Theorem lhpmat 41055

Description: An element covered by the lattice unity, when conjoined with an atom not under it, equals the lattice zero. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem lhpmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
2		hlatl 40385	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	2	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		lhpmat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 41023	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		lhpmat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		lhpmat.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		lhpmat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
12		lhpmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	5, 9, 10, 11, 12	atnle 40342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))
14	3, 4, 8, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 ))
15	1, 14	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  lecple 17415  meetcmee 18466  0.cp0 18575  Atomscatm 40288  AtLatcal 40289  HLchlt 40375  LHypclh 41009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-lat 18586  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-lhyp 41013

This theorem is used by:  lhpmatb  41056  lhp2at0  41057  lhpelim  41062  lhple  41067  idltrn  41175  ltrnmw  41176  trl0  41195  cdleme0e  41242  cdleme2  41253  cdleme7c  41270  cdleme22d  41368  cdlemefrs29pre00  41420  cdlemefrs29bpre0  41421  cdlemefrs29cpre1  41423  cdleme32fva  41462  cdleme35d  41477  cdleme42ke  41510  cdlemeg46frv  41550  cdleme50trn3  41578  cdlemg2fv2  41625  cdlemg8a  41652  cdlemg10bALTN  41661  cdlemh2  41841  cdlemk9  41864  cdlemk9bN  41865  dia2dimlem1  42089  dihvalcqat  42264  dihjatc1  42336