Theorem mamuvs1 22628

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mamuvs1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs1	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		mamuvs1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamuvs1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mamuvs1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		elmapi 8849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
17	14, 15, 16	fovcdmd 7587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
18		mamuvs1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
19		elmapi 8849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
22		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
23	21, 16, 22	fovcdmd 7587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
24	1, 3, 10, 17, 23	ringcld 20397	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
25		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
26		ovexd 7449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
27		fvexd 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
28	25, 7, 26, 27	fsuppmptdm 9347	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
29	1, 2, 3, 5, 7, 9, 24, 28	gsummulc2 20458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
30		df-ov 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
31		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
32		opelxpi 5692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
33	31, 32	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
34		mamudi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
35		xpfi 9290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
36	34, 6, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
38	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
39		ffn 6703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
40	11, 12, 39	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42		df-ov 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
43	42	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
45	37, 38, 41, 44	ofc1 7707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
46	33, 45	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
47	30, 46	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
48	47	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
49	1, 3	ringass 20393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
50	10, 38, 17, 23, 49	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
52	51	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
53	52	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
54		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
55	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
56		mamudi.o	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
57	56	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
58	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
59	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
60		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
61	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 58, 59, 31, 60	mamufv 22617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
62	61	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
63	29, 53, 62	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
64		fconst6g 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
65	8, 64	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
66	1	fvexi 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
67		elmapg 8839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
68	66, 36, 67	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
69	65, 68	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
70	1, 3	ringvcl 22623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
71	4, 69, 11, 70	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
72	71	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
73	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 72, 59, 31, 60	mamufv 22617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
74		df-ov 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
75		opelxpi 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
76	75	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
77		xpfi 9290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
78	34, 56, 77	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
79	78	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
80	1, 4, 54, 34, 6, 56, 11, 18	mamucl 22624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
81		elmapi 8849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
82		ffn 6703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
83	80, 81, 82	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
84	83	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
85		df-ov 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
86	85	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
88	79, 9, 84, 87	ofc1 7707	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
89	76, 88	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
90	74, 89	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
91	63, 73, 90	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
92	91	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
93	1, 4, 54, 34, 6, 56, 71, 18	mamucl 22624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
94		elmapi 8849	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
95		ffn 6703	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96	93, 94, 95	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
97		fconst6g 6765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
98	8, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
99		elmapg 8839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
100	66, 78, 99	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102	1, 3	ringvcl 22623	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
103	4, 101, 80, 102	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
104		elmapi 8849	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105		ffn 6703	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106	103, 104, 105	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107		eqfnov2 7544	. . 3 ⊢ ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
108	96, 106, 107	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
109	92, 108	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  Ringcrg 20373   maMul cmmul 22613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-mamu 22614

This theorem is used by:  matassa  22667  mdetmul  22846