Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc3 43292
 Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 43288 and meaiuninc2 43289 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3.p 𝑛𝜑
meaiuninc3.f 𝑛𝐸
meaiuninc3.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiuninc3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiuninc3.p . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1915 . . . . . 6 𝑛 𝑘𝑍
75, 6nfan 1900 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑘𝑍)
8 meaiuninc3.f . . . . . . 7 𝑛𝐸
9 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑛𝑘
108, 9nffv 6665 . . . . . 6 𝑛(𝐸𝑘)
11 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑛(𝑘 + 1)
128, 11nffv 6665 . . . . . 6 𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
1310, 12nfss 3909 . . . . 5 𝑛(𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
147, 13nfim 1897 . . . 4 𝑛((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15 eleq1w 2872 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
1615anbi2d 631 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
17 fveq2 6655 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
18 fvoveq1 7168 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
1917, 18sseq12d 3950 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
2016, 19imbi12d 348 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21 meaiuninc3.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2214, 20, 21chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23 meaiuninc3.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
24 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘𝑀
25 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘(𝐸𝑛)
2624, 25nffv 6665 . . . . 5 𝑘(𝑀‘(𝐸𝑛))
27 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑛𝑀
2827, 10nffv 6665 . . . . 5 𝑛(𝑀‘(𝐸𝑘))
29 2fveq3 6660 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3026, 28, 29cbvmpt 5135 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
3123, 30eqtri 2821 . . 3 𝑆 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑘)))
321, 2, 3, 4, 22, 31meaiuninc3v 43291 . 2 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)))
33 fveq2 6655 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
3410, 25, 33cbviun 4927 . . 3 𝑘𝑍 (𝐸𝑘) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
3534fveq2i 6658 . 2 (𝑀 𝑘𝑍 (𝐸𝑘)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
3632, 35breqtrdi 5075 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ⊆ wss 3883  ∪ ciun 4885   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  dom cdm 5523  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ~~>*clsxlim 42628  Meascmea 43256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-rest 16708  df-topn 16709  df-topgen 16729  df-ordt 16786  df-ps 17822  df-tsr 17823  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-lm 21875  df-xms 22968  df-ms 22969  df-xlim 42629  df-salg 43119  df-sumge0 43170  df-mea 43257 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator