Theorem ltadd2dd 11299

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   + caddc 11035   < clt 11173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-addrcl 11093  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13452  2tnp1ge0ge0  13782  ccatrn  14546  eirrlem  16165  prmreclem5  16885  iccntr  24800  icccmplem2  24802  ivthlem2  25432  uniioombllem3  25565  opnmbllem  25581  dvcnvre  25999  cosordlem  26510  efif1olem2  26523  atanlogaddlem  26893  pntibndlem2  27571  pntlemr  27582  dya2icoseg  34440  opnmbllem0  37994  posbezout  42556  fltnltalem  43112  binomcxplemdvbinom  44801  zltlesub  45739  supxrge  45789  ltadd12dd  45794  xrralrecnnle  45833  0ellimcdiv  46098  climleltrp  46125  ioodvbdlimc1lem2  46381  stoweidlem11  46460  stoweidlem14  46463  stoweidlem26  46475  stoweidlem44  46493  dirkertrigeqlem3  46549  dirkercncflem1  46552  dirkercncflem2  46553  fourierdlem4  46560  fourierdlem10  46566  fourierdlem28  46584  fourierdlem40  46596  fourierdlem50  46605  fourierdlem57  46612  fourierdlem59  46614  fourierdlem60  46615  fourierdlem61  46616  fourierdlem68  46623  fourierdlem74  46629  fourierdlem75  46630  fourierdlem76  46631  fourierdlem78  46633  fourierdlem79  46634  fourierdlem84  46639  fourierdlem93  46648  fourierdlem111  46666  fouriersw  46680  smfaddlem1  47212  smflimlem3  47222