Theorem mh-setind 36771

Description: Principle of set induction setind 9666, written with primitive symbols. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-setind	⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem mh-setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9666	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
2		ssab 4001	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑))
3		df-clab 2719	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
4		sb6 2096	. . . . . 6 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
5	3, 4	bitri 276	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
6	2, 5	imbi12i 351	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
7	6	albii 1826	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
8		abv 3444	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} = V ↔ ∀𝑥𝜑)
9	1, 7, 8	3imtr3i 292	. 2 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → ∀𝑥𝜑)
10	9	19.21bi 2201	1 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1545   = wceq 1547  [wsb 2073   ∈ wcel 2119  {cab 2718  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346

This theorem is referenced by:  mh-setindnd  36772