Theorem ltadd2dd 11397

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127   + caddc 11131   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-addrcl 11189  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  zltaddlt1le  13562  2tnp1ge0ge0  13894  ccatrn  14659  eirrlem  16298  prmreclem5  17018  iccntr  25054  icccmplem2  25056  ivthlem2  25686  uniioombllem3  25819  opnmbllem  25835  dvcnvre  26253  cosordlem  26775  efif1olem2  26788  atanlogaddlem  27158  pntibndlem2  27835  pntlemr  27846  dya2icoseg  34796  opnmbllem0  38413  posbezout  42974  fltnltalem  43516  binomcxplemdvbinom  45185  zltlesub  46126  supxrge  46176  ltadd12dd  46181  xrralrecnnle  46220  0ellimcdiv  46485  climleltrp  46512  ioodvbdlimc1lem2  46768  stoweidlem11  46847  stoweidlem14  46850  stoweidlem26  46862  stoweidlem44  46880  dirkertrigeqlem3  46936  dirkercncflem1  46939  dirkercncflem2  46940  fourierdlem4  46947  fourierdlem10  46953  fourierdlem28  46971  fourierdlem40  46983  fourierdlem50  46992  fourierdlem57  46999  fourierdlem59  47001  fourierdlem60  47002  fourierdlem61  47003  fourierdlem68  47010  fourierdlem74  47016  fourierdlem75  47017  fourierdlem76  47018  fourierdlem78  47020  fourierdlem79  47021  fourierdlem84  47026  fourierdlem93  47035  fourierdlem111  47053  fouriersw  47067  smfaddlem1  47599  smflimlem3  47609