Theorem ltadd2dd 11369

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103   < clt 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-addrcl 11161  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13532  2tnp1ge0ge0  13862  ccatrn  14627  eirrlem  16260  prmreclem5  16980  iccntr  24948  icccmplem2  24950  ivthlem2  25580  uniioombllem3  25713  opnmbllem  25729  dvcnvre  26147  cosordlem  26661  efif1olem2  26674  atanlogaddlem  27044  pntibndlem2  27721  pntlemr  27732  dya2icoseg  34612  opnmbllem0  38195  posbezout  42757  fltnltalem  43286  binomcxplemdvbinom  44955  zltlesub  45896  supxrge  45946  ltadd12dd  45951  xrralrecnnle  45990  0ellimcdiv  46255  climleltrp  46282  ioodvbdlimc1lem2  46538  stoweidlem11  46617  stoweidlem14  46620  stoweidlem26  46632  stoweidlem44  46650  dirkertrigeqlem3  46706  dirkercncflem1  46709  dirkercncflem2  46710  fourierdlem4  46717  fourierdlem10  46723  fourierdlem28  46741  fourierdlem40  46753  fourierdlem50  46762  fourierdlem57  46769  fourierdlem59  46771  fourierdlem60  46772  fourierdlem61  46773  fourierdlem68  46780  fourierdlem74  46786  fourierdlem75  46787  fourierdlem76  46788  fourierdlem78  46790  fourierdlem79  46791  fourierdlem84  46796  fourierdlem93  46805  fourierdlem111  46823  fouriersw  46837  smfaddlem1  47369  smflimlem3  47379