Theorem nmulle 36717

Description: A condition for bounding a natural product above. Converse of ltnmul 36716. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulle	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ·no 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmulcl 36691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·no 𝐵) ∈ On)
2		ontri1 6395	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ·no 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵)))
3	1, 2	stoic3 1805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ·no 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵)))
4		ltnmul 36716	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏))))
5	4	3coml 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏))))
6		simpl3 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ On)
7		simp1 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
8		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐴)
9		onelon 6385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ On)
10	7, 8, 9	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ On)
11		simp2 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
12		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
13		onelon 6385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ On)
15	10, 14	nmulcld 36693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ·no 𝑏) ∈ On)
16	6, 15	naddcld 8664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ∈ On)
17		simpl2 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ On)
18	10, 17	nmulcld 36693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ·no 𝐵) ∈ On)
19		simpl1 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
20	19, 14	nmulcld 36693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ·no 𝑏) ∈ On)
21	18, 20	naddcld 8664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ On)
22		ontri1 6395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ∈ On ∧ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ On) → ((𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ↔ ¬ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))
23	16, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ↔ ¬ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))
24	23	2rexbidva 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))
25		rexnal2 3146	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)))
26	24, 25	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ⊆ ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))
27	5, 26	bitr2d 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵)))
28	27	con1bid 358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ·no 𝐵) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))
29	3, 28	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ·no 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ·no 𝐵) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝐶 +no (𝑎 ·no 𝑏))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  Oncon0 6360  (class class class)co 7412   +no cnadd 8649   ·_no cnmul 36687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-nadd 8650  df-nmul 36688

This theorem is used by:  nadddilem4  36723