MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudm 20598
Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
Assertion
Ref Expression
mamudm ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamudm.m . . . 4 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 eqid 2777 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2777 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 476 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅𝑉)
5 simpr1 1205 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simpr2 1207 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7 simpr3 1209 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 20595 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
98dmeqd 5571 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10 mpt2exga 7526 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11103adant2 1122 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
1211adantl 475 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
1312a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
1413ralrimivv 3151 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))(𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15 eqid 2777 . . . 4 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
1615dmmpt2ga 7522 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))(𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))))
1714, 16syl 17 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))))
18 xpfi 8519 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19183adant3 1123 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20 mamudm.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
2120, 2frlmfibas 20505 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
2219, 21sylan2 586 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23 mamudm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐸)
2422, 23syl6eqr 2831 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25 xpfi 8519 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26253adant1 1121 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27 mamudm.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
2827, 2frlmfibas 20505 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
2926, 28sylan2 586 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30 mamudm.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝐹)
3129, 30syl6eqr 2831 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
3224, 31xpeq12d 5386 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
339, 17, 323eqtrd 2817 1 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  Vcvv 3397  cotp 4405  cmpt 4965   × cxp 5353  dom cdm 5355  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255  .rcmulr 16339   Σg cgsu 16487   freeLMod cfrlm 20489   maMul cmmul 20593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mamu 20594
This theorem is referenced by:  mamufacex  20599
  Copyright terms: Public domain W3C validator