smfaddlem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfaddlem1 44185

Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfaddlem1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

**Assertion**
Ref	Expression
smfaddlem1	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝,𝑞 𝐵,𝑝,𝑞 𝐶,𝑝,𝑞 𝐷,𝑝,𝑞 𝑥,𝐾 𝑅,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝑥,𝑝,𝑞 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝐾(𝑞,𝑝)

**Proof of Theorem smfaddlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3		inss1 4159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
4		rabid 3304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
5	4	simplbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
6	3, 5	sselid 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfaddlem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11		smfaddlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		elinel2 4126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
15		smfaddlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
17	5, 16	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
18	12, 17	resubcld 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
20	4	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
22	9, 17, 12	ltaddsubd 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅 ↔ 𝐵 < (𝑅 − 𝐷)))
23	21, 22	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅 − 𝐷))
24	10, 19, 23	qelioo 42974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
25	17	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
26	25	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
27	11	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28		qre 12622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
30	27, 29	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
33		elioore 13038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
36	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
38	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
40		iooltub 42938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
42	34, 35, 36, 41	ltsub13d 11511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
43	42	adantlr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
44	26, 32, 43	qelioo 42974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
45		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
46		nfre1 3234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
47		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48		elioore 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50	35	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	33	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
52	50, 51	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
53	25	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
54	52	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
55		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
56		iooltub 42938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
58	49, 52, 51, 57	ltadd2dd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)))
59	51	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
60	50	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
61	59, 60	pncan3d 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)) = 𝑅)
62	58, 61	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
63	62	ad5ant135 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
64	47, 63	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65		rabid 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
66	64, 65	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68		qex 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℚ ∈ V
69	68	rabex 5251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71		smfaddlem1.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
72	71	fvmpt2 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
73	67, 70, 72	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
74	73	ad4antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
75	66, 74	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
76		simp-5r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
77	76, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
78		ioogtlb 42923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
79	37, 38, 39, 78	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
80	79	ad5ant13 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
81	25	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
82	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
84		ioogtlb 42923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
86	85	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
87	77, 80, 86	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
88		rabid 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
89	87, 88	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
90		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
91	75, 89, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
92	91	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
93	92	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})))
94	45, 46, 93	rexlimd 3245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
95	44, 94	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
96		eliun 4925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
97	95, 96	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
98	97	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
99	98	reximdva 3202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
100	24, 99	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
101		eliun 4925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
102	100, 101	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
103	102	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
104	96	rexbii 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
105	101, 104	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
106	105	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
107	106	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
108	88	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
109	108	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
110	109	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
111		elinel1 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
112	111	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
113	112, 8	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114	109, 113	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
115	114	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116	109, 16	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
117	116	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118	115, 117	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119		simp2l 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120	119, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121		ssrab2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
123	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124	122, 123	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125	121, 124	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
126	125	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
127	28	ssriv 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
128	127	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129	126, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130	120, 129	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132	108	simprld 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
133	132	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134	108	simprrd 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
135	134	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136	115, 117, 120, 129, 133, 135	ltadd12dd 42772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137		rabidim2 42541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138	124, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
139	138	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140	118, 130, 131, 136, 139	lttrd 11066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141	110, 140	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142	141, 4	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
143	142	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144	143	rexlimdvv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145	144	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146	107, 145	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147	146	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148	103, 147	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
149	1, 148	alrimi 2209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
150		nfrab1 3310	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℚ
152		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐾‘𝑝)
153		nfrab1 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
154	152, 153	nfiun 4951	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
155	151, 154	nfiun 4951	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
156	150, 155	cleqf 2937	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
157	149, 156	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 ∀wal 1537 = wceq 1539 Ⅎwnf 1787 ∈ wcel 2108 ∃wrex 3064 {crab 3067 Vcvv 3422 ∩ cin 3882 ∪ ciun 4921 class class class wbr 5070 ↦ cmpt 5153 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℝcr 10801 + caddc 10805 ℝ^*cxr 10939 < clt 10940 − cmin 11135 ℚcq 12617 (,)cioo 13008

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-sup 9131 df-inf 9132 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-q 12618 df-ioo 13012

This theorem is referenced by: smfaddlem2 44186

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