Theorem ltadd2dd 11508

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   + caddc 11242   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-addrcl 11300  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  zltaddlt1le  13676  2tnp1ge0ge0  14009  ccatrn  14776  eirrlem  16416  prmreclem5  17142  iccntr  25196  icccmplem2  25198  ivthlem2  25828  uniioombllem3  25961  opnmbllem  25977  dvcnvre  26394  cosordlem  26915  efif1olem2  26928  atanlogaddlem  27298  pntibndlem2  27975  pntlemr  27986  dya2icoseg  35020  opnmbllem0  38842  posbezout  43416  fltnltalem  43939  binomcxplemdvbinom  45598  zltlesub  46574  supxrge  46623  ltadd12dd  46628  xrralrecnnle  46667  0ellimcdiv  46932  climleltrp  46959  ioodvbdlimc1lem2  47215  stoweidlem11  47294  stoweidlem14  47297  stoweidlem26  47309  stoweidlem44  47327  dirkertrigeqlem3  47383  dirkercncflem1  47386  dirkercncflem2  47387  fourierdlem4  47394  fourierdlem10  47400  fourierdlem28  47418  fourierdlem40  47430  fourierdlem50  47439  fourierdlem57  47446  fourierdlem59  47448  fourierdlem60  47449  fourierdlem61  47450  fourierdlem68  47457  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fourierdlem76  47465  fourierdlem78  47467  fourierdlem79  47468  fourierdlem84  47473  fourierdlem93  47482  fourierdlem111  47500  fouriersw  47514  smfaddlem1  48046  smflimlem3  48056