Theorem ltnmul 36659

Description: Characterize less-than a natural product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ltnmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ltnmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
2	1	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
3	2	2ralbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
4	3	onnminsb 7797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
5	4	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
6		nmulval 36650	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ·no 𝐶) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))})
7	6	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
8	7	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
9		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ On)
10		simp2 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
11		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		onelon 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
13	10, 11, 12	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ On)
14		simp3 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ 𝐶)
16		onelon 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ On)
17	14, 15, 16	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑐 ∈ On)
18	13, 17	nmulcld 36651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On)
19	9, 18	naddcld 8665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
20		simpl3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ On)
21	13, 20	nmulcld 36651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝐶) ∈ On)
22		simpl2 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ On)
23	22, 17	nmulcld 36651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝑐) ∈ On)
24	21, 23	naddcld 8665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On)
25		ontri1 6395	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
26	19, 24, 25	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
27	26	2rexbidva 3226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
28		rexnal2 3145	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
29	27, 28	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
30	5, 8, 29	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))
31		nmuladdel 36655	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
32	31	3adantl1 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
33	22, 20	nmulcld 36651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On)
34	33, 18	naddcld 8665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
35		ontr2 6409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
36	19, 34, 35	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
37	32, 36	mpan2d 706	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
38		naddel1 8673	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On ∧ (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
39	9, 33, 18, 38	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
40	37, 39	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
41	40	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
42	30, 41	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∩ cint 4911  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8650   ·_no cnmul 36645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-nadd 8651  df-nmul 36646

This theorem is referenced by:  nmulle  36660