Theorem ltadd2dd 11305

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11302	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-addrcl 11099  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13458  2tnp1ge0ge0  13788  ccatrn  14552  eirrlem  16171  prmreclem5  16891  iccntr  24787  icccmplem2  24789  ivthlem2  25419  uniioombllem3  25552  opnmbllem  25568  dvcnvre  25986  cosordlem  26494  efif1olem2  26507  atanlogaddlem  26877  pntibndlem2  27554  pntlemr  27565  dya2icoseg  34421  opnmbllem0  37977  posbezout  42539  fltnltalem  43095  binomcxplemdvbinom  44780  zltlesub  45718  supxrge  45768  ltadd12dd  45773  xrralrecnnle  45812  0ellimcdiv  46077  climleltrp  46104  ioodvbdlimc1lem2  46360  stoweidlem11  46439  stoweidlem14  46442  stoweidlem26  46454  stoweidlem44  46472  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem2  46532  fourierdlem4  46539  fourierdlem10  46545  fourierdlem28  46563  fourierdlem40  46575  fourierdlem50  46584  fourierdlem57  46591  fourierdlem59  46593  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem68  46602  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem79  46613  fourierdlem84  46618  fourierdlem93  46627  fourierdlem111  46645  fouriersw  46659  smfaddlem1  47191  smflimlem3  47201