Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulcell 21054
 Description: Multiplication in the matrix ring for a single cell of a matrix. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matmulcell.m × = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
matmulcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   × (𝑗)

Proof of Theorem matmulcell
StepHypRef Expression
1 matmulcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matmulcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21021 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
51, 4matmulr 21047 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
6 matmulcell.m . . . . . . . . . 10 × = (.r𝐴)
75, 6syl6reqr 2878 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
87a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
1110impcom 411 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
12113adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
1312oveqd 7166 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
1413oveqd 7166 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽))
15 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2824 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
17 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
183simpld 498 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
1918adantr 484 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20193ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
211, 15, 2matbas2i 21031 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
2221adantr 484 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23223ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
241, 15, 2matbas2i 21031 . . . . 5 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
2524adantl 485 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26253ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
27 simp3l 1198 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
28 simp3r 1199 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
294, 15, 16, 17, 20, 20, 20, 23, 26, 27, 28mamufv 20998 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
3014, 29eqtrd 2859 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ⟨cotp 4558   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505  Basecbs 16483  .rcmulr 16566   Σg cgsu 16714  Ringcrg 19297   maMul cmmul 20994   Mat cmat 21016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017 This theorem is referenced by:  mat1mhm  21093  scmatscm  21122  cpmatmcl  21327
 Copyright terms: Public domain W3C validator