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Theorem smfaddlem1 43837
Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem1.x 𝑥𝜑
smfaddlem1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞   𝐷,𝑝,𝑞   𝑥,𝐾   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑥,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem1
StepHypRef Expression
1 smfaddlem1.x . . 3 𝑥𝜑
2 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3 inss1 4119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
4 rabid 3281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
54simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
63, 5sseldi 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥𝐴)
76adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥𝐴)
8 smfaddlem1.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 smfaddlem1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13 elinel2 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
15 smfaddlem1.d . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1614, 15syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
175, 16sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1812, 17resubcld 11146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ)
1918rexrd 10769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
204simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
229, 17, 12ltaddsubd 11318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅𝐵 < (𝑅𝐷)))
2321, 22mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅𝐷))
2410, 19, 23qelioo 42624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
2517rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2711ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28 qre 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
2928adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
3130rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
3231adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
33 elioore 12851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
3512adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
3617adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
3710adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3819adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
39 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
40 iooltub 42588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4234, 35, 36, 41ltsub13d 11324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4426, 32, 43qelioo 42624 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
45 nfv 1921 . . . . . . . . . . . 12 𝑞(((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
46 nfre1 3216 . . . . . . . . . . . 12 𝑞𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
47 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48 elioore 12851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49483ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51333ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
5250, 51resubcld 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
53253ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5452rexrd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
55 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
56 iooltub 42588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5849, 52, 51, 57ltadd2dd 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅𝑝)))
5951recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
6050recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
6159, 60pncan3d 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + (𝑅𝑝)) = 𝑅)
6258, 61breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6362ad5ant135 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6447, 63jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65 rabid 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
6664, 65sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68 qex 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ∈ V
6968rabex 5200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71 smfaddlem1.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7271fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7367, 70, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7473ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7566, 74eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
76 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
7776, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
78 ioogtlb 42573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
7937, 38, 39, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
8079ad5ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
8125ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8231adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
83 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
84 ioogtlb 42573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8685ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8777, 80, 86jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
88 rabid 3281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
8987, 88sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
90 rspe 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ (𝐾𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9175, 89, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9291ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9392ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})))
9445, 46, 93rexlimd 3227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9544, 94mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
96 eliun 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9795, 96sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9897ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9998reximdva 3184 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10024, 99mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
101 eliun 4885 . . . . . 6 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
102100, 101sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
103102ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10496rexbii 3161 . . . . . . . . 9 (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
105101, 104bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
106105biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
107106adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
10888biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
109108simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
1101093ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
111 elinel1 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
112111adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
113112, 8syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114109, 113sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151143adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116109, 16sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1171163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118115, 117readdcld 10748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120119, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121 ssrab2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
12373adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124122, 123eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125121, 124sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
1261253ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
12728ssriv 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
128127sseli 3873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129126, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130120, 129readdcld 10748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132108simprld 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
1331323ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134108simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
1351343ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136115, 117, 120, 129, 133, 135ltadd12dd 42420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137 rabidim2 42190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138124, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
1391383ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140118, 130, 131, 136, 139lttrd 10879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141110, 140jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142141, 4sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
1431423exp 1120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144143rexlimdvv 3203 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145144adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146107, 145mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147146ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148103, 147impbid 215 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
1491, 148alrimi 2215 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
150 nfrab1 3287 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151 nfcv 2899 . . . 4 𝑥
152 nfcv 2899 . . . . 5 𝑥(𝐾𝑝)
153 nfrab1 3287 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
154152, 153nfiun 4911 . . . 4 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
155151, 154nfiun 4911 . . 3 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
156150, 155cleqf 2930 . 2 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
157149, 156sylibr 237 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2114  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  cin 3842   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614   + caddc 10618  *cxr 10752   < clt 10753  cmin 10948  cq 12430  (,)cioo 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-ioo 12825
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  43838
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