Theorem ltadd2dd 11134

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-addrcl 10932  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13237  2tnp1ge0ge0  13549  ccatrn  14294  eirrlem  15913  prmreclem5  16621  iccntr  23984  icccmplem2  23986  ivthlem2  24616  uniioombllem3  24749  opnmbllem  24765  dvcnvre  25183  cosordlem  25686  efif1olem2  25699  atanlogaddlem  26063  pntibndlem2  26739  pntlemr  26750  dya2icoseg  32244  opnmbllem0  35813  fltnltalem  40499  binomcxplemdvbinom  41971  zltlesub  42824  supxrge  42877  ltadd12dd  42882  xrralrecnnle  42922  0ellimcdiv  43190  climleltrp  43217  ioodvbdlimc1lem2  43473  stoweidlem11  43552  stoweidlem14  43555  stoweidlem26  43567  stoweidlem44  43585  dirkertrigeqlem3  43641  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem2  43645  fourierdlem4  43652  fourierdlem10  43658  fourierdlem28  43676  fourierdlem40  43688  fourierdlem50  43697  fourierdlem57  43704  fourierdlem59  43706  fourierdlem60  43707  fourierdlem61  43708  fourierdlem68  43715  fourierdlem74  43721  fourierdlem75  43722  fourierdlem76  43723  fourierdlem78  43725  fourierdlem79  43726  fourierdlem84  43731  fourierdlem93  43740  fourierdlem111  43758  fouriersw  43772  smfaddlem1  44298  smflimlem3  44308