Theorem ltadd2dd 11117

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854   + caddc 10858   < clt 10993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-addrcl 10916  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13219  2tnp1ge0ge0  13530  ccatrn  14275  eirrlem  15894  prmreclem5  16602  iccntr  23965  icccmplem2  23967  ivthlem2  24597  uniioombllem3  24730  opnmbllem  24746  dvcnvre  25164  cosordlem  25667  efif1olem2  25680  atanlogaddlem  26044  pntibndlem2  26720  pntlemr  26731  dya2icoseg  32223  opnmbllem0  35792  fltnltalem  40479  binomcxplemdvbinom  41924  zltlesub  42777  supxrge  42831  ltadd12dd  42836  xrralrecnnle  42876  0ellimcdiv  43144  climleltrp  43171  ioodvbdlimc1lem2  43427  stoweidlem11  43506  stoweidlem14  43509  stoweidlem26  43521  stoweidlem44  43539  dirkertrigeqlem3  43595  dirkercncflem1  43598  dirkercncflem2  43599  fourierdlem4  43606  fourierdlem10  43612  fourierdlem28  43630  fourierdlem40  43642  fourierdlem50  43651  fourierdlem57  43658  fourierdlem59  43660  fourierdlem60  43661  fourierdlem61  43662  fourierdlem68  43669  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fourierdlem76  43677  fourierdlem78  43679  fourierdlem79  43680  fourierdlem84  43685  fourierdlem93  43694  fourierdlem111  43712  fouriersw  43726  smfaddlem1  44249  smflimlem3  44259