MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuass 22346
Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamuass.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamuass.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamuass.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuass.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamuass.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuass.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
mamuass.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑂 × 𝑃)))
mamuass.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuass.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩)
mamuass.h 𝐻 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamuass.i 𝐼 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑂, 𝑃⟩)
Assertion
Ref Expression
mamuass (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)))

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
32ringcmnd 20232 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
5 mamuass.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
65adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑂 ∈ Fin)
7 mamuass.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
102ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
12 elmapi 8868 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1413ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑖𝑀)
16 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
1714, 15, 16fovcdmd 7593 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵)
1817adantrl 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → (𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵)
19 mamuass.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
20 elmapi 8868 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
23 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → 𝑙𝑁)
24 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → 𝑗𝑂)
2522, 23, 24fovcdmd 7593 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → (𝑙𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
26 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑂 × 𝑃)))
27 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑂 × 𝑃)) → 𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑍:(𝑂 × 𝑃)⟶𝐵)
30 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑗𝑂)
31 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑘𝑃)
3229, 30, 31fovcdmd 7593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
3332adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
341, 9, 10, 25, 33ringcld 20211 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
351, 9, 10, 18, 34ringcld 20211 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∈ 𝐵)
361, 4, 6, 8, 35gsumcom3fi 19946 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
37 mamuass.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
382ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
39 mamuass.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑀 ∈ Fin)
417ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑁 ∈ Fin)
425ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑂 ∈ Fin)
4311ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
4419ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
45 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → 𝑖𝑀)
4637, 1, 9, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 30mamufv 22338 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗)))))
4746oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
48 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
491, 9, 10, 18, 25ringcld 20211 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
5049anassrs 466 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
51 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))) = (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗)))
52 ovexd 7454 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗)) ∈ V)
53 fvexd 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (0g𝑅) ∈ V)
5451, 41, 52, 53fsuppmptdm 9401 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))) finSupp (0g𝑅))
551, 48, 9, 38, 41, 32, 50, 54gsummulc1 20264 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
561, 9ringass 20205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑙) ∈ 𝐵 ∧ (𝑙𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5710, 18, 25, 33, 56syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ (𝑗𝑂𝑙𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5857anassrs 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) ∧ 𝑙𝑁) → (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5958mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑙𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6059oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
6147, 55, 603eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑂) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
6261mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))))
6362oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
64 mamuass.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑂, 𝑃⟩)
652ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
667ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
675ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑂 ∈ Fin)
68 mamuass.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Fin)
7019ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7126ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑂 × 𝑃)))
72 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑘𝑃)
7364, 1, 9, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 16, 72mamufv 22338 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7473oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7534anass1rs 653 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) ∧ 𝑗𝑂) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
76 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
77 ovexd 7454 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) ∧ 𝑗𝑂) → ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
78 fvexd 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
7976, 67, 77, 78fsuppmptdm 9401 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
801, 48, 9, 65, 67, 17, 75, 79gsummulc2 20265 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
8174, 80eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
8281mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘))) = (𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))))
8382oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)((𝑙𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))))
8436, 63, 833eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))))
85 mamuass.g . . . . 5 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩)
862adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
8739adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑀 ∈ Fin)
8868adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑃 ∈ Fin)
891, 2, 37, 39, 7, 5, 11, 19mamucl 22345 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
9089adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
9126adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑂 × 𝑃)))
92 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑖𝑀)
93 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑘𝑃)
9485, 1, 9, 86, 87, 6, 88, 90, 91, 92, 93mamufv 22338 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑂 ↦ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
95 mamuass.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
9611adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
971, 2, 64, 7, 5, 68, 19, 26mamucl 22345 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
9897adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑌𝐼𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
9995, 1, 9, 86, 87, 8, 88, 96, 98, 92, 93mamufv 22338 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙(𝑌𝐼𝑍)𝑘)))))
10084, 94, 993eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘))
101100ralrimivva 3190 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘))
1021, 2, 85, 39, 5, 68, 89, 26mamucl 22345 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
103 elmapi 8868 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
104 ffn 6723 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃))
105102, 103, 1043syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃))
1061, 2, 95, 39, 7, 68, 11, 97mamucl 22345 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
107 elmapi 8868 . . . 4 ((𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
108 ffn 6723 . . . 4 ((𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃))
109106, 107, 1083syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃))
110 eqfnov2 7551 . . 3 ((((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) Fn (𝑀 × 𝑃) ∧ (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑃)) → (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘)))
111105, 109, 110syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑖((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍)𝑘) = (𝑖(𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍))𝑘)))
112101, 111mpbird 256 1 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)𝐺𝑍) = (𝑋𝐻(𝑌𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  cotp 4638  cmpt 5232   × cxp 5676   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  CMndccmn 19747  Ringcrg 20185   maMul cmmul 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-mamu 22335
This theorem is referenced by:  matring  22389
  Copyright terms: Public domain W3C validator