Theorem n0sex 27933

Description: The set of all non-negative surreal integers exists. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0sex	⊢ ℕ0s ∈ V

Proof of Theorem n0sex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 27931	. 2 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2		rdgfun 8418	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s )
3		dcomex 10444	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
4	3	funimaex 6635	. . 3 ⊢ (Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω) ∈ V)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2827	1 ⊢ ℕ0s ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   “ cima 5678  Fun wfun 6536  (class class class)co 7411  ωcom 7857  reccrdg 8411   0_s c0s 27560   1_s c1s 27561   +_s cadds 27681  ℕ_0scnn0s 27929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-dc 10443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-n0s 27931

This theorem is referenced by:  nnsex  27934  dfn0s2  27941