Theorem mh-setind 37025

Description: Principle of set induction setind 9717, written with primitive symbols. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-setind	⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem mh-setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9717	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
2		ssab 4018	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑))
3		df-clab 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
4		sb6 2119	. . . . . 6 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
6	2, 5	imbi12i 353	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
7	6	albii 1849	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
8		abv 3467	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} = V ↔ ∀𝑥𝜑)
9	1, 7, 8	3imtr3i 294	. 2 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → ∀𝑥𝜑)
10	9	19.21bi 2225	1 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1568   = wceq 1570  [wsb 2096   ∈ wcel 2143  {cab 2741  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398

This theorem is referenced by:  mh-setindnd  37026