Theorem meaiuninc3 47064

Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 47060 and meaiuninc2 47061 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc3.p	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiuninc3.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
meaiuninc3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc3	⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc3.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1936	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
8		meaiuninc3.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
10	8, 9	nffv 6879	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘)
11		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 + 1)
12	8, 11	nffv 6879	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
13	10, 12	nfss 3931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
14	7, 13	nfim 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15		eleq1w 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 639	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘))
18		fvoveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3971	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
20	16, 19	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21		meaiuninc3.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
22	14, 20, 21	chvarfv 2277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23		meaiuninc3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
24		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
25		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑛)
26	24, 25	nffv 6879	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘(𝐸‘𝑛))
27		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑀
28	27, 10	nffv 6879	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘))
29		2fveq3 6874	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
30	26, 28, 29	cbvmpt 5204	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
31	23, 30	eqtri 2787	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 22, 31	meaiuninc3v 47063	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)))
33		fveq2 6869	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛))
34	10, 25, 33	cbviun 4994	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)
35	34	fveq2i 6872	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
36	32, 35	breqtrdi 5143	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2911   ⊆ wss 3906  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1c1 11076   + caddc 11078  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ~~>*clsxlim 46397  Meascmea 47028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-rest 17453  df-topn 17454  df-topgen 17474  df-ordt 17533  df-ps 18600  df-tsr 18601  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-lm 23291  df-xms 24382  df-ms 24383  df-xlim 46398  df-salg 46888  df-sumge0 46942  df-mea 47029

This theorem is referenced by: (None)