Theorem ltadd2dd 10646

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 10643	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℝcr 10382   + caddc 10386   < clt 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-addrcl 10444  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-ltadd 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12740  2tnp1ge0ge0  13049  ccatrn  13787  eirrlem  15390  prmreclem5  16085  iccntr  23112  icccmplem2  23114  ivthlem2  23736  uniioombllem3  23869  opnmbllem  23885  dvcnvre  24299  cosordlem  24796  efif1olem2  24808  atanlogaddlem  25172  pntibndlem2  25849  pntlemr  25860  dya2icoseg  31152  opnmbllem0  34459  fltnltalem  38771  binomcxplemdvbinom  40223  zltlesub  41092  supxrge  41147  ltadd12dd  41152  xrralrecnnle  41194  0ellimcdiv  41472  climleltrp  41499  ioodvbdlimc1lem2  41758  stoweidlem11  41838  stoweidlem14  41841  stoweidlem26  41853  stoweidlem44  41871  dirkertrigeqlem3  41927  dirkercncflem1  41930  dirkercncflem2  41931  fourierdlem4  41938  fourierdlem10  41944  fourierdlem28  41962  fourierdlem40  41974  fourierdlem50  41983  fourierdlem57  41990  fourierdlem59  41992  fourierdlem60  41993  fourierdlem61  41994  fourierdlem68  42001  fourierdlem74  42007  fourierdlem75  42008  fourierdlem76  42009  fourierdlem78  42011  fourierdlem79  42012  fourierdlem84  42017  fourierdlem93  42026  fourierdlem111  42044  fouriersw  42058  smfaddlem1  42581  smflimlem3  42591