Theorem iunconn 23322

Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
iunconn	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
2		simplr1 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
3		n0 4319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		elinel2 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
5		eliun 4962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵)
6		rexn0 4477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
7	5, 6	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
10	3, 9	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐴 ≠ ∅)
12		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝜑)
13		iunconn.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
16		r19.2z 4461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
18		eliun 4962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	1, 19	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣))
21		elun 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
22	20, 21	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
23		iunconn.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	12, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		iunconn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
26	12, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
27	12, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28		iunconn.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
29	12, 28	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
30		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
31	30	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐽)
32	30	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐽)
33		simplr2 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
34		simplr3 1218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
35		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
36		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
37		nfiu1 4994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
38	36, 37	nfin 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
39		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∅
40	38, 39	nfne 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
41		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
42	41, 37	nfin 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
43	42, 39	nfne 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
44		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣)
45		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
46	45, 37	nfdif 4095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 46	nfss 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
48	40, 43, 47	nf3an 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	35, 48	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
50	36, 41	nfun 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∪ 𝑣)
51	37, 50	nfss 3942	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)
52	49, 51	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
53	24, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 1, 52	iunconnlem 23321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑢)
54		incom 4175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
55	54, 34	eqsstrid 3988	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
56		uncom 4124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∪ 𝑣) = (𝑣 ∪ 𝑢)
57	1, 56	sseqtrdi 3990	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
58	24, 26, 27, 29, 32, 31, 2, 55, 57, 52	iunconnlem 23321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
59		ioran 985	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ (¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣))
60	53, 58, 59	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
61	22, 60	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
62	61	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
63	62	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
64	25	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
65		iunss 5012	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
66	64, 65	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
67		connsub 23315	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
68	23, 66, 67	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
69	63, 68	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ ciun 4958  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17390  TopOnctopon 22804  Conncconn 23305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cld 22913  df-conn 23306

This theorem is referenced by:  unconn  23323  conncompconn  23326