Theorem ltadd2dd 11296

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-addrcl 11090  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13449  2tnp1ge0ge0  13779  ccatrn  14543  eirrlem  16162  prmreclem5  16882  iccntr  24805  icccmplem2  24807  ivthlem2  25437  uniioombllem3  25570  opnmbllem  25586  dvcnvre  26004  cosordlem  26512  efif1olem2  26525  atanlogaddlem  26895  pntibndlem2  27572  pntlemr  27583  dya2icoseg  34461  opnmbllem0  38023  posbezout  42585  fltnltalem  43112  binomcxplemdvbinom  44797  zltlesub  45733  supxrge  45783  ltadd12dd  45788  xrralrecnnle  45827  0ellimcdiv  46092  climleltrp  46119  ioodvbdlimc1lem2  46375  stoweidlem11  46454  stoweidlem14  46457  stoweidlem26  46469  stoweidlem44  46487  dirkertrigeqlem3  46543  dirkercncflem1  46546  dirkercncflem2  46547  fourierdlem4  46554  fourierdlem10  46560  fourierdlem28  46578  fourierdlem40  46590  fourierdlem50  46599  fourierdlem57  46606  fourierdlem59  46608  fourierdlem60  46609  fourierdlem61  46610  fourierdlem68  46617  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem79  46628  fourierdlem84  46633  fourierdlem93  46642  fourierdlem111  46660  fouriersw  46674  smfaddlem1  47206  smflimlem3  47216