Theorem mamudm 22687

Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)

Assertion

Ref	Expression
mamudm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamudm.m	. . . 4 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mamufval 22684	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
9	8	dmeqd 5887	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10		mpoexga 8079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11	10	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
13	12	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
14	13	ralrimivv 3204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
16	15	dmmpoga 8075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
17	14, 16	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
18		xpfi 9295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20		mamudm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
21	20, 2	frlmfibas 22045	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
22	19, 21	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23		mamudm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25		xpfi 9295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26	25	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27		mamudm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
28	27, 2	frlmfibas 22045	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
29	26, 28	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30		mamudm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
31	29, 30	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
32	24, 31	xpeq12d 5682	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
33	9, 17, 32	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  Basecbs 17364  ._rcmulr 17406   Σ_g cgsu 17588   freeLMod cfrlm 22029   maMul cmmul 22682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-pnf 11323  df-mnf 11324  df-xr 11325  df-ltxr 11326  df-le 11327  df-sub 11521  df-neg 11522  df-nn 12314  df-2 12383  df-3 12384  df-4 12385  df-5 12386  df-6 12387  df-7 12388  df-8 12389  df-9 12390  df-n0 12585  df-z 12672  df-dec 12793  df-uz 12944  df-fz 13618  df-struct 17302  df-sets 17319  df-slot 17337  df-ndx 17349  df-base 17365  df-ress 17386  df-plusg 17418  df-mulr 17419  df-sca 17421  df-vsca 17422  df-ip 17423  df-tset 17424  df-ple 17425  df-ds 17427  df-hom 17429  df-cco 17430  df-0g 17589  df-prds 17595  df-pws 17597  df-sra 21425  df-rgmod 21426  df-dsmm 22015  df-frlm 22030  df-mamu 22683

This theorem is used by:  mamufacex  22688