Theorem ltadd2dd 11378

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℝcr 11112   + caddc 11116   < clt 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-addrcl 11174  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13487  2tnp1ge0ge0  13799  ccatrn  14544  eirrlem  16152  prmreclem5  16858  iccntr  24558  icccmplem2  24560  ivthlem2  25202  uniioombllem3  25335  opnmbllem  25351  dvcnvre  25769  cosordlem  26272  efif1olem2  26285  atanlogaddlem  26651  pntibndlem2  27327  pntlemr  27338  dya2icoseg  33571  opnmbllem0  36828  fltnltalem  41707  binomcxplemdvbinom  43415  zltlesub  44295  supxrge  44348  ltadd12dd  44353  xrralrecnnle  44393  0ellimcdiv  44665  climleltrp  44692  ioodvbdlimc1lem2  44948  stoweidlem11  45027  stoweidlem14  45030  stoweidlem26  45042  stoweidlem44  45060  dirkertrigeqlem3  45116  dirkercncflem1  45119  dirkercncflem2  45120  fourierdlem4  45127  fourierdlem10  45133  fourierdlem28  45151  fourierdlem40  45163  fourierdlem50  45172  fourierdlem57  45179  fourierdlem59  45181  fourierdlem60  45182  fourierdlem61  45183  fourierdlem68  45190  fourierdlem74  45196  fourierdlem75  45197  fourierdlem76  45198  fourierdlem78  45200  fourierdlem79  45201  fourierdlem84  45206  fourierdlem93  45215  fourierdlem111  45233  fouriersw  45247  smfaddlem1  45779  smflimlem3  45789