Theorem ltadd2dd 11405

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝcr 11139   + caddc 11143   < clt 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-addrcl 11201  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-ltadd 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13517  2tnp1ge0ge0  13830  ccatrn  14575  eirrlem  16184  prmreclem5  16892  iccntr  24781  icccmplem2  24783  ivthlem2  25425  uniioombllem3  25558  opnmbllem  25574  dvcnvre  25996  cosordlem  26509  efif1olem2  26522  atanlogaddlem  26890  pntibndlem2  27569  pntlemr  27580  dya2icoseg  34025  opnmbllem0  37257  posbezout  41700  fltnltalem  42218  binomcxplemdvbinom  43929  zltlesub  44802  supxrge  44855  ltadd12dd  44860  xrralrecnnle  44900  0ellimcdiv  45172  climleltrp  45199  ioodvbdlimc1lem2  45455  stoweidlem11  45534  stoweidlem14  45537  stoweidlem26  45549  stoweidlem44  45567  dirkertrigeqlem3  45623  dirkercncflem1  45626  dirkercncflem2  45627  fourierdlem4  45634  fourierdlem10  45640  fourierdlem28  45658  fourierdlem40  45670  fourierdlem50  45679  fourierdlem57  45686  fourierdlem59  45688  fourierdlem60  45689  fourierdlem61  45690  fourierdlem68  45697  fourierdlem74  45703  fourierdlem75  45704  fourierdlem76  45705  fourierdlem78  45707  fourierdlem79  45708  fourierdlem84  45713  fourierdlem93  45722  fourierdlem111  45740  fouriersw  45754  smfaddlem1  46286  smflimlem3  46296