Theorem decpmatmullem 22120

Description: Lemma for decpmatmul 22121. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmatmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
decpmatmullem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		decpmatmul.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		decpmatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5	3, 4	pmatring 22041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		decpmatmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
13	11, 12	ringcl 19981	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16		simp33 1211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		3simpa 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
18	17	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
19	3, 4, 11	decpmate 22115	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
20	2, 15, 16, 18, 19	syl31anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
21	3	ply1ring 21619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
23	4, 22	matmulr 21787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐶))
24	23	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
25	21, 24	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
27	26	oveqd 7374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
28	27	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34	33	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
35	4, 29	matbas2 21770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
36	11, 35	eqtr4id 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
37	21, 36	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38	37	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈 ∈ 𝐵 ↔ 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
39	38	biimpcd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
41	40	impcom 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
43	21, 35	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
44	11, 43	eqtr4id 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
45	44	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
46	45	biimpcd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
48	47	impcom 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
49	48	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		simp31 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simp32 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	22, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51	mamufv 21736	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
53	28, 52	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
54	53	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
55	54	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
56	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
57	50	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
58		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ 𝑁)
59		simpl2l 1226	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ 𝐵)
60	4, 29, 11, 57, 58, 59	matecld 21775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
61	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpl2r 1227	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ 𝐵)
63	4, 29, 11, 58, 61, 62	matecld 21775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
64	29, 30	ringcl 19981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
65	56, 60, 63, 64	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
66	65	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡 ∈ 𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
67	3, 29, 2, 16, 66, 34	coe1fzgsumd 21673	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68		simpl1r 1225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
70	3, 30, 69, 29	coe1mul 21641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
71	68, 60, 63, 70	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
72		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))
74	73	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))
75	72, 74	mpteq12dv 5196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))
76	75	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
77	76	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
78	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
79		ovexd 7392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))) ∈ V)
80	71, 77, 78, 79	fvmptd 6955	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
81	80	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))))
82	81	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
83	67, 82	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
84	20, 55, 83	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ⟨cotp 4594   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051   − cmin 11385  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   Σ_g cgsu 17322  Ringcrg 19964  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754   decompPMat cdecpmat 22111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-decpmat 22112

This theorem is referenced by:  decpmatmul  22121