Theorem mamuvs1 22465

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mamuvs1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mamuvs1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamuvs1	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		mamuvs1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamuvs1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	4	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mamuvs1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
12		elmapi 8830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14	13	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15		simplrl 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
16		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
17	14, 15, 16	fovcdmd 7568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
18		mamuvs1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
19		elmapi 8830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21	20	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
22		simplrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
23	21, 16, 22	fovcdmd 7568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
24	1, 3, 10, 17, 23	ringcld 20310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
25		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
26		ovexd 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
27		fvexd 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
28	25, 7, 26, 27	fsuppmptdm 9322	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g‘𝑅))
29	1, 2, 3, 5, 7, 9, 24, 28	gsummulc2 20365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
30		df-ov 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
31		simprl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
32		opelxpi 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
33	31, 32	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
34		mamudi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
35		xpfi 9264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
36	34, 6, 35	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
37	36	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
38	8	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
39		ffn 6691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
40	11, 12, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
41	40	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42		df-ov 7399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
43	42	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
45	37, 38, 41, 44	ofc1 7688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
46	33, 45	mpdan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
47	30, 46	eqtrid 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
48	47	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
49	1, 3	ringass 20303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
50	10, 38, 17, 23, 49	syl13anc 1391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
51	48, 50	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
52	51	mpteq2dva 5193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
53	52	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
54		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
55	34	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
56		mamudi.o	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
57	56	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
58	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
59	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
60		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
61	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 58, 59, 31, 60	mamufv 22454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
62	61	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
63	29, 53, 62	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
64		fconst6g 6753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
65	8, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
66	1	fvexi 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
67		elmapg 8820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
68	66, 36, 67	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
69	65, 68	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
70	1, 3	ringvcl 22460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
71	4, 69, 11, 70	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
72	71	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
73	54, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 72, 59, 31, 60	mamufv 22454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
74		df-ov 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
75		opelxpi 5684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
76	75	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
77		xpfi 9264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
78	34, 56, 77	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
79	78	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
80	1, 4, 54, 34, 6, 56, 11, 18	mamucl 22461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
81		elmapi 8830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
82		ffn 6691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
84	83	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
85		df-ov 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
86	85	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
88	79, 9, 84, 87	ofc1 7688	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
89	76, 88	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
90	74, 89	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
91	63, 73, 90	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
92	91	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
93	1, 4, 54, 34, 6, 56, 71, 18	mamucl 22461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
94		elmapi 8830	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
95		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
97		fconst6g 6753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
98	8, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
99		elmapg 8820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
100	66, 78, 99	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
101	98, 100	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
102	1, 3	ringvcl 22460	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
103	4, 101, 80, 102	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
104		elmapi 8830	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105		ffn 6691	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106	103, 104, 105	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107		eqfnov2 7526	. . 3 ⊢ ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
108	96, 106, 107	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
109	92, 108	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  Ringcrg 20283   maMul cmmul 22450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-mamu 22451

This theorem is referenced by:  matassa  22504  mdetmul  22683