Theorem ltadd1dd 11951

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd1d 11933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   + caddc 11227   < clt 11367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372

This theorem is used by:  nnne0  12396  fzoaddel  13876  elincfzoext  13882  fladdz  13989  fzsdom2  14597  sadcaddlem  16653  iserodd  17039  4sqlem12  17160  efif1olem1  26897  atanlogsublem  27270  subfacval3  36120  poimirlem15  38744  itg2addnclem3  38782  aks4d1p1p6  43314  aks4d1p1p5  43316  fltnlta  43865  3cubeslem1  43885  rmspecfund  44107  jm2.24nn  44157  ltadd12dd  46558  infleinflem2  46585  iooshift  46737  iblspltprt  47186  itgspltprt  47192  stirlinglem5  47291  dirkercncflem1  47316  fourierdlem19  47339  fourierdlem35  47355  fourierdlem41  47361  fourierdlem47  47366  fourierdlem48  47367  fourierdlem49  47368  fourierdlem51  47370  fourierdlem64  47383  fourierdlem79  47398  fourierdlem81  47400  fourierdlem92  47411  fourierdlem112  47431  sqwvfoura  47441  sqwvfourb  47442  fouriersw  47444  smflimlem4  47987  ormkglobd  48090  2pwp1prm  48877