MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs1 21550
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t · = (.r𝑅)
mamuvs1.x (𝜑𝑋𝐵)
mamuvs1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2740 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2740 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mamuvs1.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 mamucl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
9 mamuvs1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋𝐵)
115ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
13 elmapi 8620 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
16 simplrl 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
17 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1815, 16, 17fovrnd 7438 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
20 elmapi 8620 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2221ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
23 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2422, 17, 23fovrnd 7438 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
251, 4ringcl 19798 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
2611, 18, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
27 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
28 ovexd 7306 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
29 fvexd 6786 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
3027, 8, 28, 29fsuppmptdm 9117 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
311, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 30gsummulc2 19844 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
32 df-ov 7274 . . . . . . . . . 10 (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
33 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
34 opelxpi 5627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
3533, 34sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
36 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
37 xpfi 9063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3836, 7, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
409ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐵)
41 ffn 6598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4212, 13, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
44 df-ov 7274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
4544eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
4739, 40, 43, 46ofc1 7553 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4835, 47mpdan 684 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4932, 48eqtrid 2792 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
5049oveq1d 7286 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
511, 4ringass 19801 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5211, 40, 18, 24, 51syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5350, 52eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5453mpteq2dva 5179 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
5554oveq2d 7287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
56 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
5736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
58 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
5958adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
6119adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
62 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
6356, 1, 4, 6, 57, 8, 59, 60, 61, 33, 62mamufv 21534 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
6463oveq2d 7287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6531, 55, 643eqtr4d 2790 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
66 fconst6g 6661 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
679, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
681fvexi 6785 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
69 elmapg 8611 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
7068, 38, 69sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
7167, 70mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
721, 4ringvcl 21545 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
735, 71, 12, 72syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7473adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7556, 1, 4, 6, 57, 8, 59, 74, 61, 33, 62mamufv 21534 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
76 df-ov 7274 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
77 opelxpi 5627 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
7877adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
79 xpfi 9063 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8036, 58, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8180adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
821, 5, 56, 36, 7, 58, 12, 19mamucl 21546 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
83 elmapi 8620 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
84 ffn 6598 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8685adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
87 df-ov 7274 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
8887eqcomi 2749 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
8988a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
9081, 10, 86, 89ofc1 7553 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9178, 90mpdan 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9276, 91eqtrid 2792 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9365, 75, 923eqtr4d 2790 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
9493ralrimivva 3117 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
951, 5, 56, 36, 7, 58, 73, 19mamucl 21546 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
96 elmapi 8620 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
97 ffn 6598 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9895, 96, 973syl 18 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
99 fconst6g 6661 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
1009, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
101 elmapg 8611 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
10268, 80, 101sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
103100, 102mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
1041, 4ringvcl 21545 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
1055, 103, 82, 104syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
106 elmapi 8620 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
107 ffn 6598 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
108105, 106, 1073syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
109 eqfnov2 7398 . . 3 ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
11098, 108, 109syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
11194, 110mpbird 256 1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘f · (𝑌𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  Vcvv 3431  {csn 4567  cop 4573  cotp 4575  cmpt 5162   × cxp 5588   Fn wfn 6427  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  f cof 7525  m cmap 8598  Fincfn 8716  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  .rcmulr 16961  0gc0g 17148   Σg cgsu 17149  Ringcrg 19781   maMul cmmul 21530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-mamu 21531
This theorem is referenced by:  matassa  21591  mdetmul  21770
  Copyright terms: Public domain W3C validator