Theorem mh-setind 37163

Description: Principle of set induction setind 9730, written with primitive symbols. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-setind	⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem mh-setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 9730	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) → {𝑥 ∣ 𝜑} = V)
2		ssab 4014	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑))
3		df-clab 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
4		sb6 2122	. . . . . 6 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
5	3, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
6	2, 5	imbi12i 353	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
7	6	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)))
8		abv 3465	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} = V ↔ ∀𝑥𝜑)
9	1, 7, 8	3imtr3i 294	. 2 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → ∀𝑥𝜑)
10	9	19.21bi 2227	1 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑)) → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1568   = wceq 1570  [wsb 2099   ∈ wcel 2145  {cab 2740  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403

This theorem is used by:  mh-setindnd  37164