Theorem mamudm 22280

Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)

Assertion

Ref	Expression
mamudm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamudm.m	. . . 4 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mamufval 22277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
9	8	dmeqd 5848	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10		mpoexga 8012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11	10	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
13	12	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
14	13	ralrimivv 3170	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
16	15	dmmpoga 8008	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
17	14, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
18		xpfi 9209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20		mamudm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
21	20, 2	frlmfibas 21669	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
22	19, 21	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23		mamudm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
24	22, 23	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25		xpfi 9209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26	25	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27		mamudm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
28	27, 2	frlmfibas 21669	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
29	26, 28	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30		mamudm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
31	29, 30	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
32	24, 31	xpeq12d 5650	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
33	9, 17, 32	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   Σ_g cgsu 17344   freeLMod cfrlm 21653   maMul cmmul 22275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-mamu 22276

This theorem is referenced by:  mamufacex  22281