Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunincf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunincf 45133
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunincf.p 𝑛𝜑
meaiunincf.f 𝑛𝐸
meaiunincf.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunincf.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiunincf.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunincf.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiunincf.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiunincf.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiunincf.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiunincf (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiunincf
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunincf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiunincf.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiunincf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiunincf.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiunincf.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1918 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1903 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiunincf.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6897 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6897 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3972 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1900 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2817 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6887 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 7426 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 4013 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 345 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiunincf.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvarfv 2234 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiunincf.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
24 breq2 5150 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
2524ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
26 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦
27 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6897 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛
30 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛𝑦
3128, 29, 30nfbr 5193 . . . . . . . 8 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦
32 2fveq3 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3332breq1d 5156 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3426, 31, 33cbvralw 3304 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3625, 35bitrd 279 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3736cbvrexvw 3236 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3823, 37sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
39 meaiunincf.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
40 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
4140, 28, 32cbvmpt 5257 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
4239, 41eqtri 2761 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
431, 2, 3, 4, 22, 38, 42meaiuninc 45131 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
44 nfcv 2904 . . . 4 𝑘(𝐸𝑛)
45 fveq2 6887 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
4610, 44, 45cbviun 5037 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
4746fveq2i 6890 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4843, 47breqtrdi 5187 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071  wss 3946   ciun 4995   class class class wbr 5146  cmpt 5229  dom cdm 5674  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  cr 11104  1c1 11106   + caddc 11108  cle 11244  cz 12553  cuz 12817  cli 15423  Meascmea 45099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-disj 5112  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-xadd 13088  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-sum 15628  df-salg 44959  df-sumge0 45013  df-mea 45100
This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  45134
  Copyright terms: Public domain W3C validator