Theorem mamuvs2 22453

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamuvs2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs2.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mamuvs2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simplrr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
4		opelxpi 5680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
5	2, 3, 4	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6		mamuvs2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamuvs2.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
8		xpfi 9257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11		mamuvs2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		mamuvs2.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
14		elmapi 8823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15		ffn 6685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
17	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18		df-ov 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
19	18	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
21	10, 12, 17, 20	ofc1 7682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
22	5, 21	mpdan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
23	1, 22	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
24	23	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25		mamuvs2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
27	26	crngmgp 20277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	28	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30		mamuvs2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
31		elmapi 8823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
33	32	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34		simplrl 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
35	33, 34, 2	fovcdmd 7562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
36	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
37	36	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
38	37, 2, 3	fovcdmd 7562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39		mamuvs2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40	26, 39	mgpbas 20181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41		mamuvs2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	26, 41	mgpplusg 20180	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
43	40, 42	cmn12 19832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
44	29, 35, 12, 38, 43	syl13anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
45	24, 44	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
46	45	mpteq2dva 5190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
47	46	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		crngring 20281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	25, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	50	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
52	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
53	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
54	50	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
55	39, 41, 54, 35, 38	ringcld 20296	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
56		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
57		ovexd 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
58		fvexd 6876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
59	56, 52, 57, 58	fsuppmptdm 9315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
60	39, 48, 41, 51, 52, 53, 55, 59	gsummulc2 20351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
61	47, 60	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
62		mamuvs2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
63	25	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
64		mamuvs2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
65	64	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
66	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
67	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
68		fconst6g 6747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
70	39	fvexi 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
71		elmapg 8813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
72	70, 9, 71	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
73	69, 72	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
74	39, 41	ringvcl 22447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
75	50, 73, 13, 74	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
76	75	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
77		simprl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
78		simprr 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
79	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 76, 77, 78	mamufv 22441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))))
80		df-ov 7393	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
81		opelxpi 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
82	81	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
83		xpfi 9257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
84	64, 7, 83	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
85	84	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
86	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 13	mamucl 22448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
87		elmapi 8823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88		ffn 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
90	89	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91		df-ov 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
92	13	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
93	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 92, 77, 78	mamufv 22441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
94	91, 93	eqtr3id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
95	94	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
96	85, 53, 90, 95	ofc1 7682	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
97	82, 96	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
98	80, 97	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
99	61, 79, 98	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
100	99	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
101	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 75	mamucl 22448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102		elmapi 8823	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
103		ffn 6685	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
104	101, 102, 103	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
105		fconst6g 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
106	11, 105	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
107		elmapg 8813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
108	70, 84, 107	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
109	106, 108	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
110	39, 41	ringvcl 22447	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
111	50, 109, 86, 110	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
112		elmapi 8823	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
113		ffn 6685	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
114	111, 112, 113	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115		eqfnov2 7520	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
116	104, 114, 115	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117	100, 116	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  {csn 4579  ⟨cop 4585  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7652   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  CMndccmn 19810  mulGrpcmgp 20176  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270   maMul cmmul 22437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-ur 20218  df-ring 20271  df-cring 20272  df-mamu 22438

This theorem is referenced by:  matassa  22491