Theorem lhpmat 40024

Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom not under it, equals the lattice zero. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem lhpmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
2		hlatl 39353	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		lhpmat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 39992	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		lhpmat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		lhpmat.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		lhpmat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
12		lhpmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	5, 9, 10, 11, 12	atnle 39310	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))
14	3, 4, 8, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))
15	1, 14	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  meetcmee 18273  0.cp0 18382  Atomscatm 39256  AtLatcal 39257  HLchlt 39343  LHypclh 39978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-lhyp 39982

This theorem is referenced by:  lhpmatb  40025  lhp2at0  40026  lhpelim  40031  lhple  40036  idltrn  40144  ltrnmw  40145  trl0  40164  cdleme0e  40211  cdleme2  40222  cdleme7c  40239  cdleme22d  40337  cdlemefrs29pre00  40389  cdlemefrs29bpre0  40390  cdlemefrs29cpre1  40392  cdleme32fva  40431  cdleme35d  40446  cdleme42ke  40479  cdlemeg46frv  40519  cdleme50trn3  40547  cdlemg2fv2  40594  cdlemg8a  40621  cdlemg10bALTN  40630  cdlemh2  40810  cdlemk9  40833  cdlemk9bN  40834  dia2dimlem1  41058  dihvalcqat  41233  dihjatc1  41305