Theorem mamuvs2 22544

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamuvs2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs2.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mamuvs2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simplrr 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
4		opelxpi 5700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6		mamuvs2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamuvs2.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
8		xpfi 9280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11		mamuvs2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		mamuvs2.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
14		elmapi 8847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15		ffn 6707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
17	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18		df-ov 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
19	18	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
21	10, 12, 17, 20	ofc1 7704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
22	5, 21	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
23	1, 22	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
24	23	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25		mamuvs2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
27	26	crngmgp 20324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	25, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30		mamuvs2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
31		elmapi 8847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
33	32	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34		simplrl 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
35	33, 34, 2	fovcdmd 7584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
36	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
38	37, 2, 3	fovcdmd 7584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39		mamuvs2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40	26, 39	mgpbas 20222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41		mamuvs2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	26, 41	mgpplusg 20221	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
43	40, 42	cmn12 19873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
44	29, 35, 12, 38, 43	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
45	24, 44	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
46	45	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
47	46	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		crngring 20328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	25, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	50	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
52	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
53	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
54	50	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
55	39, 41, 54, 35, 38	ringcld 20343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
56		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
57		ovexd 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
58		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
59	56, 52, 57, 58	fsuppmptdm 9337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
60	39, 48, 41, 51, 52, 53, 55, 59	gsummulc2 20399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
61	47, 60	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
62		mamuvs2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
63	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
64		mamuvs2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
65	64	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
66	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
67	30	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
68		fconst6g 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
69	11, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
70	39	fvexi 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
71		elmapg 8837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
72	70, 9, 71	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
74	39, 41	ringvcl 22538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
75	50, 73, 13, 74	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
76	75	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
77		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
78		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
79	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 76, 77, 78	mamufv 22532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))))
80		df-ov 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
81		opelxpi 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
82	81	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
83		xpfi 9280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
84	64, 7, 83	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
85	84	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
86	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 13	mamucl 22539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
87		elmapi 8847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88		ffn 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
89	86, 87, 88	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
90	89	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91		df-ov 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
92	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
93	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 92, 77, 78	mamufv 22532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
94	91, 93	eqtr3id 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
95	94	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
96	85, 53, 90, 95	ofc1 7704	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
97	82, 96	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
98	80, 97	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
99	61, 79, 98	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
100	99	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
101	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 75	mamucl 22539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102		elmapi 8847	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
103		ffn 6707	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
104	101, 102, 103	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
105		fconst6g 6769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
106	11, 105	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
107		elmapg 8837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
108	70, 84, 107	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
109	106, 108	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
110	39, 41	ringvcl 22538	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
111	50, 109, 86, 110	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
112		elmapi 8847	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
113		ffn 6707	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
114	111, 112, 113	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115		eqfnov2 7542	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
116	104, 114, 115	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117	100, 116	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  {csn 4590  ⟨cop 4596  ⟨cotp 4598   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  CMndccmn 19851  mulGrpcmgp 20217  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317   maMul cmmul 22528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-mamu 22529

This theorem is referenced by:  matassa  22582