Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpsm 37442
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpsm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpsm (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm
StepHypRef Expression
1 islshpsm.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 islshpsm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 islshpsm.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 islshpsm.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 islshpsm.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
62, 3, 4, 5islshp 37441 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
71, 6syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
81ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑆)
104, 3lspid 20443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
1211uneq1d 4122 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
1312fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
142, 4lssss 20397 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑉)
16 snssi 4768 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
182, 3lspun 20448 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
198, 15, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
202, 4, 3lspcl 20437 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
218, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22 islshpsm.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
234, 3, 22lsmsp 20547 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
248, 9, 21, 23syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
2513, 19, 243eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
2625eqeq1d 2738 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2726rexbidva 3173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
2928bicomd 222 . . 3 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30 df-3an 1089 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31 df-3an 1089 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
3229, 30, 313bitr4g 313 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
337, 32bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cun 3908  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LSHypclsh 37437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lshyp 37439
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37446  lshpcmp  37450  islshpat  37479  lshpkrex  37580  dochshpncl  39847
  Copyright terms: Public domain W3C validator