Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1408 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1408 35050
Description: Technical lemma for bnj1414 35051. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1408.1 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.2 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.3 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
bnj1408.4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
bnj1408 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem bnj1408
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1408.3 . . . 4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
21biimpri 228 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜃)
3 bnj1408.1 . . . . 5 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43bnj1413 35049 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
6 bnj213 34896 . . . . . . . . . . 11 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
76sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑧𝐴)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
9 bnj906 34944 . . . . . . . . 9 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑧𝐴) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
105, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
11 bnj1318 35039 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
1211ssiun2s 5048 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
13 ssun4 4181 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
1413, 3sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . 10 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1710, 16sstrd 3994 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
1918bnj1405 34850 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅)𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
20 biid 261 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
21 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴)
22 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)
23 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2422, 23nfun 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
253, 24nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
2625nfcri 2897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑧𝐵
2721, 26nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵)
2823nfcri 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2927, 28nfan 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3029nf5ri 2195 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3119, 20, 30bnj1521 34865 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
32 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
34 bnj1147 35008 . . . . . . . . . . . . 13 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
35 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3634, 35bnj1213 34812 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
3733, 36, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
38 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
396, 38bnj1213 34812 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
40 bnj1125 35006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4133, 39, 35, 40syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4237, 41sstrd 3994 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43 ssiun2 5047 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
44433ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
45 ssun4 4181 . . . . . . . . . . . 12 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4645, 3sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4842, 47sstrd 3994 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4931, 48bnj593 34759 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
50 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅)
5150, 25nfss 3976 . . . . . . . . 9 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
5251nf5ri 2195 . . . . . . . 8 ( pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵 → ∀𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5349, 52bnj1397 34848 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
54 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
553bnj1138 34802 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↔ (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5654, 55sylib 218 . . . . . . 7 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5717, 53, 56mpjaodan 961 . . . . . 6 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5857ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
59 df-bnj19 34711 . . . . 5 ( TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
6058, 59sylibr 234 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅))
613bnj931 34784 . . . . 5 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
6261a1i 11 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
63 bnj1408.4 . . . 4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
644, 60, 62, 63syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜏)
651, 63bnj1124 35002 . . 3 ((𝜃𝜏) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
662, 64, 65syl2anc 584 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
67 bnj906 34944 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
68 iunss1 5006 . . . . 5 ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
69 unss2 4187 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
7067, 68, 693syl 18 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
71 bnj1408.2 . . . 4 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
7270, 3, 713sstr4g 4037 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵𝐶)
73 biid 261 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
74 biid 261 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶))
7571, 73, 74bnj1136 35011 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
7672, 75sseqtrrd 4021 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
7766, 76eqssd 4001 1 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951   ciun 4991   predc-bnj14 34702   FrSe w-bnj15 34706   trClc-bnj18 34708   TrFow-bnj19 34710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-bnj17 34701  df-bnj14 34703  df-bnj13 34705  df-bnj15 34707  df-bnj18 34709  df-bnj19 34711
This theorem is referenced by:  bnj1414  35051
  Copyright terms: Public domain W3C validator