Theorem mh-setind 36666

Description: Principle of set induction setind 9656, written with primitive symbols. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-setind	⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem mh-setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9656	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
2		ssab 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑))
3		df-clab 2715	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
4		sb6 2090	. . . . . 6 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
5	3, 4	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
6	2, 5	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
7	6	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
8		abv 3452	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} = V ↔ ∀𝑥𝜑)
9	1, 7, 8	3imtr3i 291	. 2 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → ∀𝑥𝜑)
10	9	19.21bi 2196	1 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1539   = wceq 1541  [wsb 2067   ∈ wcel 2113  {cab 2714  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341

This theorem is referenced by:  mh-setindnd  36667