Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpsm 37471
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpsm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpsm.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islshpsm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
islshpsm.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpsm.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpsm (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉   𝑣,π‘Š   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   βŠ• (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm
StepHypRef Expression
1 islshpsm.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 islshpsm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 islshpsm.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 islshpsm.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 islshpsm.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5islshp 37470 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
71, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
81ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
104, 3lspid 20459 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
1211uneq1d 4127 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑣})) = (π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑣})))
1312fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))))
142, 4lssss 20413 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
16 snssi 4773 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ {𝑣} βŠ† 𝑉)
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣} βŠ† 𝑉)
182, 3lspun 20464 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ {𝑣} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))))
198, 15, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘ˆ) βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))))
202, 4, 3lspcl 20453 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑣} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ 𝑆)
218, 17, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ 𝑆)
22 islshpsm.p . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
234, 3, 22lsmsp 20563 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))))
248, 9, 21, 23syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ (π‘β€˜{𝑣}))))
2513, 19, 243eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})))
2625eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
2726rexbidva 3174 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
2827pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
2928bicomd 222 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
30 df-3an 1090 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
31 df-3an 1090 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉))
3229, 30, 313bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘ˆ βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
337, 32bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LSHypclsh 37466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lshyp 37468
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37475  lshpcmp  37479  islshpat  37508  lshpkrex  37609  dochshpncl  39876
  Copyright terms: Public domain W3C validator