Theorem ltadd1dd 11871

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd1d 11853	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7423  ℝcr 11153   + caddc 11157   < clt 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-ltxr 11299

This theorem is referenced by:  nnne0  12293  fzoaddel  13734  elincfzoext  13739  fladdz  13840  fzsdom2  14440  sadcaddlem  16452  iserodd  16832  4sqlem12  16953  efif1olem1  26561  atanlogsublem  26935  subfacval3  34969  poimirlem15  37284  itg2addnclem3  37322  aks4d1p1p6  41720  aks4d1p1p5  41722  fltnlta  42254  3cubeslem1  42278  rmspecfund  42503  jm2.24nn  42554  ltadd12dd  44895  infleinflem2  44923  iooshift  45077  iblspltprt  45531  itgspltprt  45537  stirlinglem5  45636  dirkercncflem1  45661  fourierdlem19  45684  fourierdlem35  45700  fourierdlem41  45706  fourierdlem47  45711  fourierdlem48  45712  fourierdlem49  45713  fourierdlem51  45715  fourierdlem64  45728  fourierdlem79  45743  fourierdlem81  45745  fourierdlem92  45756  fourierdlem112  45776  sqwvfoura  45786  sqwvfourb  45787  fouriersw  45789  smflimlem4  46332  2pwp1prm  47098