Theorem omopthlem1 8569

Description: Lemma for omopthi 8571. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
omopthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
omopthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ω

Assertion

Ref	Expression
omopthlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Proof of Theorem omopthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omopthlem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
2		peano2 7815	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 ∈ ω
4		omopthlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ω
5		nnmwordi 8545	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶)))
6	3, 4, 3, 5	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶))
7		nnmwordri 8546	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶)))
8	3, 4, 4, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
9	6, 8	sstrd 3940	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
10	1	nnoni 7798	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
11	4	nnoni 7798	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ On
12	10, 11	onsucssi 7766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	1, 1	nnmcli 8525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
14		2onn 8552	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
15	1, 14	nnmcli 8525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 2o) ∈ ω
16	13, 15	nnacli 8524	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ ω
17	16	nnoni 7798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ On
18	4, 4	nnmcli 8525	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ ω
19	18	nnoni 7798	. . . 4 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ On
20	17, 19	onsucssi 7766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
21	3, 1	nnmcli 8525	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
22		nnasuc 8516	. . . . . 6 ⊢ (((suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
23	21, 1, 22	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
24		nnmsuc 8517	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴))
25	3, 1, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴)
26		nnaass 8532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴)))
27	13, 1, 1, 26	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
28		nnmcom 8536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴))
29	3, 1, 28	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴)
30		nnmsuc 8517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
31	1, 1, 30	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
32	29, 31	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
33	32	oveq1i 7351	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) = (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴)
34		nnm2 8563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
35	1, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴)
36	35	oveq2i 7352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
37	27, 33, 36	3eqtr4ri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
38		suceq 6369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) → suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
40	23, 25, 39	3eqtr4ri 2765	. . . 4 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = (suc 𝐴 ·o suc 𝐴)
41	40	sseq1i 3958	. . 3 ⊢ (suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
42	20, 41	bitri 275	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
43	9, 12, 42	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  suc csuc 6303  (class class class)co 7341  ωcom 7791  2_oc2o 8374   +_o coa 8377   ·_o comu 8378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385

This theorem is referenced by:  omopthlem2  8570