Theorem naddel2 8628

Description: Ordinal less-than is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddel2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Proof of Theorem naddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddel1 8627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
2		naddcom 8622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
3	2	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐴))
4		naddcom 8622	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
5	4	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) = (𝐶 +no 𝐵))
6	3, 5	eleq12d 2831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶) ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))
7	1, 6	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +no 𝐴) ∈ (𝐶 +no 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Oncon0 6327  (class class class)co 7370   +no cnadd 8605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-nadd 8606

This theorem is referenced by:  naddel12  8640  naddsuc2  8641  addsproplem2  27983  addsproplem6  27987  addbdaylem  28030  mulsproplem3  28131  mulsproplem5  28133  mulsproplem6  28134  mulsproplem7  28135  mulsproplem8  28136  nadd2rabtr  43770