Theorem naddel2 8661

Description: Ordinal less-than is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddel2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Proof of Theorem naddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddel1 8660	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
2		naddcom 8655	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
3	2	3adant2 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
4		naddcom 8655	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
5	4	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
6	3, 5	eleq12d 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))
7	1, 6	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Oncon0 6348  (class class class)co 7398   +no cnadd 8637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-nadd 8638

This theorem is referenced by:  naddel12  8673  naddsuc2  8674  addsproplem2  28065  addsproplem6  28069  addbdaylem  28112  mulsproplem3  28213  mulsproplem5  28215  mulsproplem6  28216  mulsproplem7  28217  mulsproplem8  28218  nadd2rabtr  43966