Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunincf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunincf 45933
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunincf.p 𝑛𝜑
meaiunincf.f 𝑛𝐸
meaiunincf.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunincf.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiunincf.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunincf.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiunincf.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiunincf.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiunincf.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiunincf (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiunincf
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunincf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiunincf.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiunincf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiunincf.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiunincf.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1909 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1894 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiunincf.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6901 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6901 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3965 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1891 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2808 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 4006 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 343 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiunincf.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvarfv 2228 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiunincf.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
24 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
2524ralbidv 3168 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦))
26 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦
27 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6901 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑛
30 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑛𝑦
3128, 29, 30nfbr 5190 . . . . . . . 8 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦
32 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3332breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3426, 31, 33cbvralw 3294 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3625, 35bitrd 278 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦))
3736cbvrexvw 3226 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
3823, 37sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑘)) ≤ 𝑦)
39 meaiunincf.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
40 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
4140, 28, 32cbvmpt 5254 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
4239, 41eqtri 2753 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
431, 2, 3, 4, 22, 38, 42meaiuninc 45931 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
44 nfcv 2892 . . . 4 𝑘(𝐸𝑛)
45 fveq2 6891 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
4610, 44, 45cbviun 5034 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
4746fveq2i 6894 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4843, 47breqtrdi 5184 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2875  wral 3051  wrex 3060  wss 3940   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5226  dom cdm 5672  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139  cle 11277  cz 12586  cuz 12850  cli 15458  Meascmea 45899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-salg 45759  df-sumge0 45813  df-mea 45900
This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  45934
  Copyright terms: Public domain W3C validator