Theorem ltnadd 36718

Description: Condition for bounding a natural sum below. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ltnadd	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ltnadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ↔ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
2	1	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
3		eleq2 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
4	3	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
5	2, 4	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴)))
6	5	onnminsb 7794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥)} → ¬ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴)))
7	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥)} → ¬ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴)))
8		naddov2 8661	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥)})
9	8	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥)})
10	9	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝑥)}))
11		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
12		onss 7780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ⊆ On)
14	13	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
15		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
16	14, 15	naddcld 8662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 +no 𝐶) ∈ On)
17		ontri1 6395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 +no 𝐶) ∈ On) → (𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
18	11, 16, 17	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
19	18	rexbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
20		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
21		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
22		onss 7780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ⊆ On)
24	23	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ On)
25	21, 24	naddcld 8662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑐) ∈ On)
26		ontri1 6395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 +no 𝑐) ∈ On) → (𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
27	20, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
28	27	rexbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
29	19, 28	orbi12d 931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴)))
30		orcom 883	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ∨ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴) ↔ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∨ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
31		rexnal 3117	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴)
32		rexnal 3117	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴)
33	31, 32	orbi12i 927	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴) ↔ (¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ∨ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴))
34		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴) ↔ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∨ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
35	30, 33, 34	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ ((∃𝑏 ∈ 𝐵 ¬ (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴 ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴) ↔ ¬ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴))
36	29, 35	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐)) ↔ ¬ (∀𝑐 ∈ 𝐶 (𝐵 +no 𝑐) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 +no 𝐶) ∈ 𝐴)))
37	7, 10, 36	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))))
38		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))
39		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
40	14	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝑏 ∈ On)
41		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝐵 ∈ On)
42		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝐶 ∈ On)
43		naddel1 8670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
45	39, 44	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → (𝑏 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶))
46		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝐴 ∈ On)
47		naddcl 8659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
48	47	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
49	48	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
50		ontr2 6409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∧ (𝑏 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
51	46, 49, 50	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → ((𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∧ (𝑏 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
52	38, 45, 51	mp2and 711	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶))
53	52	rexlimdvaa 3167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
54		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))
55		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐶)
56	24	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
57		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝐶 ∈ On)
58		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝐵 ∈ On)
59		naddel2 8671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑐) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑐) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
61	55, 60	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → (𝐵 +no 𝑐) ∈ (𝐵 +no 𝐶))
62		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝐴 ∈ On)
63	48	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
64		ontr2 6409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) ∧ (𝐵 +no 𝑐) ∈ (𝐵 +no 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
65	62, 63, 64	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → ((𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) ∧ (𝐵 +no 𝑐) ∈ (𝐵 +no 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
66	54, 61, 65	mp2and 711	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶))
67	66	rexlimdvaa 3167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
68	53, 67	jaod 872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
69	37, 68	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 ⊆ (𝑏 +no 𝐶) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝐴 ⊆ (𝐵 +no 𝑐))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∩ cint 4912  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8647

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-nadd 8648

This theorem is used by:  naddle  36719  nadddilem4  36723