Theorem naddss1 8681

Description: Ordinal less-than-or-equal is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddss1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶)))

Proof of Theorem naddss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddel1 8679	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
2	1	3com12 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
4		ontri1 6392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
6		naddcl 8668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
7	6	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
8		naddcl 8668	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
9	8	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
10		ontri1 6392	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
12	3, 5, 11	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  Oncon0 6357  (class class class)co 7414   +no cnadd 8656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-nadd 8657

This theorem is used by:  naddss2  8682  naddunif  8685  mulsproplem13  28396