Theorem iunconn 23457

Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
iunconn	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
2		simplr1 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
3		n0 4376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		elinel2 4225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
5		eliun 5019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵)
6		rexn0 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	exlimiv 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
10	3, 9	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐴 ≠ ∅)
12		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝜑)
13		iunconn.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
16		r19.2z 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
17	11, 15, 16	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
18		eliun 5019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	1, 19	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣))
21		elun 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
22	20, 21	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
23		iunconn.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	12, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		iunconn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
26	12, 25	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
27	12, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28		iunconn.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
29	12, 28	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
30		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
31	30	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐽)
32	30	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐽)
33		simplr2 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
34		simplr3 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
35		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
36		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
37		nfiu1 5050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
38	36, 37	nfin 4245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
39		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∅
40	38, 39	nfne 3049	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
41		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
42	41, 37	nfin 4245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
43	42, 39	nfne 3049	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
44		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣)
45		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
46	45, 37	nfdif 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 46	nfss 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
48	40, 43, 47	nf3an 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	35, 48	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
50	36, 41	nfun 4193	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∪ 𝑣)
51	37, 50	nfss 4001	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)
52	49, 51	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
53	24, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 1, 52	iunconnlem 23456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑢)
54		incom 4230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
55	54, 34	eqsstrid 4057	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
56		uncom 4181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∪ 𝑣) = (𝑣 ∪ 𝑢)
57	1, 56	sseqtrdi 4059	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
58	24, 26, 27, 29, 32, 31, 2, 55, 57, 52	iunconnlem 23456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
59		ioran 984	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ (¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣))
60	53, 58, 59	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
61	22, 60	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
62	61	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
63	62	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
64	25	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
65		iunss 5068	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
66	64, 65	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
67		connsub 23450	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
68	23, 66, 67	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
69	63, 68	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ ciun 5015  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  TopOnctopon 22937  Conncconn 23440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048  df-conn 23441

This theorem is referenced by:  unconn  23458  conncompconn  23461