Theorem islshpsm 39754

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpsm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpsm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpsm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		islshpsm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islshpsm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		islshpsm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		islshpsm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islshp 39753	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
8	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simplrl 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 3	lspid 21103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
12	11	uneq1d 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
13	12	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
14	2, 4	lssss 21057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	9, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
16		snssi 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
17	16	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
18	2, 3	lspun 21108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
19	8, 15, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
20	2, 4, 3	lspcl 21097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
21	8, 17, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22		islshpsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
23	4, 3, 22	lsmsp 21207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
24	8, 9, 21, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4rd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
26	25	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
27	26	rexbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
28	27	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
29	28	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
33	7, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  LSSumclsm 19699  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092  LSHypclsh 39749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lshyp 39751

This theorem is referenced by:  lshpnelb  39758  lshpcmp  39762  islshpat  39791  lshpkrex  39892  dochshpncl  42158