Theorem ltadd2dd 11386

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116   + caddc 11120   < clt 11260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-addrcl 11178  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265

This theorem is used by:  zltaddlt1le  13550  2tnp1ge0ge0  13882  ccatrn  14647  eirrlem  16284  prmreclem5  17004  iccntr  25032  icccmplem2  25034  ivthlem2  25664  uniioombllem3  25797  opnmbllem  25813  dvcnvre  26231  cosordlem  26748  efif1olem2  26761  atanlogaddlem  27131  pntibndlem2  27808  pntlemr  27819  dya2icoseg  34734  opnmbllem0  38366  posbezout  42927  fltnltalem  43454  binomcxplemdvbinom  45123  zltlesub  46064  supxrge  46114  ltadd12dd  46119  xrralrecnnle  46158  0ellimcdiv  46423  climleltrp  46450  ioodvbdlimc1lem2  46706  stoweidlem11  46785  stoweidlem14  46788  stoweidlem26  46800  stoweidlem44  46818  dirkertrigeqlem3  46874  dirkercncflem1  46877  dirkercncflem2  46878  fourierdlem4  46885  fourierdlem10  46891  fourierdlem28  46909  fourierdlem40  46921  fourierdlem50  46930  fourierdlem57  46937  fourierdlem59  46939  fourierdlem60  46940  fourierdlem61  46941  fourierdlem68  46948  fourierdlem74  46954  fourierdlem75  46955  fourierdlem76  46956  fourierdlem78  46958  fourierdlem79  46959  fourierdlem84  46964  fourierdlem93  46973  fourierdlem111  46991  fouriersw  47005  smfaddlem1  47537  smflimlem3  47547