Theorem mamuvs2 22344

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamuvs2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs2.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mamuvs2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
4		opelxpi 5691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6		mamuvs2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamuvs2.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
8		xpfi 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11		mamuvs2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		mamuvs2.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
14		elmapi 8863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15		ffn 6706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18		df-ov 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
19	18	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
21	10, 12, 17, 20	ofc1 7699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
22	5, 21	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
23	1, 22	eqtrid 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
24	23	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25		mamuvs2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
26		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
27	26	crngmgp 20201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30		mamuvs2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
31		elmapi 8863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
35	33, 34, 2	fovcdmd 7579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
36	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
38	37, 2, 3	fovcdmd 7579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39		mamuvs2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40	26, 39	mgpbas 20105	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41		mamuvs2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	26, 41	mgpplusg 20104	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
43	40, 42	cmn12 19783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
44	29, 35, 12, 38, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
45	24, 44	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
46	45	mpteq2dva 5214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
47	46	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
49		crngring 20205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	25, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
52	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
53	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
54	50	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
55	39, 41, 54, 35, 38	ringcld 20220	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
56		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
57		ovexd 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
58		fvexd 6891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
59	56, 52, 57, 58	fsuppmptdm 9388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
60	39, 48, 41, 51, 52, 53, 55, 59	gsummulc2 20277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
61	47, 60	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
62		mamuvs2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
63	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
64		mamuvs2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
65	64	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
66	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
67	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
68		fconst6g 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
70	39	fvexi 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
71		elmapg 8853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
72	70, 9, 71	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
73	69, 72	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
74	39, 41	ringvcl 22338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
75	50, 73, 13, 74	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
76	75	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
77		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
78		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
79	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 76, 77, 78	mamufv 22332	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)𝑘)))))
80		df-ov 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
81		opelxpi 5691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
82	81	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
83		xpfi 9330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
84	64, 7, 83	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
85	84	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
86	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 13	mamucl 22339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
87		elmapi 8863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88		ffn 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
90	89	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91		df-ov 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
92	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
93	62, 39, 41, 63, 65, 52, 66, 67, 92, 77, 78	mamufv 22332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
94	91, 93	eqtr3id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
95	94	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
96	85, 53, 90, 95	ofc1 7699	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
97	82, 96	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
98	80, 97	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
99	61, 79, 98	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
100	99	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
101	39, 50, 62, 64, 6, 7, 30, 75	mamucl 22339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102		elmapi 8863	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
103		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
104	101, 102, 103	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
105		fconst6g 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
106	11, 105	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
107		elmapg 8853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
108	70, 84, 107	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
109	106, 108	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
110	39, 41	ringvcl 22338	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
111	50, 109, 86, 110	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
112		elmapi 8863	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
113		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
114	111, 112, 113	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115		eqfnov2 7537	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
116	104, 114, 115	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117	100, 116	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘f · (𝑋𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607  ⟨cotp 4609   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  CMndccmn 19761  mulGrpcmgp 20100  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   maMul cmmul 22328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-mamu 22329

This theorem is referenced by:  matassa  22382