Theorem ltadd2dd 11304

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-addrcl 11099  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13433  2tnp1ge0ge0  13761  ccatrn  14525  eirrlem  16141  prmreclem5  16860  iccntr  24778  icccmplem2  24780  ivthlem2  25421  uniioombllem3  25554  opnmbllem  25570  dvcnvre  25992  cosordlem  26507  efif1olem2  26520  atanlogaddlem  26891  pntibndlem2  27570  pntlemr  27581  dya2icoseg  34455  opnmbllem0  37907  posbezout  42470  fltnltalem  43020  binomcxplemdvbinom  44709  zltlesub  45647  supxrge  45697  ltadd12dd  45702  xrralrecnnle  45741  0ellimcdiv  46007  climleltrp  46034  ioodvbdlimc1lem2  46290  stoweidlem11  46369  stoweidlem14  46372  stoweidlem26  46384  stoweidlem44  46402  dirkertrigeqlem3  46458  dirkercncflem1  46461  dirkercncflem2  46462  fourierdlem4  46469  fourierdlem10  46475  fourierdlem28  46493  fourierdlem40  46505  fourierdlem50  46514  fourierdlem57  46521  fourierdlem59  46523  fourierdlem60  46524  fourierdlem61  46525  fourierdlem68  46532  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem76  46540  fourierdlem78  46542  fourierdlem79  46543  fourierdlem84  46548  fourierdlem93  46557  fourierdlem111  46575  fouriersw  46589  smfaddlem1  47121  smflimlem3  47131