Theorem iunconnlem2 44907

Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 44907 verifies https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html 44907. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconnlem2.1	⊢ (𝜓 ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
iunconnlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconnlem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconnlem2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconnlem2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem2	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝜑   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑘,𝐽,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iunconnlem2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconnlem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		iunconnlem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
4	3	ralrimiv 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
5		iunss 5021	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
6	5	biimpri 228	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		iunconnlem2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜓 → ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
10	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
11		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜓 → (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
13		n0 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
17		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
18	16, 17	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19		eliun 4971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵)
22		rexn0 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
24	23	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
25	15, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜓 → 𝐴 ≠ ∅)
26		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽)
27		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑣 ∈ 𝐽
28	26, 27	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)
29		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
30		nfiu1 5003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
31	29, 30	nfin 4199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘∅
33	31, 32	nfne 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
34	28, 33	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
36	35, 30	nfin 4199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
37	36, 32	nfne 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
38	34, 37	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
39		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣)
40		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
41	40, 30	nfdif 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	39, 41	nfss 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
43	38, 42	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
44		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∪ 𝑣)
45	30, 44	nfss 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)
46	43, 45	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
47	8	nfbii 1852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
48	46, 47	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝜓
49		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝜑)
50	9, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
51		iunconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
52	50, 51	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜓 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵))
54	48, 53	ralrimi 3240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜓 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
55		r19.2z 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
56	55	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
57	56	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
58	25, 54, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜓 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
59		eliun 4971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
60	59	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → 𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
62	10, 61	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜓 → 𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣))
63		elun 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
64	63	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
66	8, 65	sylbir 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
67	50, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
68	50, 2	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
69		iunconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
70	50, 69	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
71		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐽)
72	9, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → 𝑢 ∈ 𝐽)
73		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐽)
74	9, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → 𝑣 ∈ 𝐽)
75		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
76	9, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
77		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
78	9, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
79	67, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48	iunconnlem 23363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑢)
80		incom 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
81	80, 78	eqsstrid 3997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
82		uncom 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
83	10, 82	sseqtrrdi 4000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜓 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
84	67, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48	iunconnlem 23363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
85		pm4.56 990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
86	85	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
87	86	idiALT 44451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
88	79, 84, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
89	8, 88	sylbir 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
90	66, 89	pm2.65da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
91	90	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
92	91	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
93	92	ex3 1347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
94	93	3impd 1349	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
95	94	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∈ 𝐽 → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
96	95	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
97	96	impd 410	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
98	97	ralrimivv 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
99		connsub 23357	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
100	99	biimp3ar 1472	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)
101	1, 7, 98, 100	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∪ ciun 4967  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↾_t crest 17432  TopOnctopon 22846  Conncconn 23347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9421  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-cld 22955  df-conn 23348

This theorem is referenced by:  iunconnALT  44908