Theorem mamudm 22531

Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)

Assertion

Ref	Expression
mamudm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamudm.m	. . . 4 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mamufval 22528	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
9	8	dmeqd 5895	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10		mpoexga 8073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11	10	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
13	12	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
14	13	ralrimivv 3204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
16	15	dmmpoga 8069	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
17	14, 16	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
18		xpfi 9278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20		mamudm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
21	20, 2	frlmfibas 21891	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
22	19, 21	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23		mamudm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25		xpfi 9278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26	25	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27		mamudm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
28	27, 2	frlmfibas 21891	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
29	26, 28	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30		mamudm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
31	29, 30	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
32	24, 31	xpeq12d 5692	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
33	9, 17, 32	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453  ⟨cotp 4596   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310   Σ_g cgsu 17492   freeLMod cfrlm 21875   maMul cmmul 22526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-prds 17499  df-pws 17501  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-mamu 22527

This theorem is referenced by:  mamufacex  22532