Theorem meaiuninc3 46766

Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 46762 and meaiuninc2 46763 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc3.p	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiuninc3.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
meaiuninc3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc3	⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc3.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
8		meaiuninc3.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
10	8, 9	nffv 6843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘)
11		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 + 1)
12	8, 11	nffv 6843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑘 + 1))
13	10, 12	nfss 3925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))
14	7, 13	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
15		eleq1w 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
17		fveq2 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘))
18		fvoveq1 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3966	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
21		meaiuninc3.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
22	14, 20, 21	chvarfv 2246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
23		meaiuninc3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
24		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
25		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑛)
26	24, 25	nffv 6843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘(𝐸‘𝑛))
27		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑀
28	27, 10	nffv 6843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘))
29		2fveq3 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
30	26, 28, 29	cbvmpt 5199	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
31	23, 30	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 22, 31	meaiuninc3v 46765	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)))
33		fveq2 6833	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛))
34	10, 25, 33	cbviun 4989	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)
35	34	fveq2i 6836	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑘)) = (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
36	32, 35	breqtrdi 5138	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆~~>*(𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4945   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5623  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ~~>*clsxlim 46099  Meascmea 46730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-ordt 17424  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-lm 23175  df-xms 24266  df-ms 24267  df-xlim 46100  df-salg 46590  df-sumge0 46644  df-mea 46731

This theorem is referenced by: (None)