Theorem nnmcli 8573

Description: ω is closed under multiplication. Inference form of nnmcl 8570. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
nncli.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
nncli.2	⊢ 𝐵 ∈ ω

Assertion

Ref	Expression
nnmcli	⊢ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω

Proof of Theorem nnmcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ω
2		nncli.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ω
3		nnmcl 8570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
4	1, 2, 3	mp2an 700	1 ⊢ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ωcom 7835   ·_o comu 8423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-oadd 8429  df-omul 8430

This theorem is referenced by:  omopthlem1  8617  omopthlem2  8618  omopthi  8619