22	lsmsp 21036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
24	8, 9, 21, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4rd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
26	25	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
27	26	rexbidva 3156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
28	27	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
29	28	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
32	29, 30, 31	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
33	7, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  LSSumclsm 19561  LModclmod 20809  LSubSpclss 20880  LSpanclspn 20920  LSHypclsh 39174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lshyp 39176

This theorem is referenced by:  lshpnelb  39183  lshpcmp  39187  islshpat  39216  lshpkrex  39317  dochshpncl  41583