Theorem ltadd2dd 11275

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   + caddc 11012   < clt 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-addrcl 11070  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13408  2tnp1ge0ge0  13733  ccatrn  14496  eirrlem  16113  prmreclem5  16832  iccntr  24708  icccmplem2  24710  ivthlem2  25351  uniioombllem3  25484  opnmbllem  25500  dvcnvre  25922  cosordlem  26437  efif1olem2  26450  atanlogaddlem  26821  pntibndlem2  27500  pntlemr  27511  dya2icoseg  34245  opnmbllem0  37640  posbezout  42077  fltnltalem  42639  binomcxplemdvbinom  44330  zltlesub  45271  supxrge  45322  ltadd12dd  45327  xrralrecnnle  45366  0ellimcdiv  45634  climleltrp  45661  ioodvbdlimc1lem2  45917  stoweidlem11  45996  stoweidlem14  45999  stoweidlem26  46011  stoweidlem44  46029  dirkertrigeqlem3  46085  dirkercncflem1  46088  dirkercncflem2  46089  fourierdlem4  46096  fourierdlem10  46102  fourierdlem28  46120  fourierdlem40  46132  fourierdlem50  46141  fourierdlem57  46148  fourierdlem59  46150  fourierdlem60  46151  fourierdlem61  46152  fourierdlem68  46159  fourierdlem74  46165  fourierdlem75  46166  fourierdlem76  46167  fourierdlem78  46169  fourierdlem79  46170  fourierdlem84  46175  fourierdlem93  46184  fourierdlem111  46202  fouriersw  46216  smfaddlem1  46748  smflimlem3  46758