| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | iunconnlem2.2 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
| 2 | | iunconnlem2.3 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 3 | 2 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝑋)) |
| 4 | 3 | ralrimiv 3145 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 5 | | iunss 5045 |
. . . 4
⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 6 | 5 | biimpri 228 |
. . 3
⊢
(∀𝑘 ∈
𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 → ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 7 | 4, 6 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 8 | | iunconnlem2.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜓 ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 9 | 8 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜓 → ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 10 | 9 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) |
| 11 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 12 | 9, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜓 → (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 13 | | n0 4353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 14 | 13 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 16 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 |
| 17 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 18 | 16, 17 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 19 | | eliun 4995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵) |
| 20 | 19 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵) |
| 21 | 18, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ 𝐵) |
| 22 | | rexn0 4511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(∃𝑘 ∈
𝐴 𝑤 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅) |
| 23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅) |
| 24 | 23 | exlimiv 1930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅) |
| 25 | 15, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜓 → 𝐴 ≠ ∅) |
| 26 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) |
| 27 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘 𝑣 ∈ 𝐽 |
| 28 | 26, 27 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) |
| 29 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑘𝑢 |
| 30 | | nfiu1 5027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 |
| 31 | 29, 30 | nfin 4224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 32 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘∅ |
| 33 | 31, 32 | nfne 3043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ |
| 34 | 28, 33 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 35 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘𝑣 |
| 36 | 35, 30 | nfin 4224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 37 | 36, 32 | nfne 3043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ |
| 38 | 34, 37 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 39 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) |
| 40 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑘𝑋 |
| 41 | 40, 30 | nfdif 4129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑘(𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 42 | 39, 41 | nfss 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 43 | 38, 42 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑘(((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 44 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑘(𝑢 ∪ 𝑣) |
| 45 | 30, 44 | nfss 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣) |
| 46 | 43, 45 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑘((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) |
| 47 | 8 | nfbii 1852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 48 | 46, 47 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑘𝜓 |
| 49 | | simp-6l 787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝜑) |
| 50 | 9, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜓 → 𝜑) |
| 51 | | iunconnlem2.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 52 | 50, 51 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 53 | 52 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜓 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)) |
| 54 | 48, 53 | ralrimi 3257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜓 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 55 | | r19.2z 4495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧
∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 56 | 55 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((∀𝑘 ∈
𝐴 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 57 | 56 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧
∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 58 | 25, 54, 57 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜓 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 59 | | eliun 4995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) |
| 60 | 59 | biimpri 228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑘 ∈
𝐴 𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 61 | 58, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → 𝑃 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 62 | 10, 61 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜓 → 𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣)) |
| 63 | | elun 4153 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 64 | 63 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 65 | 62, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜓 → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 66 | 8, 65 | sylbir 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 67 | 50, 1 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
| 68 | 50, 2 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
| 69 | | iunconnlem2.5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn) |
| 70 | 50, 69 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn) |
| 71 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐽) |
| 72 | 9, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → 𝑢 ∈ 𝐽) |
| 73 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐽) |
| 74 | 9, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → 𝑣 ∈ 𝐽) |
| 75 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 76 | 9, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
| 77 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 78 | 9, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 79 | 67, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48 | iunconnlem 23435 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜓 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑢) |
| 80 | | incom 4209 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣) |
| 81 | 80, 78 | eqsstrid 4022 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
| 82 | | uncom 4158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣) |
| 83 | 10, 82 | sseqtrrdi 4025 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜓 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢)) |
| 84 | 67, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48 | iunconnlem 23435 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜓 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) |
| 85 | | pm4.56 991 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((¬
𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 86 | 85 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((¬
𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 87 | 86 | idiALT 44498 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((¬
𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 88 | 79, 84, 87 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜓 → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 89 | 8, 88 | sylbir 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣)) |
| 90 | 66, 89 | pm2.65da 817 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) |
| 91 | 90 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 92 | 91 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))) |
| 93 | 92 | ex3 1347 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))) |
| 94 | 93 | 3impd 1349 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 95 | 94 | 3expia 1122 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∈ 𝐽 → (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))) |
| 96 | 95 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))) |
| 97 | 96 | impd 410 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))) |
| 98 | 97 | ralrimivv 3200 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) |
| 99 | | connsub 23429 |
. . 3
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))) |
| 100 | 99 | biimp3ar 1472 |
. 2
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))) → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn) |
| 101 | 1, 7, 98, 100 | syl3anc 1373 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn) |