Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmat 40032
Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom not under it, equals the lattice zero. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l = (le‘𝐾)
lhpmat.m = (meet‘𝐾)
lhpmat.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem lhpmat
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
2 hlatl 39361 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
32ad2antrr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simprl 771 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 lhpmat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 40000 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
87ad2antlr 727 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 lhpmat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 lhpmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
11 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
12 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
135, 9, 10, 11, 12atnle 39318 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
143, 4, 8, 13syl3anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
151, 14mpbid 232 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990
This theorem is referenced by:  lhpmatb  40033  lhp2at0  40034  lhpelim  40039  lhple  40044  idltrn  40152  ltrnmw  40153  trl0  40172  cdleme0e  40219  cdleme2  40230  cdleme7c  40247  cdleme22d  40345  cdlemefrs29pre00  40397  cdlemefrs29bpre0  40398  cdlemefrs29cpre1  40400  cdleme32fva  40439  cdleme35d  40454  cdleme42ke  40487  cdlemeg46frv  40527  cdleme50trn3  40555  cdlemg2fv2  40602  cdlemg8a  40629  cdlemg10bALTN  40638  cdlemh2  40818  cdlemk9  40841  cdlemk9bN  40842  dia2dimlem1  41066  dihvalcqat  41241  dihjatc1  41313
  Copyright terms: Public domain W3C validator