MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2dd 10792
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 10789 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 235 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529   + caddc 10533   < clt 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-addrcl 10591  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12887  2tnp1ge0ge0  13198  ccatrn  13938  eirrlem  15553  prmreclem5  16250  iccntr  23430  icccmplem2  23432  ivthlem2  24060  uniioombllem3  24193  opnmbllem  24209  dvcnvre  24626  cosordlem  25126  efif1olem2  25139  atanlogaddlem  25503  pntibndlem2  26179  pntlemr  26190  dya2icoseg  31649  opnmbllem0  35092  fltnltalem  39615  binomcxplemdvbinom  41054  zltlesub  41913  supxrge  41967  ltadd12dd  41972  xrralrecnnle  42014  0ellimcdiv  42288  climleltrp  42315  ioodvbdlimc1lem2  42571  stoweidlem11  42650  stoweidlem14  42653  stoweidlem26  42665  stoweidlem44  42683  dirkertrigeqlem3  42739  dirkercncflem1  42742  dirkercncflem2  42743  fourierdlem4  42750  fourierdlem10  42756  fourierdlem28  42774  fourierdlem40  42786  fourierdlem50  42795  fourierdlem57  42802  fourierdlem59  42804  fourierdlem60  42805  fourierdlem61  42806  fourierdlem68  42813  fourierdlem74  42819  fourierdlem75  42820  fourierdlem76  42821  fourierdlem78  42823  fourierdlem79  42824  fourierdlem84  42829  fourierdlem93  42838  fourierdlem111  42856  fouriersw  42870  smfaddlem1  43393  smflimlem3  43403
  Copyright terms: Public domain W3C validator