Theorem ltadd2dd 11292

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-addrcl 11087  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13421  2tnp1ge0ge0  13749  ccatrn  14513  eirrlem  16129  prmreclem5  16848  iccntr  24766  icccmplem2  24768  ivthlem2  25409  uniioombllem3  25542  opnmbllem  25558  dvcnvre  25980  cosordlem  26495  efif1olem2  26508  atanlogaddlem  26879  pntibndlem2  27558  pntlemr  27569  dya2icoseg  34434  opnmbllem0  37857  posbezout  42364  fltnltalem  42915  binomcxplemdvbinom  44604  zltlesub  45543  supxrge  45593  ltadd12dd  45598  xrralrecnnle  45637  0ellimcdiv  45903  climleltrp  45930  ioodvbdlimc1lem2  46186  stoweidlem11  46265  stoweidlem14  46268  stoweidlem26  46280  stoweidlem44  46298  dirkertrigeqlem3  46354  dirkercncflem1  46357  dirkercncflem2  46358  fourierdlem4  46365  fourierdlem10  46371  fourierdlem28  46389  fourierdlem40  46401  fourierdlem50  46410  fourierdlem57  46417  fourierdlem59  46419  fourierdlem60  46420  fourierdlem61  46421  fourierdlem68  46428  fourierdlem74  46434  fourierdlem75  46435  fourierdlem76  46436  fourierdlem78  46438  fourierdlem79  46439  fourierdlem84  46444  fourierdlem93  46453  fourierdlem111  46471  fouriersw  46485  smfaddlem1  47017  smflimlem3  47027