Theorem meaiuninc3 46796

Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 46792 and meaiuninc2 46793 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc3.p	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiuninc3.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
meaiuninc3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc3	⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc3.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
8		meaiuninc3.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
10	8, 9	nffv 6845	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘)
11		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 + 1)
12	8, 11	nffv 6845	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
13	10, 12	nfss 3927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
14	7, 13	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘))
18		fvoveq1 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21		meaiuninc3.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
22	14, 20, 21	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23		meaiuninc3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
24		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
25		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑛)
26	24, 25	nffv 6845	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘(𝐸‘𝑛))
27		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑀
28	27, 10	nffv 6845	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘))
29		2fveq3 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
30	26, 28, 29	cbvmpt 5201	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
31	23, 30	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 22, 31	meaiuninc3v 46795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)))
33		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛))
34	10, 25, 33	cbviun 4991	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)
35	34	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
36	32, 35	breqtrdi 5140	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4947   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ~~>*clsxlim 46129  Meascmea 46760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-rest 17346  df-topn 17347  df-topgen 17367  df-ordt 17426  df-ps 18493  df-tsr 18494  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-lm 23177  df-xms 24268  df-ms 24269  df-xlim 46130  df-salg 46620  df-sumge0 46674  df-mea 46761

This theorem is referenced by: (None)