Theorem meaiuninc3 46500

Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 46496 and meaiuninc2 46497 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc3.p	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiuninc3.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
meaiuninc3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc3	⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc3.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
8		meaiuninc3.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
10	8, 9	nffv 6916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘)
11		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 + 1)
12	8, 11	nffv 6916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
13	10, 12	nfss 3976	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
14	7, 13	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15		eleq1w 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘))
18		fvoveq1 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 4017	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21		meaiuninc3.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
22	14, 20, 21	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23		meaiuninc3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
24		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
25		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑛)
26	24, 25	nffv 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘(𝐸‘𝑛))
27		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑀
28	27, 10	nffv 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘))
29		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
30	26, 28, 29	cbvmpt 5253	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
31	23, 30	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 22, 31	meaiuninc3v 46499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)))
33		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛))
34	10, 25, 33	cbviun 5036	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)
35	34	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
36	32, 35	breqtrdi 5184	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ⊆ wss 3951  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ~~>*clsxlim 45833  Meascmea 46464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465

This theorem is referenced by: (None)