Theorem ltadd2dd 11421

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   + caddc 11159   < clt 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-addrcl 11217  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13546  2tnp1ge0ge0  13870  ccatrn  14628  eirrlem  16241  prmreclem5  16959  iccntr  24844  icccmplem2  24846  ivthlem2  25488  uniioombllem3  25621  opnmbllem  25637  dvcnvre  26059  cosordlem  26573  efif1olem2  26586  atanlogaddlem  26957  pntibndlem2  27636  pntlemr  27647  dya2icoseg  34280  opnmbllem0  37664  posbezout  42102  fltnltalem  42677  binomcxplemdvbinom  44377  zltlesub  45302  supxrge  45354  ltadd12dd  45359  xrralrecnnle  45399  0ellimcdiv  45669  climleltrp  45696  ioodvbdlimc1lem2  45952  stoweidlem11  46031  stoweidlem14  46034  stoweidlem26  46046  stoweidlem44  46064  dirkertrigeqlem3  46120  dirkercncflem1  46123  dirkercncflem2  46124  fourierdlem4  46131  fourierdlem10  46137  fourierdlem28  46155  fourierdlem40  46167  fourierdlem50  46176  fourierdlem57  46183  fourierdlem59  46185  fourierdlem60  46186  fourierdlem61  46187  fourierdlem68  46194  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem76  46202  fourierdlem78  46204  fourierdlem79  46205  fourierdlem84  46210  fourierdlem93  46219  fourierdlem111  46237  fouriersw  46251  smfaddlem1  46783  smflimlem3  46793