Theorem ltadd1dd 11848

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd1d 11830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  nnne0  12274  fzoaddel  13733  elincfzoext  13739  fladdz  13842  fzsdom2  14446  sadcaddlem  16476  iserodd  16855  4sqlem12  16976  efif1olem1  26503  atanlogsublem  26877  subfacval3  35211  poimirlem15  37659  itg2addnclem3  37697  aks4d1p1p6  42086  aks4d1p1p5  42088  fltnlta  42686  3cubeslem1  42707  rmspecfund  42932  jm2.24nn  42983  ltadd12dd  45370  infleinflem2  45398  iooshift  45551  iblspltprt  46002  itgspltprt  46008  stirlinglem5  46107  dirkercncflem1  46132  fourierdlem19  46155  fourierdlem35  46171  fourierdlem41  46177  fourierdlem47  46182  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem51  46186  fourierdlem64  46199  fourierdlem79  46214  fourierdlem81  46216  fourierdlem92  46227  fourierdlem112  46247  sqwvfoura  46257  sqwvfourb  46258  fouriersw  46260  smflimlem4  46803  ormkglobd  46904  2pwp1prm  47603