MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iunconn 22931
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconn.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
iunconn.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
iunconn.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
iunconn.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconn (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iunconn
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
2 simplr1 1215 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
3 n0 4346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
4 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐡)
6 rexn0 4510 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
98exlimiv 1933 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘£ 𝑣 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
103, 9sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
112, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
12 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ πœ‘)
13 iunconn.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1413ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
16 r19.2z 4494 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
18 eliun 5001 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
1917, 18sylibr 233 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
201, 19sseldd 3983 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑒 βˆͺ 𝑣))
21 elun 4148 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑒 βˆͺ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
23 iunconn.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2412, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
25 iunconn.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
2612, 25sylan 580 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
2712, 13sylan 580 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
28 iunconn.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
2912, 28sylan 580 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
30 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
3130simpld 495 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
3230simprd 496 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
33 simplr2 1216 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
34 simplr3 1217 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
35 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
36 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜π‘’
37 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
3836, 37nfin 4216 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
39 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜βˆ…
4038, 39nfne 3043 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…
41 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜π‘£
4241, 37nfin 4216 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4342, 39nfne 3043 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…
44 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑒 ∩ 𝑣)
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜π‘‹
4645, 37nfdif 4125 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4744, 46nfss 3974 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4840, 43, 47nf3an 1904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
4935, 48nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)))
5036, 41nfun 4165 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(𝑒 βˆͺ 𝑣)
5137, 50nfss 3974 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)
5249, 51nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
5324, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 1, 52iunconnlem 22930 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒)
54 incom 4201 . . . . . . . 8 (𝑣 ∩ 𝑒) = (𝑒 ∩ 𝑣)
5554, 34eqsstrid 4030 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ 𝑒) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
56 uncom 4153 . . . . . . . 8 (𝑒 βˆͺ 𝑣) = (𝑣 βˆͺ 𝑒)
571, 56sseqtrdi 4032 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒))
5824, 26, 27, 29, 32, 31, 2, 55, 57, 52iunconnlem 22930 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
59 ioran 982 . . . . . 6 (Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ (Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣))
6053, 58, 59sylanbrc 583 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
6122, 60pm2.65da 815 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
6261ex 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) β†’ (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
6362ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
6425ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
65 iunss 5048 . . . 4 (βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
6664, 65sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
67 connsub 22924 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
6823, 66, 67syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
6963, 68mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ ciun 4997  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  TopOnctopon 22411  Conncconn 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-conn 22915
This theorem is referenced by:  unconn  22932  conncompconn  22935
  Copyright terms: Public domain W3C validator