MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatmullem 22493
Description: Lemma for decpmatmul 22494. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmatmul.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
decpmatmullem (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1131 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 decpmatmul.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 decpmatmul.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
53, 4pmatring 22414 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
65adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑈𝐵)
87adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈𝐵)
9 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑊𝐵)
109adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
11 decpmatmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
12 eqid 2730 . . . . . 6 (.r𝐶) = (.r𝐶)
1311, 12ringcl 20144 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐵𝑊𝐵) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
146, 8, 10, 13syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15143adant3 1130 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16 simp33 1209 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 3simpa 1146 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
18173ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
193, 4, 11decpmate 22488 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
202, 15, 16, 18, 19syl31anc 1371 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
213ply1ring 21990 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
234, 22matmulr 22160 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐶))
2423eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2521, 24sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26253ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2726oveqd 7428 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
2827oveqd 7428 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29 eqid 2730 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30 eqid 2730 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3121adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32313ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34333ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
354, 29matbas2 22143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
3611, 35eqtr4id 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
3721, 36sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
3837eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈𝐵𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
3938biimpcd 248 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
4140impcom 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
42413adant3 1130 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
4321, 35sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
4411, 43eqtr4id 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
4544eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊𝐵𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
4645biimpcd 248 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
4847impcom 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
49483adant3 1130 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50 simp31 1207 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼𝑁)
51 simp32 1208 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽𝑁)
5222, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51mamufv 22109 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5328, 52eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5453fveq2d 6894 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
5554fveq1d 6892 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
5632adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5750adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐼𝑁)
58 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑡𝑁)
59 simpl2l 1224 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑈𝐵)
604, 29, 11, 57, 58, 59matecld 22148 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
6151adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐽𝑁)
62 simpl2r 1225 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑊𝐵)
634, 29, 11, 58, 61, 62matecld 22148 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
6429, 30ringcl 20144 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6556, 60, 63, 64syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6665ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
673, 29, 2, 16, 66, 34coe1fzgsumd 22046 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68 simpl1r 1223 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69 eqid 2730 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
703, 30, 69, 29coe1mul 22012 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
7168, 60, 63, 70syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
72 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))
7473oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))
7572, 74mpteq12dv 5238 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))
7675oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7776adantl 480 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7816adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
79 ovexd 7446 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))) ∈ V)
8071, 77, 78, 79fvmptd 7004 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
8180mpteq2dva 5247 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))))
8281oveq2d 7427 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8367, 82eqtrd 2770 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8420, 55, 833eqtrd 2774 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  cotp 4635  cmpt 5230   × cxp 5673  cfv 6542  (class class class)co 7411  m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  cmin 11448  0cn0 12476  ...cfz 13488  Basecbs 17148  .rcmulr 17202   Σg cgsu 17390  Ringcrg 20127  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127   decompPMat cdecpmat 22484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-decpmat 22485
This theorem is referenced by:  decpmatmul  22494
  Copyright terms: Public domain W3C validator