Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunconnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunconnlem2 44513
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 44513 verifies https://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html 44513. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconnlem2.1 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
iunconnlem2.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconnlem2.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconnlem2.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconnlem2.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconnlem2 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝜑   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑘,𝐽,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iunconnlem2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconnlem2.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iunconnlem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
32ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑋))
43ralrimiv 3134 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
5 iunss 5049 . . . 4 ( 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
65biimpri 227 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑋 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
74, 6syl 17 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
8 iunconnlem2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
109simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
11 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜓 → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
13 n0 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
16 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ 𝑘𝐴 𝐵
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1816, 17sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 𝑘𝐴 𝐵)
19 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2019biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
22 rexn0 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑘𝐴 𝑤𝐵𝐴 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2423exlimiv 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓𝐴 ≠ ∅)
26 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑𝑢𝐽)
27 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 𝑣𝐽
2826, 27nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽)
29 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝑢
30 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 𝑘𝐴 𝐵
3129, 30nfin 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵)
32 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘
3331, 32nfne 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3428, 33nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑣
3635, 30nfin 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵)
3736, 32nfne 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3834, 37nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
39 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑢𝑣)
40 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑋
4140, 30nfdif 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4239, 41nfss 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4338, 42nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
44 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣)
4530, 44nfss 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)
4643, 45nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
478nfbii 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
4846, 47mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝜓
49 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝜑)
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝜑)
51 iunconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5250, 51sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5352ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → (𝑘𝐴𝑃𝐵))
5448, 53ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 → ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵)
55 r19.2z 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5655ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑘𝐴 𝑃𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5756ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5825, 54, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
59 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
6059biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑘𝐴 𝑃𝐵𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6210, 61sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝑃 ∈ (𝑢𝑣))
63 elun 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
668, 65sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6850, 2sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
69 iunconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
7050, 69sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
71 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑢𝐽)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑢𝐽)
73 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑣𝐽)
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑣𝐽)
75 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
77 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconnlem 23375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑢)
80 incom 4199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8180, 78eqsstrid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣𝑢) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
82 uncom 4150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8310, 82sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣𝑢))
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconnlem 23375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑣)
85 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) ↔ ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8685biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8786idiALT 44055 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8879, 84, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
898, 88sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
9066, 89pm2.65da 815 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
9190ex 411 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
9291ex 411 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9392ex3 1343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
94933impd 1345 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
95943expia 1118 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9695ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑢𝐽 → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
9796impd 409 . . 3 (𝜑 → ((𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9897ralrimivv 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
99 connsub 23369 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋) → ((𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
10099biimp3ar 1466 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))) → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
1011, 7, 98, 100syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084  wex 1773  wnf 1777  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322   ciun 4997  cfv 6549  (class class class)co 7419  t crest 17405  TopOnctopon 22856  Conncconn 23359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9436  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cld 22967  df-conn 23360
This theorem is referenced by:  iunconnALT  44514
  Copyright terms: Public domain W3C validator