Theorem ltadd2dd 11399

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   < clt 11274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-addrcl 11195  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13527  2tnp1ge0ge0  13851  ccatrn  14612  eirrlem  16227  prmreclem5  16945  iccntr  24766  icccmplem2  24768  ivthlem2  25410  uniioombllem3  25543  opnmbllem  25559  dvcnvre  25981  cosordlem  26496  efif1olem2  26509  atanlogaddlem  26880  pntibndlem2  27559  pntlemr  27570  dya2icoseg  34314  opnmbllem0  37685  posbezout  42118  fltnltalem  42652  binomcxplemdvbinom  44344  zltlesub  45281  supxrge  45332  ltadd12dd  45337  xrralrecnnle  45377  0ellimcdiv  45645  climleltrp  45672  ioodvbdlimc1lem2  45928  stoweidlem11  46007  stoweidlem14  46010  stoweidlem26  46022  stoweidlem44  46040  dirkertrigeqlem3  46096  dirkercncflem1  46099  dirkercncflem2  46100  fourierdlem4  46107  fourierdlem10  46113  fourierdlem28  46131  fourierdlem40  46143  fourierdlem50  46152  fourierdlem57  46159  fourierdlem59  46161  fourierdlem60  46162  fourierdlem61  46163  fourierdlem68  46170  fourierdlem74  46176  fourierdlem75  46177  fourierdlem76  46178  fourierdlem78  46180  fourierdlem79  46181  fourierdlem84  46186  fourierdlem93  46195  fourierdlem111  46213  fouriersw  46227  smfaddlem1  46759  smflimlem3  46769