Theorem naddel2 8700

Description: Ordinal less-than is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddel2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Proof of Theorem naddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddel1 8699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
2		naddcom 8694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
3	2	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
4		naddcom 8694	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
5	4	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
6	3, 5	eleq12d 2822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))
7	1, 6	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Oncon0 6363  (class class class)co 7414   +no cnadd 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-nadd 8678

This theorem is referenced by:  naddel12  8712  addsproplem2  27861  addsproplem6  27865  mulsproplem3  27992  mulsproplem5  27994  mulsproplem6  27995  mulsproplem7  27996  mulsproplem8  27997  nadd2rabtr  42726  naddsuc2  42735