Theorem decpmatmullem 21522

Description: Lemma for decpmatmul 21523. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmatmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
decpmatmullem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		decpmatmul.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		decpmatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5	3, 4	pmatring 21443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		decpmatmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
13	11, 12	ringcl 19433	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16		simp33 1212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		3simpa 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
18	17	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
19	3, 4, 11	decpmate 21517	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
20	2, 15, 16, 18, 19	syl31anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
21	3	ply1ring 21023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
23	4, 22	matmulr 21189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐶))
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
25	21, 24	sylan2 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r‘𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
27	26	oveqd 7187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r‘𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
28	27	oveqd 7187	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34	33	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
35	4, 29	matbas2 21172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
36	11, 35	eqtr4id 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
37	21, 36	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38	37	eleq2d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈 ∈ 𝐵 ↔ 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
39	38	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
40	39	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
41	40	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42	41	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
43	21, 35	sylan2 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
44	11, 43	eqtr4id 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
45	44	eleq2d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
46	45	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
47	46	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
48	47	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
49	48	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		simp31 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simp32 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	22, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51	mamufv 21140	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
53	28, 52	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
54	53	fveq2d 6678	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
55	54	fveq1d 6676	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r‘𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
56	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
57	50	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
58		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ 𝑁)
59		simpl2l 1227	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ 𝐵)
60	4, 29, 11, 57, 58, 59	matecld 21177	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
61	51	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ 𝐵)
63	4, 29, 11, 58, 61, 62	matecld 21177	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
64	29, 30	ringcl 19433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
65	56, 60, 63, 64	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
66	65	ralrimiva 3096	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡 ∈ 𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
67	3, 29, 2, 16, 66, 34	coe1fzgsumd 21077	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68		simpl1r 1226	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
70	3, 30, 69, 29	coe1mul 21045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
71	68, 60, 63, 70	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))))))
72		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73		fvoveq1 7193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))
74	73	oveq2d 7186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))
75	72, 74	mpteq12dv 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))
76	75	oveq2d 7186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
77	76	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
78	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
79		ovexd 7205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))) ∈ V)
80	71, 77, 78, 79	fvmptd 6782	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))
81	80	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙)))))))
82	81	oveq2d 7186	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
83	67, 82	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r‘𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))
84	20, 55, 83	3eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r‘𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r‘𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾 − 𝑙))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ⟨cotp 4524   ↦ cmpt 5110   × cxp 5523  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437  Fincfn 8555  0cc0 10615   − cmin 10948  ℕ₀cn0 11976  ...cfz 12981  Basecbs 16586  ._rcmulr 16669   Σ_g cgsu 16817  Ringcrg 19416  Poly₁cpl1 20952  coe₁cco1 20953   maMul cmmul 21136   Mat cmat 21158   decompPMat cdecpmat 21513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957  df-coe1 20958  df-mamu 21137  df-mat 21159  df-decpmat 21514

This theorem is referenced by:  decpmatmul  21523