Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunincf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunincf 42758
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunincf.p 𝑛𝜑
meaiunincf.f 𝑛𝐸
meaiunincf.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunincf.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiunincf.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunincf.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiunincf.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiunincf.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiunincf.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiunincf (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiunincf
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunincf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiunincf.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiunincf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiunincf.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiunincf.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1911 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1896 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiunincf.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6675 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6675 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3960 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1893 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2895 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6665 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 7173 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 4000 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 347 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiunincf.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvarfv 2237 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiunincf.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
24 breq2 5063 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
2524ralbidv 3197 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
26 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦
27 nfcv 2977 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6675 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑛
30 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑛𝑦
3128, 29, 30nfbr 5106 . . . . . . . 8 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦
32 2fveq3 6670 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3332breq1d 5069 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3426, 31, 33cbvralw 3442 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3625, 35bitrd 281 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3736cbvrexvw 3451 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3823, 37sylib 220 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
39 meaiunincf.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
40 nfcv 2977 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
4140, 28, 32cbvmpt 5160 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
4239, 41eqtri 2844 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
431, 2, 3, 4, 22, 38, 42meaiuninc 42756 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
44 nfcv 2977 . . . 4 𝑘(𝐸𝑛)
45 fveq2 6665 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
4610, 44, 45cbviun 4954 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
4746fveq2i 6668 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4843, 47breqtrdi 5100 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  wnfc 2961  wral 3138  wrex 3139  wss 3936   ciun 4912   class class class wbr 5059  cmpt 5139  dom cdm 5550  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  cr 10530  1c1 10532   + caddc 10534  cle 10670  cz 11975  cuz 12237  cli 14835  Meascmea 42724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-salg 42587  df-sumge0 42638  df-mea 42725
This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  42759
  Copyright terms: Public domain W3C validator