Theorem comraddd 11345

Description: Commute RHS addition, in deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
comraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
comraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
comraddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
comraddd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem comraddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		comraddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
2		comraddd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		comraddd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcomd 11333	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
5	1, 4	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   + caddc 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169

This theorem is referenced by:  mvrladdd  11548  hashfz  14348  climaddc2  15557  clim2ser2  15577  fsumparts  15727  arisum  15781  pwdif  15789  cosneg  16070  coshval  16078  absefib  16121  mulgdir  19034  sylow1lem1  19525  ovolicc2lem4  25475  itgmulc2  25789  quad2  26803  cosasin  26868  dvatan  26899  scvxcvx  26950  lgamgulmlem3  26995  chpdifbndlem1  27518  pntrlog2bndlem6  27548  pntibndlem2  27556  axpasch  28963  eucrctshift  30267  constrrtlc1  33838  signshf  34694  itg2addnclem3  37813  3cubeslem1  42868  mogoldbblem  47908  eenglngeehlnmlem1  48925  itscnhlc0yqe  48947