Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunincf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunincf 45199
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunincf.p 𝑛𝜑
meaiunincf.f 𝑛𝐸
meaiunincf.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunincf.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiunincf.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunincf.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiunincf.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiunincf.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiunincf.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiunincf (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiunincf
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunincf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiunincf.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiunincf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiunincf.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiunincf.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1918 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1903 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiunincf.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6902 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6902 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3975 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1900 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2817 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 7432 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 4016 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 345 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiunincf.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvarfv 2234 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiunincf.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
24 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
2524ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
26 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦
27 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6902 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛
30 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛𝑦
3128, 29, 30nfbr 5196 . . . . . . . 8 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦
32 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3332breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3426, 31, 33cbvralw 3304 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3625, 35bitrd 279 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3736cbvrexvw 3236 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3823, 37sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
39 meaiunincf.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
40 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
4140, 28, 32cbvmpt 5260 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
4239, 41eqtri 2761 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
431, 2, 3, 4, 22, 38, 42meaiuninc 45197 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
44 nfcv 2904 . . . 4 𝑘(𝐸𝑛)
45 fveq2 6892 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
4610, 44, 45cbviun 5040 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
4746fveq2i 6895 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4843, 47breqtrdi 5190 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071  wss 3949   ciun 4998   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  cle 11249  cz 12558  cuz 12822  cli 15428  Meascmea 45165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166
This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  45200
  Copyright terms: Public domain W3C validator