Theorem islshpsm 40146

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpsm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpsm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpsm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		islshpsm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islshpsm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		islshpsm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		islshpsm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islshp 40145	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
8	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simplrl 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 3	lspid 21266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
12	11	uneq1d 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
13	12	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
14	2, 4	lssss 21220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	9, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
16		snssi 4742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
18	2, 3	lspun 21271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
19	8, 15, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
20	2, 4, 3	lspcl 21260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
21	8, 17, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22		islshpsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
23	4, 3, 22	lsmsp 21370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
24	8, 9, 21, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4rd 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
26	25	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
27	26	rexbidva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
28	27	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
29	28	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
33	7, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148  {csn 4584  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  LSSumclsm 19857  LModclmod 21144  LSubSpclss 21215  LSpanclspn 21255  LSHypclsh 40141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lshyp 40143

This theorem is used by:  lshpnelb  40150  lshpcmp  40154  islshpat  40183  lshpkrex  40284  dochshpncl  42550