Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc3 41271
Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 41267 and meaiuninc2 41268 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3.p 𝑛𝜑
meaiuninc3.f 𝑛𝐸
meaiuninc3.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiuninc3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiuninc3.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 2009 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1998 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiuninc3.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6385 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6385 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3754 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1995 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2827 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 622 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 6865 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 3794 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 335 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiuninc3.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvar 2368 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiuninc3.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
24 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘𝑀
25 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘(𝐸𝑛)
2624, 25nffv 6385 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
27 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6385 . . . . 5 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 2fveq3 6380 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3026, 28, 29cbvmpt 4908 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3123, 30eqtri 2787 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
321, 2, 3, 4, 22, 31meaiuninc3v 41270 . 2 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
33 fveq2 6375 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
3410, 25, 33cbviun 4713 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
3534fveq2i 6378 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
3632, 35syl6breq 4850 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wss 3732   ciun 4676   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  cz 11624  cuz 11886  ~~>*clsxlim 40614  Meascmea 41235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-topn 16352  df-topgen 16372  df-ordt 16429  df-ps 17468  df-tsr 17469  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-lm 21313  df-xms 22404  df-ms 22405  df-xlim 40615  df-salg 41098  df-sumge0 41149  df-mea 41236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator