MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2dd 10787
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 10784 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 233 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528   < clt 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-addrcl 10586  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12878  2tnp1ge0ge0  13187  ccatrn  13931  eirrlem  15545  prmreclem5  16244  iccntr  23356  icccmplem2  23358  ivthlem2  23980  uniioombllem3  24113  opnmbllem  24129  dvcnvre  24543  cosordlem  25042  efif1olem2  25054  atanlogaddlem  25418  pntibndlem2  26094  pntlemr  26105  dya2icoseg  31434  opnmbllem0  34809  fltnltalem  39152  binomcxplemdvbinom  40562  zltlesub  41427  supxrge  41482  ltadd12dd  41487  xrralrecnnle  41529  0ellimcdiv  41806  climleltrp  41833  ioodvbdlimc1lem2  42093  stoweidlem11  42173  stoweidlem14  42176  stoweidlem26  42188  stoweidlem44  42206  dirkertrigeqlem3  42262  dirkercncflem1  42265  dirkercncflem2  42266  fourierdlem4  42273  fourierdlem10  42279  fourierdlem28  42297  fourierdlem40  42309  fourierdlem50  42318  fourierdlem57  42325  fourierdlem59  42327  fourierdlem60  42328  fourierdlem61  42329  fourierdlem68  42336  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem76  42344  fourierdlem78  42346  fourierdlem79  42347  fourierdlem84  42352  fourierdlem93  42361  fourierdlem111  42379  fouriersw  42393  smfaddlem1  42916  smflimlem3  42926
  Copyright terms: Public domain W3C validator