Theorem decpmatmullem 22893

Description: Lemma for decpmatmul 22894. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmatmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
decpmatmullem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		decpmatmul.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		decpmatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5	3, 4	pmatring 22814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		decpmatmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
13	11, 12	ringcl 20328	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16		simp33 1228	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		3simpa 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
18	17	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
19	3, 4, 11	decpmate 22888	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
20	2, 15, 16, 18, 19	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
21	3	ply1ring 22372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
23	4, 22	matmulr 22560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐶))
24	23	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
25	21, 24	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26	25	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
27	26	oveqd 7425	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
28	27	oveqd 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	21	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32	31	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34	33	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
35	4, 29	matbas2 22543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
36	11, 35	eqtr4id 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
37	21, 36	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38	37	eleq2d 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈 ∈ 𝐵 ↔ 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
39	38	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
40	39	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
41	40	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
43	21, 35	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
44	11, 43	eqtr4id 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
45	44	eleq2d 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
46	45	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
47	46	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
48	47	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
49	48	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		simp31 1226	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simp32 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	22, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51	mamufv 22516	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
53	28, 52	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
54	53	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
55	54	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
56	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
57	50	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
58		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ 𝑁)
59		simpl2l 1243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ 𝐵)
60	4, 29, 11, 57, 58, 59	matecld 22548	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
61	51	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpl2r 1244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ 𝐵)
63	4, 29, 11, 58, 61, 62	matecld 22548	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
64	29, 30	ringcl 20328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
65	56, 60, 63, 64	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
66	65	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡 ∈ 𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
67	3, 29, 2, 16, 66, 34	coe1fzgsumd 22429	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68		simpl1r 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
70	3, 30, 69, 29	coe1mul 22396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
71	68, 60, 63, 70	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
72		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73		fvoveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))
74	73	oveq2d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))
75	72, 74	mpteq12dv 5199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))
76	75	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
77	76	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
78	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
79		ovexd 7443	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))) ∈ V)
80	71, 77, 78, 79	fvmptd 6995	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
81	80	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))))
82	81	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
83	67, 82	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
84	20, 55, 83	3eqtrd 2808	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11096   − cmin 11437  ℕ₀cn0 12500  ...cfz 13531  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307   Σ_g cgsu 17489  Ringcrg 20311  Poly₁cpl1 22302  coe₁cco1 22303   maMul cmmul 22512   Mat cmat 22529   decompPMat cdecpmat 22884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-psr1 22305  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-mamu 22513  df-mat 22530  df-decpmat 22885

This theorem is referenced by:  decpmatmul  22894