Theorem ltadd2dd 11476

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   + caddc 11210   < clt 11350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-addrcl 11268  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355

This theorem is used by:  zltaddlt1le  13643  2tnp1ge0ge0  13976  ccatrn  14742  eirrlem  16381  prmreclem5  17107  iccntr  25150  icccmplem2  25152  ivthlem2  25782  uniioombllem3  25915  opnmbllem  25931  dvcnvre  26348  cosordlem  26867  efif1olem2  26880  atanlogaddlem  27250  pntibndlem2  27927  pntlemr  27938  dya2icoseg  34959  opnmbllem0  38711  posbezout  43287  fltnltalem  43810  binomcxplemdvbinom  45474  zltlesub  46437  supxrge  46486  ltadd12dd  46491  xrralrecnnle  46530  0ellimcdiv  46795  climleltrp  46822  ioodvbdlimc1lem2  47078  stoweidlem11  47157  stoweidlem14  47160  stoweidlem26  47172  stoweidlem44  47190  dirkertrigeqlem3  47246  dirkercncflem1  47249  dirkercncflem2  47250  fourierdlem4  47257  fourierdlem10  47263  fourierdlem28  47281  fourierdlem40  47293  fourierdlem50  47302  fourierdlem57  47309  fourierdlem59  47311  fourierdlem60  47312  fourierdlem61  47313  fourierdlem68  47320  fourierdlem74  47326  fourierdlem75  47327  fourierdlem76  47328  fourierdlem78  47330  fourierdlem79  47331  fourierdlem84  47336  fourierdlem93  47345  fourierdlem111  47363  fouriersw  47377  smfaddlem1  47909  smflimlem3  47919