Theorem mh-setind 36718

Description: Principle of set induction setind 9668, written with primitive symbols. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-setind	⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem mh-setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9668	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
2		ssab 4003	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑))
3		df-clab 2715	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
4		sb6 2091	. . . . . 6 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
5	3, 4	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
6	2, 5	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
7	6	albii 1821	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
8		abv 3441	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} = V ↔ ∀𝑥𝜑)
9	1, 7, 8	3imtr3i 291	. 2 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → ∀𝑥𝜑)
10	9	19.21bi 2197	1 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1540   = wceq 1542  [wsb 2068   ∈ wcel 2114  {cab 2714  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349

This theorem is referenced by:  mh-setindnd  36719