Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmat 37202
 Description: An element covered by the lattice unit, when conjoined with an atom not under it, equals the lattice zero. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l = (le‘𝐾)
lhpmat.m = (meet‘𝐾)
lhpmat.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem lhpmat
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
2 hlatl 36532 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
32ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 lhpmat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 37170 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
87ad2antlr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 lhpmat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 lhpmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
11 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
12 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
135, 9, 10, 11, 12atnle 36489 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
143, 4, 8, 13syl3anc 1367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
151, 14mpbid 234 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  lecple 16551  meetcmee 17534  0.cp0 17626  Atomscatm 36435  AtLatcal 36436  HLchlt 36522  LHypclh 37156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-lat 17635  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-lhyp 37160 This theorem is referenced by:  lhpmatb  37203  lhp2at0  37204  lhpelim  37209  lhple  37214  idltrn  37322  ltrnmw  37323  trl0  37342  cdleme0e  37389  cdleme2  37400  cdleme7c  37417  cdleme22d  37515  cdlemefrs29pre00  37567  cdlemefrs29bpre0  37568  cdlemefrs29cpre1  37570  cdleme32fva  37609  cdleme35d  37624  cdleme42ke  37657  cdlemeg46frv  37697  cdleme50trn3  37725  cdlemg2fv2  37772  cdlemg8a  37799  cdlemg10bALTN  37808  cdlemh2  37988  cdlemk9  38011  cdlemk9bN  38012  dia2dimlem1  38236  dihvalcqat  38411  dihjatc1  38483
 Copyright terms: Public domain W3C validator