Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmat 38522
Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom not under it, equals the lattice zero. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lhpmat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpmat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = 0 )

Proof of Theorem lhpmat
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 hlatl 37851 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
32ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 lhpmat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
75, 6lhpbase 38490 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87ad2antlr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 lhpmat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 lhpmat.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
12 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
135, 9, 10, 11, 12atnle 37808 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š ↔ (𝑃 ∧ π‘Š) = 0 ))
143, 4, 8, 13syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š ↔ (𝑃 ∧ π‘Š) = 0 ))
151, 14mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  meetcmee 18208  0.cp0 18319  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  lhpmatb  38523  lhp2at0  38524  lhpelim  38529  lhple  38534  idltrn  38642  ltrnmw  38643  trl0  38662  cdleme0e  38709  cdleme2  38720  cdleme7c  38737  cdleme22d  38835  cdlemefrs29pre00  38887  cdlemefrs29bpre0  38888  cdlemefrs29cpre1  38890  cdleme32fva  38929  cdleme35d  38944  cdleme42ke  38977  cdlemeg46frv  39017  cdleme50trn3  39045  cdlemg2fv2  39092  cdlemg8a  39119  cdlemg10bALTN  39128  cdlemh2  39308  cdlemk9  39331  cdlemk9bN  39332  dia2dimlem1  39556  dihvalcqat  39731  dihjatc1  39803
  Copyright terms: Public domain W3C validator