Theorem mamuass 22421

Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamuass.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamuass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamuass.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuass.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamuass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
mamuass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑂 × 𝑃)))
mamuass.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuass.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩)
mamuass.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamuass.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑂, 𝑃⟩)

Assertion

Ref	Expression
mamuass	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)))

Proof of Theorem mamuass

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mamucl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ringcmnd 20297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
5		mamuass.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑂 ∈ Fin)
7		mamuass.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
9		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mamuass.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		elmapi 8887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
17	14, 15, 16	fovcdmd 7604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵)
18	17	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵)
19		mamuass.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
20		elmapi 8887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
23		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
24		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑂)
25	22, 23, 24	fovcdmd 7604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
26		mamuass.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑂 × 𝑃)))
27		elmapi 8887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑂 × 𝑃)) → 𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑗 ∈ 𝑂)
31		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑘 ∈ 𝑃)
32	29, 30, 31	fovcdmd 7604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
33	32	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
34	1, 9, 10, 25, 33	ringcld 20276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
35	1, 9, 10, 18, 34	ringcld 20276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∈ 𝐵)
36	1, 4, 6, 8, 35	gsumcom3fi 20011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
37		mamuass.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
38	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
39		mamuass.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑀 ∈ Fin)
41	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑁 ∈ Fin)
42	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
43	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
44	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
45		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑖 ∈ 𝑀)
46	37, 1, 9, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 30	mamufv 22413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗)))))
47	46	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
48		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49	1, 9, 10, 18, 25	ringcld 20276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
50	49	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
51		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗)))
52		ovexd 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ V)
53		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (0g‘𝑅) ∈ V)
54	51, 41, 52, 53	fsuppmptdm 9413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
55	1, 48, 9, 38, 41, 32, 50, 54	gsummulc1 20329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
56	1, 9	ringass 20270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵 ∧ (𝑙𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
57	10, 18, 25, 33, 56	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
58	57	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
59	58	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
60	59	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
61	47, 55, 60	3eqtr2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
62	61	mpteq2dva 5247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))))
63	62	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
64		mamuass.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑂, 𝑃⟩)
65	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
66	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
67	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ Fin)
68		mamuass.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Fin)
70	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
71	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑂 × 𝑃)))
72		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑃)
73	64, 1, 9, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 16, 72	mamufv 22413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
74	73	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
75	34	anass1rs 655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
76		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
77		ovexd 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
78		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
79	76, 67, 77, 78	fsuppmptdm 9413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
80	1, 48, 9, 65, 67, 17, 75, 79	gsummulc2 20330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
81	74, 80	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
82	81	mpteq2dva 5247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))))
83	82	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
84	36, 63, 83	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))))
85		mamuass.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩)
86	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
87	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑀 ∈ Fin)
88	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑃 ∈ Fin)
89	1, 2, 37, 39, 7, 5, 11, 19	mamucl 22420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
90	89	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
91	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑂 × 𝑃)))
92		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
93		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑃)
94	85, 1, 9, 86, 87, 6, 88, 90, 91, 92, 93	mamufv 22413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
95		mamuass.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
96	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
97	1, 2, 64, 7, 5, 68, 19, 26	mamucl 22420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
98	97	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑌𝐼𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
99	95, 1, 9, 86, 87, 8, 88, 96, 98, 92, 93	mamufv 22413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))))
100	84, 94, 99	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘))
101	100	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘))
102	1, 2, 85, 39, 5, 68, 89, 26	mamucl 22420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))
103		elmapi 8887	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
104		ffn 6736	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃))
105	102, 103, 104	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃))
106	1, 2, 95, 39, 7, 68, 11, 97	mamucl 22420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))
107		elmapi 8887	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
108		ffn 6736	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃))
109	106, 107, 108	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃))
110		eqfnov2 7562	. . 3 ⊢ ((((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃) ∧ (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃)) → (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘)))
111	105, 109, 110	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘)))
112	101, 111	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ⟨cotp 4638   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250   maMul cmmul 22409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-mamu 22410

This theorem is referenced by:  matring  22464