Theorem islshpsm 39472

Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpsm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
islshpsm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpsm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		islshpsm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		islshpsm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		islshpsm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		islshpsm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	islshp 39471	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
8	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simplrl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 3	lspid 20972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
11	8, 9, 10	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
12	11	uneq1d 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
13	12	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
14	2, 4	lssss 20926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
16		snssi 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
18	2, 3	lspun 20977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
19	8, 15, 17, 18	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁‘𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
20	2, 4, 3	lspcl 20966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
21	8, 17, 20	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22		islshpsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
23	4, 3, 22	lsmsp 21076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
24	8, 9, 21, 23	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
25	13, 19, 24	3eqtr4rd 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
26	25	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
27	26	rexbidva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
28	27	pm5.32da 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
29	28	bicomd 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30		df-3an 1094	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31		df-3an 1094	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
32	29, 30, 31	3bitr4g 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
33	7, 32	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  LSSumclsm 19600  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LSHypclsh 39467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lshyp 39469

This theorem is referenced by:  lshpnelb  39476  lshpcmp  39480  islshpat  39509  lshpkrex  39610  dochshpncl  41876