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Theorem smfaddlem1 44994
Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem1.x 𝑥𝜑
smfaddlem1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞   𝐷,𝑝,𝑞   𝑥,𝐾   𝑅,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝑥,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem1
StepHypRef Expression
1 smfaddlem1.x . . 3 𝑥𝜑
2 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3 inss1 4188 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
4 rabid 3427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
54simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
63, 5sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥𝐴)
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥𝐴)
8 smfaddlem1.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 smfaddlem1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
15 smfaddlem1.d . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1614, 15syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
175, 16sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1812, 17resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ)
1918rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
204simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
229, 17, 12ltaddsubd 11755 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅𝐵 < (𝑅𝐷)))
2321, 22mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅𝐷))
2410, 19, 23qelioo 43774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
2517rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
2711ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28 qre 12878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
3130rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
33 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
3512adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
3617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
3710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3819adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑅𝐷) ∈ ℝ*)
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
40 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑝 < (𝑅𝐷))
4234, 35, 36, 41ltsub13d 11761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐷 < (𝑅𝑝))
4426, 32, 43qelioo 43774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
45 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑞(((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)))
46 nfre1 3268 . . . . . . . . . . . 12 𝑞𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
47 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49483ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50353adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51333ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
5250, 51resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ)
53253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5452rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
55 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
56 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5753, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 < (𝑅𝑝))
5849, 52, 51, 57ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅𝑝)))
5951recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
6050recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
6159, 60pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + (𝑅𝑝)) = 𝑅)
6258, 61breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6362ad5ant135 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
6447, 63jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65 rabid 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68 qex 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ∈ V
6968rabex 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71 smfaddlem1.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7271fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7367, 70, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7473ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
7566, 74eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
76 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
7776, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
78 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐷) ∈ ℝ*𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
7937, 38, 39, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
8079ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
8125ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑅𝑝) ∈ ℝ*)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)))
84 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑝) ∈ ℝ*𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8685ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
8777, 80, 86jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
88 rabid 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
8987, 88sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
90 rspe 3232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ (𝐾𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9175, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9291ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9392ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})))
9445, 46, 93rexlimd 3249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9544, 94mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
96 eliun 4958 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9795, 96sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷))) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
9897ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
9998reximdva 3165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10024, 99mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
101 eliun 4958 . . . . . 6 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
102100, 101sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
103102ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
10496rexbii 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
105101, 104bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
106105biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
107106adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
10888biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)))
109108simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
1101093ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐶))
111 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
112111adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
113112, 8syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114109, 113sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151143adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116109, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
1171163adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118115, 117readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120119, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
12373adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124122, 123eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125121, 124sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
1261253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
12728ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
128127sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129126, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130120, 129readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132108simprld 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
1331323ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134108simprrd 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
1351343ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136115, 117, 120, 129, 133, 135ltadd12dd 43567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137 rabidim2 43302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138124, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
1391383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140118, 130, 131, 136, 139lttrd 11316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141110, 140jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142141, 4sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
1431423exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144143rexlimdvv 3204 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145144adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146107, 145mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147146ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148103, 147impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
1491, 148alrimi 2206 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
150 nfrab1 3426 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151 nfcv 2907 . . . 4 𝑥
152 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥(𝐾𝑝)
153 nfrab1 3426 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
154152, 153nfiun 4984 . . . 4 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
155151, 154nfiun 4984 . . 3 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
156150, 155cleqf 2938 . 2 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}))
157149, 156sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385  cq 12873  (,)cioo 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13268
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  44995
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