Theorem ltadd1dd 11829

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd1d 11811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111   + caddc 11115   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  nnne0  12250  fzoaddel  13691  elincfzoext  13696  fladdz  13796  fzsdom2  14393  sadcaddlem  16405  iserodd  16777  4sqlem12  16898  efif1olem1  26431  atanlogsublem  26802  subfacval3  34708  poimirlem15  37016  itg2addnclem3  37054  aks4d1p1p6  41454  aks4d1p1p5  41456  fltnlta  41983  3cubeslem1  42000  rmspecfund  42225  jm2.24nn  42276  ltadd12dd  44625  infleinflem2  44653  iooshift  44807  iblspltprt  45261  itgspltprt  45267  stirlinglem5  45366  dirkercncflem1  45391  fourierdlem19  45414  fourierdlem35  45430  fourierdlem41  45436  fourierdlem47  45441  fourierdlem48  45442  fourierdlem49  45443  fourierdlem51  45445  fourierdlem64  45458  fourierdlem79  45473  fourierdlem81  45475  fourierdlem92  45486  fourierdlem112  45506  sqwvfoura  45516  sqwvfourb  45517  fouriersw  45519  smflimlem4  46062  2pwp1prm  46829