Theorem ltadd2dd 11342

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   + caddc 11076   < clt 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-addrcl 11134  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13509  2tnp1ge0ge0  13839  ccatrn  14603  eirrlem  16236  prmreclem5  16956  iccntr  24882  icccmplem2  24884  ivthlem2  25514  uniioombllem3  25647  opnmbllem  25663  dvcnvre  26081  cosordlem  26595  efif1olem2  26608  atanlogaddlem  26978  pntibndlem2  27655  pntlemr  27666  dya2icoseg  34574  opnmbllem0  38155  posbezout  42717  fltnltalem  43244  binomcxplemdvbinom  44929  zltlesub  45864  supxrge  45914  ltadd12dd  45919  xrralrecnnle  45958  0ellimcdiv  46223  climleltrp  46250  ioodvbdlimc1lem2  46506  stoweidlem11  46585  stoweidlem14  46588  stoweidlem26  46600  stoweidlem44  46618  dirkertrigeqlem3  46674  dirkercncflem1  46677  dirkercncflem2  46678  fourierdlem4  46685  fourierdlem10  46691  fourierdlem28  46709  fourierdlem40  46721  fourierdlem50  46730  fourierdlem57  46737  fourierdlem59  46739  fourierdlem60  46740  fourierdlem61  46741  fourierdlem68  46748  fourierdlem74  46754  fourierdlem75  46755  fourierdlem76  46756  fourierdlem78  46758  fourierdlem79  46759  fourierdlem84  46764  fourierdlem93  46773  fourierdlem111  46791  fouriersw  46805  smfaddlem1  47337  smflimlem3  47347