Theorem ltrnmw 38720

Description: Property of lattice translation value. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. TODO: Can this be used in more places? (Contributed by NM, 20-May-2012.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnmw.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnmw.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
ltrnmw.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
ltrnmw.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnmw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnmw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnmw	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∧ 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem ltrnmw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		ltrnmw.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ltrnmw.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		ltrnmw.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		ltrnmw.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	ltrnel 38708	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
7		ltrnmw.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8		ltrnmw.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
9	2, 7, 8, 3, 4	lhpmat 38599	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∧ 𝑊) = 0 )
10	1, 6, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∧ 𝑊) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  lecple 17169  meetcmee 18230  0.cp0 18341  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-lat 18350  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674

This theorem is referenced by:  cdlemg2m  39173