Theorem ltadd2dd 11364

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltadd2d 11361	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-addrcl 11156  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13527  2tnp1ge0ge0  13858  ccatrn  14623  eirrlem  16255  prmreclem5  16975  iccntr  24979  icccmplem2  24981  ivthlem2  25611  uniioombllem3  25744  opnmbllem  25760  dvcnvre  26178  cosordlem  26695  efif1olem2  26708  atanlogaddlem  27078  pntibndlem2  27755  pntlemr  27766  dya2icoseg  34667  opnmbllem0  38327  posbezout  42887  fltnltalem  43414  binomcxplemdvbinom  45083  zltlesub  46024  supxrge  46074  ltadd12dd  46079  xrralrecnnle  46118  0ellimcdiv  46383  climleltrp  46410  ioodvbdlimc1lem2  46666  stoweidlem11  46745  stoweidlem14  46748  stoweidlem26  46760  stoweidlem44  46778  dirkertrigeqlem3  46834  dirkercncflem1  46837  dirkercncflem2  46838  fourierdlem4  46845  fourierdlem10  46851  fourierdlem28  46869  fourierdlem40  46881  fourierdlem50  46890  fourierdlem57  46897  fourierdlem59  46899  fourierdlem60  46900  fourierdlem61  46901  fourierdlem68  46908  fourierdlem74  46914  fourierdlem75  46915  fourierdlem76  46916  fourierdlem78  46918  fourierdlem79  46919  fourierdlem84  46924  fourierdlem93  46933  fourierdlem111  46951  fouriersw  46965  smfaddlem1  47497  smflimlem3  47507