Theorem ltadd2dd 11394

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124   + caddc 11128   < clt 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-addrcl 11186  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273

This theorem is used by:  zltaddlt1le  13559  2tnp1ge0ge0  13891  ccatrn  14656  eirrlem  16293  prmreclem5  17013  iccntr  25049  icccmplem2  25051  ivthlem2  25681  uniioombllem3  25814  opnmbllem  25830  dvcnvre  26247  cosordlem  26768  efif1olem2  26781  atanlogaddlem  27151  pntibndlem2  27828  pntlemr  27839  dya2icoseg  34789  opnmbllem0  38406  posbezout  42967  fltnltalem  43509  binomcxplemdvbinom  45178  zltlesub  46119  supxrge  46169  ltadd12dd  46174  xrralrecnnle  46213  0ellimcdiv  46478  climleltrp  46505  ioodvbdlimc1lem2  46761  stoweidlem11  46840  stoweidlem14  46843  stoweidlem26  46855  stoweidlem44  46873  dirkertrigeqlem3  46929  dirkercncflem1  46932  dirkercncflem2  46933  fourierdlem4  46940  fourierdlem10  46946  fourierdlem28  46964  fourierdlem40  46976  fourierdlem50  46985  fourierdlem57  46992  fourierdlem59  46994  fourierdlem60  46995  fourierdlem61  46996  fourierdlem68  47003  fourierdlem74  47009  fourierdlem75  47010  fourierdlem76  47011  fourierdlem78  47013  fourierdlem79  47014  fourierdlem84  47019  fourierdlem93  47028  fourierdlem111  47046  fouriersw  47060  smfaddlem1  47592  smflimlem3  47602