Theorem dochspocN 39300

Description: The span of an orthocomplement equals the orthocomplement of the span. (Contributed by NM, 7-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochsp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochspocN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem dochspocN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsp.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsp.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39030	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		dochsp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		dochsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8		dochsp.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 2, 6, 7, 8	dochlss 39274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	3, 5, 9	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11		dochsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12	7, 11	lspid 20134	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))
13	4, 10, 12	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))
14	1, 2, 8, 6, 11, 3, 5	dochocsp 39299	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))
15	13, 14	eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6415  Basecbs 16815  LModclmod 20013  LSubSpclss 20083  LSpanclspn 20123  HLchlt 37270  LHypclh 37904  DVecHcdvh 38998  ocHcoch 39267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-riotaBAD 36873

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-tpos 8010  df-undef 8057  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-map 8552  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-fz 13144  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-0g 17044  df-proset 17903  df-poset 17921  df-plt 17938  df-lub 17954  df-glb 17955  df-join 17956  df-meet 17957  df-p0 18033  df-p1 18034  df-lat 18040  df-clat 18107  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-submnd 18321  df-grp 18470  df-minusg 18471  df-sbg 18472  df-subg 18642  df-cntz 18813  df-lsm 19131  df-cmn 19278  df-abl 19279  df-mgp 19611  df-ur 19628  df-ring 19675  df-oppr 19752  df-dvdsr 19773  df-unit 19774  df-invr 19804  df-dvr 19815  df-drng 19883  df-lmod 20015  df-lss 20084  df-lsp 20124  df-lvec 20255  df-lsatoms 36896  df-oposet 37096  df-ol 37098  df-oml 37099  df-covers 37186  df-ats 37187  df-atl 37218  df-cvlat 37242  df-hlat 37271  df-llines 37418  df-lplanes 37419  df-lvols 37420  df-lines 37421  df-psubsp 37423  df-pmap 37424  df-padd 37716  df-lhyp 37908  df-laut 37909  df-ldil 38024  df-ltrn 38025  df-trl 38079  df-tendo 38675  df-edring 38677  df-disoa 38949  df-dvech 38999  df-dib 39059  df-dic 39093  df-dih 39149  df-doch 39268

This theorem is referenced by: (None)