Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpsm 37198
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpsm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpsm (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm
StepHypRef Expression
1 islshpsm.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 islshpsm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 islshpsm.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 islshpsm.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 islshpsm.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
62, 3, 4, 5islshp 37197 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
71, 6syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
81ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑆)
104, 3lspid 20316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
1211uneq1d 4107 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
1312fveq2d 6815 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
142, 4lssss 20270 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑉)
16 snssi 4753 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
182, 3lspun 20321 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
198, 15, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
202, 4, 3lspcl 20310 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
218, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22 islshpsm.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
234, 3, 22lsmsp 20420 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
248, 9, 21, 23syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
2513, 19, 243eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
2625eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2726rexbidva 3170 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2827pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
2928bicomd 222 . . 3 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30 df-3an 1088 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31 df-3an 1088 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
3229, 30, 313bitr4g 313 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
337, 32bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071  cun 3895  wss 3897  {csn 4571  cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  LSSumclsm 19308  LModclmod 20195  LSubSpclss 20265  LSpanclspn 20305  LSHypclsh 37193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-subg 18821  df-cntz 18992  df-lsm 19310  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-lsp 20306  df-lshyp 37195
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37202  lshpcmp  37206  islshpat  37235  lshpkrex  37336  dochshpncl  39603
  Copyright terms: Public domain W3C validator