Theorem ltadd2dd 10956

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 10953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝcr 10693   + caddc 10697   < clt 10832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-addrcl 10755  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13058  2tnp1ge0ge0  13369  ccatrn  14111  eirrlem  15728  prmreclem5  16436  iccntr  23672  icccmplem2  23674  ivthlem2  24303  uniioombllem3  24436  opnmbllem  24452  dvcnvre  24870  cosordlem  25373  efif1olem2  25386  atanlogaddlem  25750  pntibndlem2  26426  pntlemr  26437  dya2icoseg  31910  opnmbllem0  35499  fltnltalem  40143  binomcxplemdvbinom  41585  zltlesub  42437  supxrge  42491  ltadd12dd  42496  xrralrecnnle  42536  0ellimcdiv  42808  climleltrp  42835  ioodvbdlimc1lem2  43091  stoweidlem11  43170  stoweidlem14  43173  stoweidlem26  43185  stoweidlem44  43203  dirkertrigeqlem3  43259  dirkercncflem1  43262  dirkercncflem2  43263  fourierdlem4  43270  fourierdlem10  43276  fourierdlem28  43294  fourierdlem40  43306  fourierdlem50  43315  fourierdlem57  43322  fourierdlem59  43324  fourierdlem60  43325  fourierdlem61  43326  fourierdlem68  43333  fourierdlem74  43339  fourierdlem75  43340  fourierdlem76  43341  fourierdlem78  43343  fourierdlem79  43344  fourierdlem84  43349  fourierdlem93  43358  fourierdlem111  43376  fouriersw  43390  smfaddlem1  43913  smflimlem3  43923