Theorem ltadd2dd 11418

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-addrcl 11214  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13542  2tnp1ge0ge0  13866  ccatrn  14624  eirrlem  16237  prmreclem5  16954  iccntr  24857  icccmplem2  24859  ivthlem2  25501  uniioombllem3  25634  opnmbllem  25650  dvcnvre  26073  cosordlem  26587  efif1olem2  26600  atanlogaddlem  26971  pntibndlem2  27650  pntlemr  27661  dya2icoseg  34259  opnmbllem0  37643  posbezout  42082  fltnltalem  42649  binomcxplemdvbinom  44349  zltlesub  45236  supxrge  45288  ltadd12dd  45293  xrralrecnnle  45333  0ellimcdiv  45605  climleltrp  45632  ioodvbdlimc1lem2  45888  stoweidlem11  45967  stoweidlem14  45970  stoweidlem26  45982  stoweidlem44  46000  dirkertrigeqlem3  46056  dirkercncflem1  46059  dirkercncflem2  46060  fourierdlem4  46067  fourierdlem10  46073  fourierdlem28  46091  fourierdlem40  46103  fourierdlem50  46112  fourierdlem57  46119  fourierdlem59  46121  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem68  46130  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem78  46140  fourierdlem79  46141  fourierdlem84  46146  fourierdlem93  46155  fourierdlem111  46173  fouriersw  46187  smfaddlem1  46719  smflimlem3  46729