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Theorem iunconnlem2 42865
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 42865 verifies https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html 42865. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconnlem2.1 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
iunconnlem2.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconnlem2.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconnlem2.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconnlem2.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconnlem2 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝜑   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑘,𝐽,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iunconnlem2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconnlem2.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iunconnlem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
32ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑋))
43ralrimiv 3138 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
5 iunss 4989 . . . 4 ( 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
65biimpri 227 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑋 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
74, 6syl 17 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
8 iunconnlem2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
109simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
11 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜓 → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
13 n0 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
16 inss2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ 𝑘𝐴 𝐵
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1816, 17sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 𝑘𝐴 𝐵)
19 eliun 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2019biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
22 rexn0 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑘𝐴 𝑤𝐵𝐴 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2423exlimiv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓𝐴 ≠ ∅)
26 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑𝑢𝐽)
27 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 𝑣𝐽
2826, 27nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽)
29 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝑢
30 nfiu1 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 𝑘𝐴 𝐵
3129, 30nfin 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵)
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘
3331, 32nfne 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3428, 33nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑣
3635, 30nfin 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵)
3736, 32nfne 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3834, 37nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
39 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑢𝑣)
40 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑋
4140, 30nfdif 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4239, 41nfss 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4338, 42nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣)
4530, 44nfss 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)
4643, 45nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
478nfbii 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
4846, 47mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝜓
49 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝜑)
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝜑)
51 iunconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5250, 51sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → (𝑘𝐴𝑃𝐵))
5448, 53ralrimi 3236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 → ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵)
55 r19.2z 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5655ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑘𝐴 𝑃𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5756ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5825, 54, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
59 eliun 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
6059biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑘𝐴 𝑃𝐵𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6210, 61sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝑃 ∈ (𝑢𝑣))
63 elun 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
668, 65sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6850, 2sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
69 iunconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
7050, 69sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
71 simp-6r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑢𝐽)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑢𝐽)
73 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑣𝐽)
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑣𝐽)
75 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
77 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconnlem 22676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑢)
80 incom 4147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8180, 78eqsstrid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣𝑢) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
82 uncom 4099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8310, 82sseqtrrdi 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣𝑢))
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconnlem 22676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑣)
85 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) ↔ ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8685biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8786idiALT 42407 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8879, 84, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
898, 88sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
9066, 89pm2.65da 814 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
9190ex 413 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
9291ex 413 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9392ex3 1345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
94933impd 1347 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
95943expia 1120 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9695ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑢𝐽 → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
9796impd 411 . . 3 (𝜑 → ((𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9897ralrimivv 3191 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
99 connsub 22670 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋) → ((𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
10099biimp3ar 1469 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))) → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
1011, 7, 98, 100syl3anc 1370 1 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086  wex 1780  wnf 1784  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3894  cun 3895  cin 3896  wss 3897  c0 4268   ciun 4938  cfv 6473  (class class class)co 7329  t crest 17220  TopOnctopon 22157  Conncconn 22660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-en 8797  df-fin 8800  df-fi 9260  df-rest 17222  df-topgen 17243  df-top 22141  df-topon 22158  df-bases 22194  df-cld 22268  df-conn 22661
This theorem is referenced by:  iunconnALT  42866
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