Theorem ltnmul 36716

Description: Characterize less-than a natural product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ltnmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ltnmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
2	1	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
3	2	2ralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
4	3	onnminsb 7796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
5	4	3ad2ant1 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
6		nmulval 36692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ·no 𝐶) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))})
7	6	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
8	7	3adant1 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
9		simpl1 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ On)
10		simp2 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
11		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		onelon 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
13	10, 11, 12	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ On)
14		simp3 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ 𝐶)
16		onelon 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ On)
17	14, 15, 16	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑐 ∈ On)
18	13, 17	nmulcld 36693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On)
19	9, 18	naddcld 8664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
20		simpl3 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ On)
21	13, 20	nmulcld 36693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝐶) ∈ On)
22		simpl2 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ On)
23	22, 17	nmulcld 36693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝑐) ∈ On)
24	21, 23	naddcld 8664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On)
25		ontri1 6395	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
26	19, 24, 25	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
27	26	2rexbidva 3227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
28		rexnal2 3146	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
29	27, 28	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
30	5, 8, 29	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))
31		nmuladdel 36712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
32	31	3adantl1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
33	22, 20	nmulcld 36693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On)
34	33, 18	naddcld 8664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
35		ontr2 6409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
36	19, 34, 35	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
37	32, 36	mpan2d 706	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
38		naddel1 8672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On ∧ (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
39	9, 33, 18, 38	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
40	37, 39	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
41	40	rexlimdvva 3221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
42	30, 41	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ∩ cint 4911  Oncon0 6360  (class class class)co 7412   +no cnadd 8649   ·_no cnmul 36687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-nadd 8650  df-nmul 36688

This theorem is used by:  nmulle  36717  nadddilem1  36720