MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs1 22409
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t · = (.r𝑅)
mamuvs1.x (𝜑𝑋𝐵)
mamuvs1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 mamuvs1.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4 mamucl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 mamuvs1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋𝐵)
104ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
12 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1413ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
15 simplrl 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1714, 15, 16fovcdmd 7605 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
18 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
19 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2120ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
22 simplrr 778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2321, 16, 22fovcdmd 7605 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
241, 3, 10, 17, 23ringcld 20257 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
26 ovexd 7466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
27 fvexd 6921 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
2825, 7, 26, 27fsuppmptdm 9416 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
291, 2, 3, 5, 7, 9, 24, 28gsummulc2 20314 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
30 df-ov 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
31 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
32 opelxpi 5722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
34 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
35 xpfi 9358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3634, 6, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
388ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐵)
39 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4011, 12, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
4342eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
4537, 38, 41, 44ofc1 7725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4633, 45mpdan 687 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4730, 46eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4847oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
491, 3ringass 20250 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5010, 38, 17, 23, 49syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5148, 50eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5251mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
5352oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
54 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
5534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
56 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
5811adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
5918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
60 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
6154, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 58, 59, 31, 60mamufv 22398 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
6261oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6329, 53, 623eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
64 fconst6g 6797 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
658, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
661fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
67 elmapg 8879 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
6866, 36, 67sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
701, 3ringvcl 22404 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
714, 69, 11, 70syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7271adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7354, 1, 3, 5, 55, 7, 57, 72, 59, 31, 60mamufv 22398 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
74 df-ov 7434 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
75 opelxpi 5722 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
7675adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
77 xpfi 9358 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
7834, 56, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
801, 4, 54, 34, 6, 56, 11, 18mamucl 22405 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
81 elmapi 8889 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
82 ffn 6736 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8483adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
85 df-ov 7434 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
8685eqcomi 2746 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
8786a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
8879, 9, 84, 87ofc1 7725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
8976, 88mpdan 687 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9074, 89eqtrid 2789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9163, 73, 903eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
9291ralrimivva 3202 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
931, 4, 54, 34, 6, 56, 71, 18mamucl 22405 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
94 elmapi 8889 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
95 ffn 6736 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9693, 94, 953syl 18 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
97 fconst6g 6797 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
988, 97syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
99 elmapg 8879 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
10066, 78, 99sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
10198, 100mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
1021, 3ringvcl 22404 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
1034, 101, 80, 102syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
104 elmapi 8889 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
105 ffn 6736 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
106103, 104, 1053syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
107 eqfnov2 7563 . . 3 ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
10896, 106, 107syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
10992, 108mpbird 257 1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626  cop 4632  cotp 4634  cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Ringcrg 20230   maMul cmmul 22394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-mamu 22395
This theorem is referenced by:  matassa  22450  mdetmul  22629
  Copyright terms: Public domain W3C validator