Theorem ltadd2dd 11377

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-addrcl 11173  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13486  2tnp1ge0ge0  13798  ccatrn  14543  eirrlem  16151  prmreclem5  16857  iccntr  24557  icccmplem2  24559  ivthlem2  25201  uniioombllem3  25334  opnmbllem  25350  dvcnvre  25771  cosordlem  26275  efif1olem2  26288  atanlogaddlem  26654  pntibndlem2  27330  pntlemr  27341  dya2icoseg  33574  opnmbllem0  36827  fltnltalem  41706  binomcxplemdvbinom  43414  zltlesub  44293  supxrge  44346  ltadd12dd  44351  xrralrecnnle  44391  0ellimcdiv  44663  climleltrp  44690  ioodvbdlimc1lem2  44946  stoweidlem11  45025  stoweidlem14  45028  stoweidlem26  45040  stoweidlem44  45058  dirkertrigeqlem3  45114  dirkercncflem1  45117  dirkercncflem2  45118  fourierdlem4  45125  fourierdlem10  45131  fourierdlem28  45149  fourierdlem40  45161  fourierdlem50  45170  fourierdlem57  45177  fourierdlem59  45179  fourierdlem60  45180  fourierdlem61  45181  fourierdlem68  45188  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem78  45198  fourierdlem79  45199  fourierdlem84  45204  fourierdlem93  45213  fourierdlem111  45231  fouriersw  45245  smfaddlem1  45777  smflimlem3  45787