Theorem meaiuninc3 46913

Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 46909 and meaiuninc2 46910 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc3.p	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiuninc3.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
meaiuninc3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc3	⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc3.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
8		meaiuninc3.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
10	8, 9	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘)
11		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 + 1)
12	8, 11	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
13	10, 12	nfss 3914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
14	7, 13	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15		eleq1w 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘))
18		fvoveq1 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21		meaiuninc3.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
22	14, 20, 21	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23		meaiuninc3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
24		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
25		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑛)
26	24, 25	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘(𝐸‘𝑛))
27		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑀
28	27, 10	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘))
29		2fveq3 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
30	26, 28, 29	cbvmpt 5187	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
31	23, 30	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 22, 31	meaiuninc3v 46912	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)))
33		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛))
34	10, 25, 33	cbviun 4977	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)
35	34	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
36	32, 35	breqtrdi 5126	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   ⊆ wss 3889  ∪ ciun 4933   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ~~>*clsxlim 46246  Meascmea 46877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-lm 23194  df-xms 24285  df-ms 24286  df-xlim 46247  df-salg 46737  df-sumge0 46791  df-mea 46878

This theorem is referenced by: (None)