Theorem naddss1 8713

Description: Ordinal less-than-or-equal is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddss1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶)))

Proof of Theorem naddss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddel1 8711	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
2	1	3com12 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
4		ontri1 6404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
6		naddcl 8700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
7	6	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
8		naddcl 8700	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
9	8	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
10		ontri1 6404	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 +no 𝐶) ∈ (𝐴 +no 𝐶)))
12	3, 5, 11	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ⊆ (𝐵 +no 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  Oncon0 6369  (class class class)co 7430   +no cnadd 8688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-nadd 8689

This theorem is used by:  naddss2  8714  naddunif  8717  mulsproplem13  28529