Theorem ltnmul 36798

Description: Characterize less-than a natural product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ltnmul	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ltnmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) = (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
2	1	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
3	2	2ralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
4	3	onnminsb 7801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))} → ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
6		nmulval 36774	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ·no 𝐶) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))})
7	6	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
8	7	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑐))}))
9		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ On)
10		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
11		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝐵)
12		onelon 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
13	10, 11, 12	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ On)
14		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ 𝐶)
16		onelon 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → 𝑐 ∈ On)
17	14, 15, 16	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝑐 ∈ On)
18	13, 17	nmulcld 36775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On)
19	9, 18	naddcld 8671	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
20		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ On)
21	13, 20	nmulcld 36775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ·no 𝐶) ∈ On)
22		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ On)
23	22, 17	nmulcld 36775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝑐) ∈ On)
24	21, 23	naddcld 8671	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On)
25		ontri1 6396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ On) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
26	19, 24, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
27	26	2rexbidva 3227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
28		rexnal2 3146	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 ¬ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)))
29	27, 28	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐶 ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐))))
30	5, 8, 29	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))
31		nmuladdel 36794	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
32	31	3adantl1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)))
33	22, 20	nmulcld 36775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On)
34	33, 18	naddcld 8671	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On)
35		ontr2 6410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On ∧ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ On) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
36	19, 34, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∧ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
37	32, 36	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
38		naddel1 8679	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ·no 𝐶) ∈ On ∧ (𝑏 ·no 𝑐) ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
39	9, 33, 18, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ∈ ((𝐵 ·no 𝐶) +no (𝑏 ·no 𝑐))))
40	37, 39	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
41	40	rexlimdvva 3221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐)) → 𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶)))
42	30, 41	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ (𝐵 ·no 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝐴 +no (𝑏 ·no 𝑐)) ⊆ ((𝑏 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝑐))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4910  Oncon0 6361  (class class class)co 7416   +no cnadd 8656   ·_no cnmul 36769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-nadd 8657  df-nmul 36770

This theorem is used by:  nmulle  36799  nadddilem1  36802