MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs2 21659
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t · = (.r𝑅)
mamuvs2.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y (𝜑𝑌𝐵)
mamuvs2.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs2 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7345 . . . . . . . . . 10 (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
4 opelxpi 5662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑁𝑘𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
8 xpfi 9187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐵)
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
14 elmapi 8713 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15 ffn 6656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18 df-ov 7345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
1918eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
2110, 12, 17, 20ofc1 7626 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
225, 21mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
231, 22eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
2423oveq2d 7358 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2726crngmgp 19886 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
31 elmapi 8713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
3533, 34, 2fovcdmd 7511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
3613, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3837, 2, 3fovcdmd 7511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
4026, 39mgpbas 19821 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
4226, 41mgpplusg 19819 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4340, 42cmn12 19503 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4524, 44eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4645mpteq2dva 5197 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
4746oveq2d 7358 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
50 crngring 19890 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5125, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
536adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
5411adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌𝐵)
5551ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
5639, 41ringcl 19895 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
5755, 35, 38, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
58 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
59 ovexd 7377 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
60 fvexd 6845 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
6158, 53, 59, 60fsuppmptdm 9242 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
6239, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 61gsummulc2 19941 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6347, 62eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
64 mamuvs2.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
6525adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
66 mamuvs2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6766adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
687adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6930adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
70 fconst6g 6719 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7111, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7239fvexi 6844 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
73 elmapg 8704 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7472, 9, 73sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7571, 74mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7639, 41ringvcl 21653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7751, 75, 13, 76syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7877adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
79 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
80 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
8164, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 78, 79, 80mamufv 21642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))))
82 df-ov 7345 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
83 opelxpi 5662 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
8483adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
85 xpfi 9187 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8666, 7, 85syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8786adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8839, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 13mamucl 21654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
89 elmapi 8713 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90 ffn 6656 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9291adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93 df-ov 7345 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
9413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
9564, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 94, 79, 80mamufv 21642 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9693, 95eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9796adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9887, 54, 92, 97ofc1 7626 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
9984, 98mpdan 685 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10082, 99eqtrid 2789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10163, 81, 1003eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
102101ralrimivva 3194 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
10339, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 77mamucl 21654 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
104 elmapi 8713 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105 ffn 6656 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106103, 104, 1053syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107 fconst6g 6719 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
10811, 107syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109 elmapg 8704 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
11072, 86, 109sylancr 588 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
111108, 110mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11239, 41ringvcl 21653 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11351, 111, 88, 112syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
114 elmapi 8713 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
115 ffn 6656 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116113, 114, 1153syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
117 eqfnov2 7471 . . 3 (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118106, 116, 117syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
119102, 118mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3442  {csn 4578  cop 4584  cotp 4586  cmpt 5180   × cxp 5623   Fn wfn 6479  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  f cof 7598  m cmap 8691  Fincfn 8809  Basecbs 17010  +gcplusg 17060  .rcmulr 17061  0gc0g 17248   Σg cgsu 17249  CMndccmn 19482  mulGrpcmgp 19815  Ringcrg 19878  CRingccrg 19879   maMul cmmul 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-mamu 21639
This theorem is referenced by:  matassa  21699
  Copyright terms: Public domain W3C validator