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Theorem smflim 45793
Description: The limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflim.n β„²π‘šπΉ
smflim.x β„²π‘₯𝐹
smflim.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smflim.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smflim.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smflim.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smflim.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
smflim.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smflim (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑆,π‘š,𝑛   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑛   πœ‘,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem smflim
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑙 𝑦 π‘˜ 𝑠 𝑑 𝑀 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smflim.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smflim.d . . . . 5 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
4 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑍
5 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘›)
6 smflim.x . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
7 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯π‘š
86, 7nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
98nfdm 5951 . . . . . . . 8 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘š)
105, 9nfiin 5029 . . . . . . 7 β„²π‘₯∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
114, 10nfiun 5028 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
1211ssrab2f 44109 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
133, 12eqsstri 4017 . . . 4 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
15 uzssz 12849 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
16 smflim.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1716eleq2i 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1817biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1915, 18sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
20 uzid 12843 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
2221adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
232adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
24 smflim.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
2524ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
26 eqid 2730 . . . . . . 7 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
2723, 25, 26smfdmss 45749 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
28 smflim.n . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
29 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘›
3028, 29nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘›)
3130nfdm 5951 . . . . . . . 8 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘›)
32 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘šβˆͺ 𝑆
3331, 32nfss 3975 . . . . . . 7 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆
34 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
3534dmeqd 5906 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘›))
3635sseq1d 4014 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆))
3733, 36rspce 3602 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∧ dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆)
3822, 27, 37syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆)
39 iinss 5060 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆)
4038, 39syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆)
4140iunssd 5054 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) βŠ† βˆͺ 𝑆)
4214, 41sstrd 3993 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
43 nfv 1915 . . . . 5 β„²π‘šπœ‘
44 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘šπ‘¦
45 nfmpt1 5257 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
46 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘šdom ⇝
4745, 46nfel 2915 . . . . . . . 8 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝
48 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘šπ‘
49 nfii1 5033 . . . . . . . . 9 β„²π‘šβˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
5048, 49nfiun 5028 . . . . . . . 8 β„²π‘šβˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
5147, 50nfrabw 3466 . . . . . . 7 β„²π‘š{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
523, 51nfcxfr 2899 . . . . . 6 β„²π‘šπ·
5344, 52nfel 2915 . . . . 5 β„²π‘š 𝑦 ∈ 𝐷
5443, 53nfan 1900 . . . 4 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
55 nfcv 2901 . . . 4 Ⅎ𝑀𝐹
562adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
5724ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
58 eqid 2730 . . . . . 6 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
5956, 57, 58smff 45748 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
6059adantlr 711 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
61 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
62 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝
63 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑦
648, 63nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
654, 64nfmpt 5256 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
6665nfel1 2917 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝
67 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
6867mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
6968eleq1d 2816 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
7011, 61, 62, 66, 69cbvrabw 3465 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
71 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑙dom (πΉβ€˜π‘š)
72 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘šπ‘™
7328, 72nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘™)
7473nfdm 5951 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘™)
75 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘™))
7675dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑙 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘™))
7771, 74, 76cbviin 5041 . . . . . . . . . . . 12 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™))
79 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
80 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 𝑖 ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ dom (πΉβ€˜π‘™) = dom (πΉβ€˜π‘™))
8179, 80iineq12dv 44098 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™))
8278, 81eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™))
8382cbviunv 5044 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™)
8483eleq2i 2823 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™))
85 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙𝑍
86 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
8773, 44nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)
8875fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))
8948, 85, 86, 87, 88cbvmptf 5258 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))
9089eleq1i 2822 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
9184, 90anbi12i 625 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∧ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
9291rabbia2 3433 . . . . . 6 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
933, 70, 923eqtri 2762 . . . . 5 𝐷 = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
94 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€))
9594mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)))
9695eleq1d 2816 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ))
9796cbvrabv 3440 . . . . . 6 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ }
98 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘š))
9998dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘™) = dom (πΉβ€˜π‘š))
10074, 71, 99cbviin 5041 . . . . . . . . . . 11 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š)
101100a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ 𝑍 β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
102101iuneq2i 5019 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š)
103102eleq2i 2823 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š))
104 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπ‘€
10573, 104nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)
106 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)
10798fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
10885, 48, 105, 106, 107cbvmptf 5258 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
109108eleq1i 2822 . . . . . . . 8 ((𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ )
110103, 109anbi12i 625 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∧ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ ))
111110rabbia2 3433 . . . . . 6 {𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ } = {𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ }
11297, 111eqtri 2758 . . . . 5 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ }
11393, 112eqtri 2758 . . . 4 𝐷 = {𝑀 ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)) ∈ dom ⇝ }
114 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
11554, 28, 55, 16, 60, 113, 114fnlimfvre 44690 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
116 smflim.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
117 nfrab1 3449 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
1183, 117nfcxfr 2899 . . . . 5 β„²π‘₯𝐷
119 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝐷
120 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑦( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
121 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘₯ ⇝
122121, 65nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘₯( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
12368fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))))
124118, 119, 120, 122, 123cbvmptf 5258 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))))
125116, 124eqtri 2758 . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))))
126115, 125fmptd 7116 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„)
127 smflim.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
128127adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1292adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
13024adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
131 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑙
1326, 131nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘™)
133132, 63nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)
1344, 133nfmpt 5256 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))
135121, 134nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘₯( ⇝ β€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)))
136 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)
137 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘₯
13873, 137nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯)
13975fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯))
14048, 85, 136, 138, 139cbvmptf 5258 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯))
141140a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯)))
142 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ = 𝑦)
143142fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))
144143mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)))
145141, 144eqtrd 2770 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦)))
146145fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))))
147118, 119, 120, 135, 146cbvmptf 5258 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))))
148116, 147eqtri 2758 . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦))))
149 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
150 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘š <
151 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(π‘Ž + (1 / 𝑗))
15287, 150, 151nfbr 5196 . . . . . . . 8 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))
153152, 74nfrabw 3466 . . . . . . 7 β„²π‘š{𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))}
154 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘šπ‘‘
155154, 74nfin 4217 . . . . . . 7 β„²π‘š(𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))
156153, 155nfeq 2914 . . . . . 6 β„²π‘š{𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))
157 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘šπ‘†
158156, 157nfrabw 3466 . . . . 5 β„²π‘š{𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))}
159 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘˜{𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))}
160 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑙{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
161 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑗{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
162 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦dom (πΉβ€˜π‘™)
163132nfdm 5951 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘™)
164 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ <
165 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(π‘Ž + (1 / 𝑗))
166133, 164, 165nfbr 5196 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))
167 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))
168 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯))
169168breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗)) ↔ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))))
170162, 163, 166, 167, 169cbvrabw 3465 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))}
171170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑠 β†’ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))})
172 ineq1 4206 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™)) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™)))
173171, 172eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑠 β†’ ({𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™)) ↔ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))))
174173cbvrabv 3440 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))}
175174a1i 11 . . . . . . 7 (𝑙 = π‘š β†’ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))})
17699eleq2d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)))
17798fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
178177breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))))
179176, 178anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘š β†’ ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∧ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗)))))
180179rabbidva2 3432 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘š β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))})
18199ineq2d 4213 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘š β†’ (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™)) = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
182180, 181eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (𝑙 = π‘š β†’ ({π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™)) ↔ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
183182rabbidv 3438 . . . . . . 7 (𝑙 = π‘š β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
184175, 183eqtrd 2770 . . . . . 6 (𝑙 = π‘š β†’ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
185 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑗) = (1 / π‘˜))
186185oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘Ž + (1 / 𝑗)) = (π‘Ž + (1 / π‘˜)))
187186breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))))
188187rabbidv 3438 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))})
189188eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ ({π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
190189rabbidv 3438 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
191184, 190sylan9eq 2790 . . . . 5 ((𝑙 = π‘š ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
192158, 159, 160, 161, 191cbvmpo 7507 . . . 4 (𝑙 ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))}) = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
193192eqcomi 2739 . . 3 (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (π‘Ž + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) = (𝑙 ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ {𝑦 ∈ dom (πΉβ€˜π‘™) ∣ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘¦) < (π‘Ž + (1 / 𝑗))} = (𝑑 ∩ dom (πΉβ€˜π‘™))})
194128, 16, 129, 130, 93, 148, 149, 193smflimlem6 45792 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1951, 2, 42, 126, 194issmfled 45773 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  β„cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11254   / cdiv 11877  β„•cn 12218  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828   ⇝ cli 15434  SAlgcsalg 45324  SMblFncsmblfn 45711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-rest 17374  df-salg 45325  df-smblfn 45712
This theorem is referenced by:  smflim2  45822
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