Theorem mamuvs1 22409

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mamuvs1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs1	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		mamuvs1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamuvs1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mamuvs1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		elmapi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
17	14, 15, 16	fovcdmd 7605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
18		mamuvs1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
19		elmapi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
22		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
23	21, 16, 22	fovcdmd 7605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
24	1, 3, 10, 17, 23	ringcld 20257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
26		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
27		fvexd 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
28	25, 7, 26, 27	fsuppmptdm 9416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
29	1, 2, 3, 5, 7, 9, 24, 28	gsummulc2 20314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
30		df-ov 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
31		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
32		opelxpi 5722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
33	31, 32	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
34		mamudi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
35		xpfi 9358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
36	34, 6, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
38	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
39		ffn 6736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
40	11, 12, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42		df-ov 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
43	42	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
45	37, 38, 41, 44	ofc1 7725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
46	33, 45	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
47	30, 46	eqtrid 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
49	1, 3	ringass 20250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
50	10, 38, 17, 23, 49	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
52	51	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
53	52	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
54		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
55	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
56		mamudi.o	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
58	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
59	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
60		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
61	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 58, 59, 31, 60	mamufv 22398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
62	61	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
63	29, 53, 62	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
64		fconst6g 6797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
65	8, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
66	1	fvexi 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
67		elmapg 8879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
68	66, 36, 67	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
69	65, 68	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
70	1, 3	ringvcl 22404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
71	4, 69, 11, 70	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
73	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 72, 59, 31, 60	mamufv 22398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
74		df-ov 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
75		opelxpi 5722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
76	75	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
77		xpfi 9358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
78	34, 56, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
80	1, 4, 54, 34, 6, 56, 11, 18	mamucl 22405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
81		elmapi 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
82		ffn 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
84	83	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
85		df-ov 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
86	85	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
88	79, 9, 84, 87	ofc1 7725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
89	76, 88	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
90	74, 89	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
91	63, 73, 90	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
92	91	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
93	1, 4, 54, 34, 6, 56, 71, 18	mamucl 22405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
94		elmapi 8889	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
95		ffn 6736	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
97		fconst6g 6797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
98	8, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
99		elmapg 8879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
100	66, 78, 99	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
101	98, 100	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102	1, 3	ringvcl 22404	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
103	4, 101, 80, 102	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
104		elmapi 8889	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105		ffn 6736	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106	103, 104, 105	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107		eqfnov2 7563	. . 3 ⊢ ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
108	96, 106, 107	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
109	92, 108	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626  ⟨cop 4632  ⟨cotp 4634   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Ringcrg 20230   maMul cmmul 22394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-mamu 22395

This theorem is referenced by:  matassa  22450  mdetmul  22629