MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs2 20703
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mamuvs2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamuvs2.t · = (.r𝑅)
mamuvs2.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamuvs2.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamuvs2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamuvs2.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs2.y (𝜑𝑌𝐵)
mamuvs2.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs2 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7026 . . . . . . . . . 10 (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘) = ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
4 opelxpi 5487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑁𝑘𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
8 xpfi 8642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
109ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
1211ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐵)
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
14 elmapi 8285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
15 ffn 6389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
18 df-ov 7026 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
1918eqcomi 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑗𝑍𝑘))
2110, 12, 17, 20ofc1 7297 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂)) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
225, 21mpdan 683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
231, 22syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘) = (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘)))
2423oveq2d 7039 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))))
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
26 eqid 2797 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2726crngmgp 18999 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2928ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
31 elmapi 8285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
3533, 34, 2fovrnd 7183 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
3613, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3837, 2, 3fovrnd 7183 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
4026, 39mgpbas 18939 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
4226, 41mgpplusg 18937 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4340, 42cmn12 18657 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌 · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4524, 44eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘)) = (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
4645mpteq2dva 5062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
4746oveq2d 7039 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
48 eqid 2797 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2797 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
50 crngring 19002 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5125, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5251adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
536adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
5411adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌𝐵)
5551ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
5639, 41ringcl 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
5755, 35, 38, 56syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
58 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
59 ovexd 7057 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
60 fvexd 6560 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
6158, 53, 59, 60fsuppmptdm 8697 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
6239, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 61gsummulc2 19051 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑌 · ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6347, 62eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘)))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
64 mamuvs2.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
6525adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CRing)
66 mamuvs2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6766adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
687adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6930adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
70 fconst6g 6443 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7111, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
7239fvexi 6559 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
73 elmapg 8276 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7472, 9, 73sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) ↔ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵))
7571, 74mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
7639, 41ringvcl 20695 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂))) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
7751, 75, 13, 76syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
7877adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
79 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
80 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
8164, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 78, 79, 80mamufv 20684 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)𝑘)))))
82 df-ov 7026 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
83 opelxpi 5487 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
8483adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
85 xpfi 8642 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8666, 7, 85syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8839, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 13mamucl 20698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
89 elmapi 8285 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90 ffn 6389 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9291adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93 df-ov 7026 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
9413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
9564, 39, 41, 65, 67, 53, 68, 69, 94, 79, 80mamufv 20684 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9693, 95syl5eqr 2847 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9796adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
9887, 54, 92, 97ofc1 7297 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
9984, 98mpdan 683 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10082, 99syl5eq 2845 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
10163, 81, 1003eqtr4d 2843 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
102101ralrimivva 3160 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
10339, 51, 64, 66, 6, 7, 30, 77mamucl 20698 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
104 elmapi 8285 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105 ffn 6389 . . . 4 ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106103, 104, 1053syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107 fconst6g 6443 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
10811, 107syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109 elmapg 8276 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
11072, 86, 109sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
111108, 110mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
11239, 41ringvcl 20695 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
11351, 111, 88, 112syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
114 elmapi 8285 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
115 ffn 6389 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116113, 114, 1153syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
117 eqfnov2 7144 . . 3 (((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118106, 116, 117syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍))𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
119102, 118mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(((𝑁 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · 𝑍)) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑋𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  Vcvv 3440  {csn 4478  cop 4484  cotp 4486  cmpt 5047   × cxp 5448   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑓 cof 7272  𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  .rcmulr 16399  0gc0g 16546   Σg cgsu 16547  CMndccmn 18637  mulGrpcmgp 18933  Ringcrg 18991  CRingccrg 18992   maMul cmmul 20680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-mamu 20681
This theorem is referenced by:  matassa  20741
  Copyright terms: Public domain W3C validator