Theorem ltadd2dd 11272

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-addrcl 11067  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13405  2tnp1ge0ge0  13733  ccatrn  14497  eirrlem  16113  prmreclem5  16832  iccntr  24737  icccmplem2  24739  ivthlem2  25380  uniioombllem3  25513  opnmbllem  25529  dvcnvre  25951  cosordlem  26466  efif1olem2  26479  atanlogaddlem  26850  pntibndlem2  27529  pntlemr  27540  dya2icoseg  34290  opnmbllem0  37706  posbezout  42203  fltnltalem  42765  binomcxplemdvbinom  44456  zltlesub  45396  supxrge  45447  ltadd12dd  45452  xrralrecnnle  45491  0ellimcdiv  45757  climleltrp  45784  ioodvbdlimc1lem2  46040  stoweidlem11  46119  stoweidlem14  46122  stoweidlem26  46134  stoweidlem44  46152  dirkertrigeqlem3  46208  dirkercncflem1  46211  dirkercncflem2  46212  fourierdlem4  46219  fourierdlem10  46225  fourierdlem28  46243  fourierdlem40  46255  fourierdlem50  46264  fourierdlem57  46271  fourierdlem59  46273  fourierdlem60  46274  fourierdlem61  46275  fourierdlem68  46282  fourierdlem74  46288  fourierdlem75  46289  fourierdlem76  46290  fourierdlem78  46292  fourierdlem79  46293  fourierdlem84  46298  fourierdlem93  46307  fourierdlem111  46325  fouriersw  46339  smfaddlem1  46871  smflimlem3  46881