Theorem ltadd2dd 11449

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-addrcl 11245  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13565  2tnp1ge0ge0  13880  ccatrn  14637  eirrlem  16252  prmreclem5  16967  iccntr  24862  icccmplem2  24864  ivthlem2  25506  uniioombllem3  25639  opnmbllem  25655  dvcnvre  26078  cosordlem  26590  efif1olem2  26603  atanlogaddlem  26974  pntibndlem2  27653  pntlemr  27664  dya2icoseg  34242  opnmbllem0  37616  posbezout  42057  fltnltalem  42617  binomcxplemdvbinom  44322  zltlesub  45200  supxrge  45253  ltadd12dd  45258  xrralrecnnle  45298  0ellimcdiv  45570  climleltrp  45597  ioodvbdlimc1lem2  45853  stoweidlem11  45932  stoweidlem14  45935  stoweidlem26  45947  stoweidlem44  45965  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem2  46025  fourierdlem4  46032  fourierdlem10  46038  fourierdlem28  46056  fourierdlem40  46068  fourierdlem50  46077  fourierdlem57  46084  fourierdlem59  46086  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem68  46095  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem78  46105  fourierdlem79  46106  fourierdlem84  46111  fourierdlem93  46120  fourierdlem111  46138  fouriersw  46152  smfaddlem1  46684  smflimlem3  46694