Theorem naddel1 8707

Description: Ordinal less-than is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddel1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))

Proof of Theorem naddel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddelim 8706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
2		naddssim 8705	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶)))
3	2	3com12 1123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶)))
4		ontri1 6397	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
5	4	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		naddcl 8697	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
8	7	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
9		naddcl 8697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
10		ontri1 6397	. . . 4 ⊢ (((𝐵 +no 𝐶) ∈ On ∧ (𝐴 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
11	8, 9, 10	3imp3i2an 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
12	3, 6, 11	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
13	1, 12	impcon4bid 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  Oncon0 6363  (class class class)co 7413   +no cnadd 8685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-nadd 8686

This theorem is referenced by:  naddel2  8708  naddss1  8709  naddel12  8720  addsproplem2  27940  mulsproplem2  28080  mulsproplem5  28083  mulsproplem6  28084  mulsproplem7  28085  mulsproplem8  28086