smfaddlem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfaddlem1 47866

Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfaddlem1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

**Assertion**
Ref	Expression
smfaddlem1	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝,𝑞 𝐵,𝑝,𝑞 𝐶,𝑝,𝑞 𝐷,𝑝,𝑞 𝑥,𝐾 𝑅,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝑥,𝑝,𝑞 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝐾(𝑞, 𝑝)

**Proof of Theorem smfaddlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3		inss1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
4		rabid 3432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
5	4	simplbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
6	3, 5	sselid 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfaddlem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11		smfaddlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		elinel2 4099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
15		smfaddlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
17	5, 16	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
18	12, 17	resubcld 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
20	4	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
22	9, 17, 12	ltaddsubd 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅 ↔ 𝐵 < (𝑅 − 𝐷)))
23	21, 22	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅 − 𝐷))
24	10, 19, 23	qelioo 46651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
25	17	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
27	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28		qre 13083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
30	27, 29	resubcld 11747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
33		elioore 13509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
36	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
38	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
39		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
40		iooltub 46615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
42	34, 35, 36, 41	ltsub13d 11925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
44	26, 32, 43	qelioo 46651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
45		nfv 1946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
46		nfre1 3287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
47		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48		elioore 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50	35	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	33	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
52	50, 51	resubcld 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
53	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
54	52	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
55		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
56		iooltub 46615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
58	49, 52, 51, 57	ltadd2dd 11472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)))
59	51	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
60	50	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
61	59, 60	pncan3d 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)) = 𝑅)
62	58, 61	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
63	62	ad5ant135 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
64	47, 63	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65		rabid 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
66	64, 65	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68		qex 13091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℚ ∈ V
69	68	rabex 5299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71		smfaddlem1.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
72	71	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
73	67, 70, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
74	73	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
75	66, 74	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
76		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
77	76, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
78		ioogtlb 46600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
79	37, 38, 39, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
80	79	ad5ant13 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
81	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
82	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
83		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
84		ioogtlb 46600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
86	85	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
87	77, 80, 86	jca32 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
88		rabid 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
90		rspe 3252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
91	75, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
92	91	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
93	92	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})))
94	45, 46, 93	rexlimd 3269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
95	44, 94	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
96		eliun 4954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
98	97	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
99	98	reximdva 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
100	24, 99	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
101		eliun 4954	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
102	100, 101	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
103	102	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
104	96	rexbii 3109	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
105	101, 104	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
106	105	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
107	88	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
108	107	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
109	108	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
110		elinel1 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
111	110	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
112	111, 8	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
113	108, 112	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
114	113	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
115	108, 16	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
116	115	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
117	114, 116	readdcld 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
118		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
119	118, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
120		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
121		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
122	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
123	121, 122	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124	120, 123	sselid 3906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
125	124	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
126	28	ssriv 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
127	126	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
128	125, 127	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
129	119, 128	readdcld 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
130	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
131	107	simprld 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
132	131	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
133	107	simprrd 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
134	133	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
135	114, 116, 119, 128, 132, 134	ltadd12dd 46448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
136		rabidim2 46210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
137	123, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138	137	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
139	117, 129, 130, 135, 138	lttrd 11474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
140	109, 139	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
141	140, 4	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
142	141	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
143	142	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
144	143	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145	106, 144	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
146	145	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
147	103, 146	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
148	1, 147	alrimi 2249	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
149		nfrab1 3431	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
150		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℚ
151		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐾‘𝑝)
152		nfrab1 3431	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
153	151, 152	nfiun 4981	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
154	150, 153	nfiun 4981	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
155	149, 154	cleqf 2950	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
156	148, 155	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 ∀wal 1567 = wceq 1569 Ⅎwnf 1815 ∈ wcel 2144 ∃wrex 3086 {crab 3412 Vcvv 3450 ∩ cin 4089 ∪ ciun 4950 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℝcr 11202 + caddc 11206 ℝ^*cxr 11345 < clt 11346 − cmin 11544 ℚcq 13078 (,)cioo 13479

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280 ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-er 8720 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-sup 9437 df-inf 9438 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-div 11977 df-nn 12339 df-n0 12610 df-z 12697 df-uz 12969 df-q 13079 df-ioo 13483

This theorem is used by: smfaddlem2 47867

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