Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1408 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1408 34798
Description: Technical lemma for bnj1414 34799. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1408.1 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.2 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.3 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
bnj1408.4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
bnj1408 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem bnj1408
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1408.3 . . . 4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
21biimpri 227 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜃)
3 bnj1408.1 . . . . 5 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43bnj1413 34797 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
6 bnj213 34644 . . . . . . . . . . 11 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
76sseli 3972 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑧𝐴)
87adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
9 bnj906 34692 . . . . . . . . 9 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑧𝐴) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
105, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
11 bnj1318 34787 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
1211ssiun2s 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
13 ssun4 4173 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
1413, 3sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . 10 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1710, 16sstrd 3987 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
18 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
1918bnj1405 34598 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅)𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
20 biid 260 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
21 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴)
22 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)
23 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2422, 23nfun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
253, 24nfcxfr 2889 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
2625nfcri 2882 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑧𝐵
2721, 26nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵)
2823nfcri 2882 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2927, 28nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3029nf5ri 2183 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3119, 20, 30bnj1521 34613 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
32 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
34 bnj1147 34756 . . . . . . . . . . . . 13 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
35 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3634, 35bnj1213 34560 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
3733, 36, 9syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
38 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
396, 38bnj1213 34560 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
40 bnj1125 34754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4133, 39, 35, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4237, 41sstrd 3987 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
44433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
45 ssun4 4173 . . . . . . . . . . . 12 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4645, 3sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4842, 47sstrd 3987 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4931, 48bnj593 34507 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
50 nfcv 2891 . . . . . . . . . 10 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅)
5150, 25nfss 3969 . . . . . . . . 9 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
5251nf5ri 2183 . . . . . . . 8 ( pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵 → ∀𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5349, 52bnj1397 34596 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
54 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
553bnj1138 34550 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↔ (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5654, 55sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5717, 53, 56mpjaodan 956 . . . . . 6 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5857ralrimiva 3135 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
59 df-bnj19 34459 . . . . 5 ( TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
6058, 59sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅))
613bnj931 34532 . . . . 5 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
6261a1i 11 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
63 bnj1408.4 . . . 4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
644, 60, 62, 63syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜏)
651, 63bnj1124 34750 . . 3 ((𝜃𝜏) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
662, 64, 65syl2anc 582 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
67 bnj906 34692 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
68 iunss1 5011 . . . . 5 ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
69 unss2 4179 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
7067, 68, 693syl 18 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
71 bnj1408.2 . . . 4 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
7270, 3, 713sstr4g 4022 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵𝐶)
73 biid 260 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
74 biid 260 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶))
7571, 73, 74bnj1136 34759 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
7672, 75sseqtrrd 4018 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
7766, 76eqssd 3994 1 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  cun 3942  wss 3944   ciun 4997   predc-bnj14 34450   FrSe w-bnj15 34454   trClc-bnj18 34456   TrFow-bnj19 34458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-bnj17 34449  df-bnj14 34451  df-bnj13 34453  df-bnj15 34455  df-bnj18 34457  df-bnj19 34459
This theorem is referenced by:  bnj1414  34799
  Copyright terms: Public domain W3C validator