Theorem mamudm 22433

Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)

Assertion

Ref	Expression
mamudm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem mamudm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamudm.m	. . . 4 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simpr1 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simpr2 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpr3 1209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑃 ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mamufval 22430	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → × = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
9	8	dmeqd 5879	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))))
10		mpoexga 8052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
11	10	3adant2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
12	11	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
13	12	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V))
14	13	ralrimivv 3202	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))))
16	15	dmmpoga 8048	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))(𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
17	14, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑦𝑘)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))))
18		xpfi 9258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
20		mamudm.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
21	20, 2	frlmfibas 21792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
22	19, 21	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = (Base‘𝐸))
23		mamudm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐵)
25		xpfi 9258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
26	25	3adant1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin)
27		mamudm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
28	27, 2	frlmfibas 21792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑃) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
29	26, 28	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = (Base‘𝐹))
30		mamudm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
31	29, 30	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃)) = 𝐶)
32	24, 31	xpeq12d 5676	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑀 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑃))) = (𝐵 × 𝐶))
33	9, 17, 32	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  ⟨cotp 4589   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  dom cdm 5645  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8921  Basecbs 17226  ._rcmulr 17268   Σ_g cgsu 17450   freeLMod cfrlm 21776   maMul cmmul 22428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-sup 9383  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-fz 13508  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-hom 17291  df-cco 17292  df-0g 17451  df-prds 17457  df-pws 17459  df-sra 21218  df-rgmod 21219  df-dsmm 21762  df-frlm 21777  df-mamu 22429

This theorem is referenced by:  mamufacex  22434