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Theorem smfaddlem1 41766
Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem1.x 𝑥𝜑
smfaddlem1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞   𝐷,𝑝,𝑞   𝑥,𝐾   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑥,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem1
StepHypRef Expression
1 smfaddlem1.x . . 3 𝑥𝜑
2 simpl 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3 inss1 4058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
4 rabid 3327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
54simplbi 493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
63, 5sseldi 3826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥𝐴)
76adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥𝐴)
8 smfaddlem1.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 smfaddlem1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1211adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13 elinel2 4028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1413adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
15 smfaddlem1.d . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1614, 15syldan 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
175, 16sylan2 588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1812, 17resubcld 10783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ)
1918rexrd 10407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
204simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
2120adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
229, 17, 12ltaddsubd 10953 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅𝐵 < (𝑅𝐷)))
2321, 22mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅𝐷))
2410, 19, 23qelioo 40569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
2517rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2625ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2711ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28 qre 12077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
2928adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 10783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
3130rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
3231adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
33 elioore 12494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3433adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
3512adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
3617adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
3710adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3819adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
39 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
40 iooltub 40533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4234, 35, 36, 41ltsub13d 10959 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4342adantlr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4426, 32, 43qelioo 40569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
45 nfv 2015 . . . . . . . . . . . 12 𝑞(((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
46 nfre1 3214 . . . . . . . . . . . 12 𝑞𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
47 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48 elioore 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49483ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50353adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51333ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
5250, 51resubcld 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
53253ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5452rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
55 simp3 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
56 iooltub 40533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5849, 52, 51, 57ltadd2dd 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅𝑝)))
5951recnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
6050recnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
6159, 60pncan3d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + (𝑅𝑝)) = 𝑅)
6258, 61breqtrd 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6362ad5ant135 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6447, 63jca 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65 rabid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
6664, 65sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68 qex 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ∈ V
6968rabex 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71 smfaddlem1.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7271fvmpt2 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7367, 70, 72syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7473ad4antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7566, 74eleqtrrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
76 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
7776, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
78 ioogtlb 40517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
7937, 38, 39, 78syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
8079ad5ant13 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
8125ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8231adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
83 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
84 ioogtlb 40517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8685ad4ant14 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8777, 80, 86jca32 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
88 rabid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
8987, 88sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
90 rspe 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ (𝐾𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9175, 89, 90syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9291ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9392ex 403 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})))
9445, 46, 93rexlimd 3236 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9544, 94mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
96 eliun 4745 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9795, 96sylibr 226 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9897ex 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9998reximdva 3226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10024, 99mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
101 eliun 4745 . . . . . 6 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
102100, 101sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
103102ex 403 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10496rexbii 3252 . . . . . . . . 9 (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
105101, 104bitri 267 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
106105biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
107106adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
10888biimpi 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
109108simpld 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
1101093ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
111 elinel1 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
112111adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
113112, 8syldan 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114109, 113sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151143adant2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116109, 16sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1171163adant2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118115, 117readdcld 10387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119 simp2l 1262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120119, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121 ssrab2 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
12373adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124122, 123eleqtrd 2909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125121, 124sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
1261253ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
12728ssriv 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
128127sseli 3824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129126, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130120, 129readdcld 10387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131113ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132108simprld 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
1331323ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134108simprrd 792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
1351343ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136115, 117, 120, 129, 133, 135ltadd12dd 40357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137 rabidim2 40101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138124, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
1391383ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140118, 130, 131, 136, 139lttrd 10518 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141110, 140jca 509 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142141, 4sylibr 226 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
1431423exp 1154 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144143rexlimdvv 3248 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145144adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146107, 145mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147146ex 403 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148103, 147impbid 204 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
1491, 148alrimi 2258 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
150 nfrab1 3334 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151 nfcv 2970 . . . 4 𝑥
152 nfcv 2970 . . . . 5 𝑥(𝐾𝑝)
153 nfrab1 3334 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
154152, 153nfiun 4769 . . . 4 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
155151, 154nfiun 4769 . . 3 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
156150, 155dfcleqf 40073 . 2 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
157149, 156sylibr 226 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113  wal 1656   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wrex 3119  {crab 3122  Vcvv 3415  cin 3798   ciun 4741   class class class wbr 4874  cmpt 4953  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252   + caddc 10256  *cxr 10391   < clt 10392  cmin 10586  cq 12072  (,)cioo 12464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-ioo 12468
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  41767
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