Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1408 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1408 33315
Description: Technical lemma for bnj1414 33316. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1408.1 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.2 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
bnj1408.3 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
bnj1408.4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
bnj1408 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem bnj1408
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1408.3 . . . 4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
21biimpri 227 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜃)
3 bnj1408.1 . . . . 5 𝐵 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43bnj1413 33314 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
6 bnj213 33161 . . . . . . . . . . 11 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
76sseli 3928 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑧𝐴)
87adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
9 bnj906 33209 . . . . . . . . 9 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑧𝐴) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
105, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
11 bnj1318 33304 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
1211ssiun2s 4995 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
13 ssun4 4122 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
1413, 3sseqtrrdi 3983 . . . . . . . . . 10 ( trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
1710, 16sstrd 3942 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
18 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
1918bnj1405 33115 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅)𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
20 biid 260 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
21 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴)
22 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)
23 nfiu1 4975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2422, 23nfun 4112 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
253, 24nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
2625nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑧𝐵
2721, 26nfan 1901 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵)
2823nfcri 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)
2927, 28nfan 1901 . . . . . . . . . . 11 𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3029nf5ri 2187 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦(((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3119, 20, 30bnj1521 33130 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
32 simplll 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
33323ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
34 bnj1147 33273 . . . . . . . . . . . . 13 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
35 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3634, 35bnj1213 33077 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐴)
3733, 36, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅))
38 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
396, 38bnj1213 33077 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
40 bnj1125 33271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4133, 39, 35, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4237, 41sstrd 3942 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
43 ssiun2 4994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
44433ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
45 ssun4 4122 . . . . . . . . . . . 12 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4645, 3sseqtrrdi 3983 . . . . . . . . . . 11 ( trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4842, 47sstrd 3942 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
4931, 48bnj593 33024 . . . . . . . 8 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
50 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅)
5150, 25nfss 3924 . . . . . . . . 9 𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
5251nf5ri 2187 . . . . . . . 8 ( pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵 → ∀𝑦 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5349, 52bnj1397 33113 . . . . . . 7 ((((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
54 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
553bnj1138 33067 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↔ (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5654, 55sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5717, 53, 56mpjaodan 956 . . . . . 6 (((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
5857ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
59 df-bnj19 32976 . . . . 5 ( TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∀𝑧𝐵 pred(𝑧, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
6058, 59sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅))
613bnj931 33049 . . . . 5 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵
6261a1i 11 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
63 bnj1408.4 . . . 4 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
644, 60, 62, 63syl3anbrc 1342 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝜏)
651, 63bnj1124 33267 . . 3 ((𝜃𝜏) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
662, 64, 65syl2anc 584 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
67 bnj906 33209 . . . . 5 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
68 iunss1 4955 . . . . 5 ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
69 unss2 4128 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
7067, 68, 693syl 18 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ⊆ ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
71 bnj1408.2 . . . 4 𝐶 = ( pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ trCl (𝑋, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
7270, 3, 713sstr4g 3977 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵𝐶)
73 biid 260 . . . 4 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
74 biid 260 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ TrFo(𝐶, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐶))
7571, 73, 74bnj1136 33276 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
7672, 75sseqtrrd 3973 . 2 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → 𝐵 ⊆ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
7766, 76eqssd 3949 1 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  Vcvv 3441  cun 3896  wss 3898   ciun 4941   predc-bnj14 32967   FrSe w-bnj15 32971   trClc-bnj18 32973   TrFow-bnj19 32975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-reg 9449  ax-inf2 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-om 7781  df-1o 8367  df-bnj17 32966  df-bnj14 32968  df-bnj13 32970  df-bnj15 32972  df-bnj18 32974  df-bnj19 32976
This theorem is referenced by:  bnj1414  33316
  Copyright terms: Public domain W3C validator