Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunconnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunconnlem2 43999
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 43999 verifies https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html 43999. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconnlem2.1 (πœ“ ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
iunconnlem2.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
iunconnlem2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
iunconnlem2.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
iunconnlem2.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconnlem2 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝑒,π‘˜,𝑣,πœ‘   𝐴,π‘˜,𝑒,𝑣   𝑒,𝐡,𝑣   π‘˜,𝐽,𝑒,𝑣   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑒,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ“(𝑣,𝑒,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝑃(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem iunconnlem2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconnlem2.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 iunconnlem2.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
32ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋))
43ralrimiv 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
5 iunss 5048 . . . 4 (βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
65biimpri 227 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
74, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋)
8 iunconnlem2.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ“ ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ“ β†’ ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
109simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
11 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ“ β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
13 n0 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ“ β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
16 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
1816, 17sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
19 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ 𝐡)
2019biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ 𝐡)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ 𝐡)
22 rexn0 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
2423exlimiv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ“ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
26 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)
27 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜ 𝑣 ∈ 𝐽
2826, 27nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)
29 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜π‘’
30 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
3129, 30nfin 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
32 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜βˆ…
3331, 32nfne 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…
3428, 33nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜π‘£
3635, 30nfin 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘˜(𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
3736, 32nfne 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜(𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…
3834, 37nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
39 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜(𝑒 ∩ 𝑣)
40 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘˜π‘‹
4140, 30nfdif 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜(𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4239, 41nfss 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘˜(𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4338, 42nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘˜(((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
44 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘˜(𝑒 βˆͺ 𝑣)
4530, 44nfss 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘˜βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)
4643, 45nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
478nfbii 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„²π‘˜πœ“ ↔ β„²π‘˜((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
4846, 47mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜πœ“
49 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ πœ‘)
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ“ β†’ πœ‘)
51 iunconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5250, 51sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ“ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡))
5448, 53ralrimi 3253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ“ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
55 r19.2z 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
5655ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
5756ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
5825, 54, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ“ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
59 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡)
6059biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐡 β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
6210, 61sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ“ β†’ 𝑃 ∈ (𝑒 βˆͺ 𝑣))
63 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (𝑒 βˆͺ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (𝑒 βˆͺ 𝑣) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ“ β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
668, 65sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6850, 2sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
69 iunconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
7050, 69sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
71 simp-6r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
73 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
75 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
77 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconnlem 23152 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒)
80 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∩ 𝑒) = (𝑒 ∩ 𝑣)
8180, 78eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ (𝑣 ∩ 𝑒) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
82 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 βˆͺ 𝑒) = (𝑒 βˆͺ 𝑣)
8310, 82sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑣 βˆͺ 𝑒))
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconnlem 23152 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
85 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
8685biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
8786idiALT 43541 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ 𝑃 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
8879, 84, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ“ β†’ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
898, 88sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)) β†’ Β¬ (𝑃 ∈ 𝑒 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
9066, 89pm2.65da 814 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))
9190ex 412 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
9291ex 412 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
9392ex3 1345 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… β†’ ((𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))))
94933impd 1347 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
95943expia 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
9695ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))))
9796impd 410 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
9897ralrimivv 3197 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣)))
99 connsub 23146 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))))
10099biimp3ar 1469 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (((𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑣 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Β¬ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (𝑒 βˆͺ 𝑣))) β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn)
1011, 7, 98, 100syl3anc 1370 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086  βˆƒwex 1780  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ ciun 4997  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  TopOnctopon 22633  Conncconn 23136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cld 22744  df-conn 23137
This theorem is referenced by:  iunconnALT  44000
  Copyright terms: Public domain W3C validator