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Theorem iunconnlem2 44955
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 44955 verifies https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html 44955. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconnlem2.1 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
iunconnlem2.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconnlem2.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconnlem2.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconnlem2.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconnlem2 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝜑   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑘,𝐽,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iunconnlem2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconnlem2.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iunconnlem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
32ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑋))
43ralrimiv 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
5 iunss 5045 . . . 4 ( 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
65biimpri 228 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑋 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
74, 6syl 17 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
8 iunconnlem2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
98biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
109simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
11 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜓 → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
13 n0 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1413biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
16 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ 𝑘𝐴 𝐵
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1816, 17sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 𝑘𝐴 𝐵)
19 eliun 4995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2019biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
22 rexn0 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑘𝐴 𝑤𝐵𝐴 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2423exlimiv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓𝐴 ≠ ∅)
26 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑𝑢𝐽)
27 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 𝑣𝐽
2826, 27nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽)
29 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝑢
30 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 𝑘𝐴 𝐵
3129, 30nfin 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵)
32 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘
3331, 32nfne 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3428, 33nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑣
3635, 30nfin 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵)
3736, 32nfne 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3834, 37nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
39 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑢𝑣)
40 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑋
4140, 30nfdif 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4239, 41nfss 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4338, 42nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
44 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣)
4530, 44nfss 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)
4643, 45nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
478nfbii 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
4846, 47mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝜓
49 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝜑)
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝜑)
51 iunconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5250, 51sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → (𝑘𝐴𝑃𝐵))
5448, 53ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 → ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵)
55 r19.2z 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5655ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑘𝐴 𝑃𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5756ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5825, 54, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
59 eliun 4995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
6059biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑘𝐴 𝑃𝐵𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6210, 61sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝑃 ∈ (𝑢𝑣))
63 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6463biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
668, 65sylbir 235 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6850, 2sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
69 iunconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
7050, 69sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
71 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑢𝐽)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑢𝐽)
73 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑣𝐽)
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑣𝐽)
75 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
77 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconnlem 23435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑢)
80 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8180, 78eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣𝑢) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
82 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8310, 82sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣𝑢))
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconnlem 23435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑣)
85 pm4.56 991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) ↔ ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8685biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8786idiALT 44498 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8879, 84, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
898, 88sylbir 235 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
9066, 89pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
9190ex 412 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
9291ex 412 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9392ex3 1347 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
94933impd 1349 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
95943expia 1122 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9695ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑢𝐽 → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
9796impd 410 . . 3 (𝜑 → ((𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9897ralrimivv 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
99 connsub 23429 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋) → ((𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
10099biimp3ar 1472 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))) → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
1011, 7, 98, 100syl3anc 1373 1 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciun 4991  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  TopOnctopon 22916  Conncconn 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-conn 23420
This theorem is referenced by:  iunconnALT  44956
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