MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs2 21753
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t · = (.r𝑅)
mamuvs2.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y (𝜑𝑌𝐵)
mamuvs2.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs2 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
4 opelxpi 5670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑁𝑘𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
8 xpfi 9261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐵)
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
14 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
1918eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
2110, 12, 17, 20ofc1 7643 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
225, 21mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
231, 22eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
2423oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
26 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2726crngmgp 19972 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
31 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
3533, 34, 2fovcdmd 7526 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
3613, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3837, 2, 3fovcdmd 7526 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
4026, 39mgpbas 19902 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
4226, 41mgpplusg 19900 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4340, 42cmn12 19584 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4524, 44eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4645mpteq2dva 5205 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
4746oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
50 crngring 19976 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5125, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
536adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
5411adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌𝐵)
5551ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
5639, 41ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
5755, 35, 38, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
58 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
59 ovexd 7392 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
60 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
6158, 53, 59, 60fsuppmptdm 9316 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
6239, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 61gsummulc2 20031 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6347, 62eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
64 mamuvs2.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
6525adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
66 mamuvs2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6766adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
687adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6930adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
70 fconst6g 6731 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7111, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7239fvexi 6856 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
73 elmapg 8778 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7472, 9, 73sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7571, 74mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7639, 41ringvcl 21747 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7751, 75, 13, 76syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7877adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
79 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
80 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
8164, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 78, 79, 80mamufv 21736 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))))
82 df-ov 7360 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
83 opelxpi 5670 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
8483adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
85 xpfi 9261 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8666, 7, 85syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8839, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 13mamucl 21748 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
89 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90 ffn 6668 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9291adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
9413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
9564, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 94, 79, 80mamufv 21736 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9693, 95eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9796adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9887, 54, 92, 97ofc1 7643 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
9984, 98mpdan 685 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10082, 99eqtrid 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10163, 81, 1003eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
102101ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
10339, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 77mamucl 21748 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
104 elmapi 8787 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105 ffn 6668 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106103, 104, 1053syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107 fconst6g 6731 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
10811, 107syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109 elmapg 8778 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
11072, 86, 109sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
111108, 110mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11239, 41ringvcl 21747 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11351, 111, 88, 112syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
114 elmapi 8787 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
115 ffn 6668 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116113, 114, 1153syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
117 eqfnov2 7486 . . 3 (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118106, 116, 117syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
119102, 118mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  {csn 4586  cop 4592  cotp 4594  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   maMul cmmul 21732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-mamu 21733
This theorem is referenced by:  matassa  21793
  Copyright terms: Public domain W3C validator