Theorem matmulcell 21050

Description: Multiplication in the matrix ring for a single cell of a matrix. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmulcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matmulcell.m	⊢ × = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matmulcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   × (𝑗)

Proof of Theorem matmulcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matmulcell.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matmulcell.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 21017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4		matmulcell.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ × = (.r‘𝐴)
5		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
6	1, 5	matmulr 21043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
7	4, 6	eqtr4id 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
8	7	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
11	10	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
12	11	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
13	12	oveqd 7152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
14	13	oveqd 7152	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽))
15		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18	3	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
21	1, 15, 2	matbas2i 21027	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
22	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23	22	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
24	1, 15, 2	matbas2i 21027	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25	24	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26	25	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
27		simp3l 1198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28		simp3r 1199	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
29	5, 15, 16, 17, 20, 20, 20, 23, 26, 27, 28	mamufv 20994	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
30	14, 29	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558   Σ_g cgsu 16706  Ringcrg 19290   maMul cmmul 20990   Mat cmat 21012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mamu 20991  df-mat 21013

This theorem is referenced by:  mat1mhm  21089  scmatscm  21118  cpmatmcl  21324