MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omopthlem1 8660
Description: Lemma for omopthi 8662. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1 ๐ด โˆˆ ฯ‰
omopthlem1.2 ๐ถ โˆˆ ฯ‰
Assertion
Ref Expression
omopthlem1 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ถ))

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ ฯ‰
2 peano2 7883 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 suc ๐ด โˆˆ ฯ‰
4 omopthlem1.2 . . . 4 ๐ถ โˆˆ ฯ‰
5 nnmwordi 8637 . . . 4 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด โІ ๐ถ โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) โІ (suc ๐ด ยทo ๐ถ)))
63, 4, 3, 5mp3an 1459 . . 3 (suc ๐ด โІ ๐ถ โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) โІ (suc ๐ด ยทo ๐ถ))
7 nnmwordri 8638 . . . 4 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด โІ ๐ถ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ)))
83, 4, 4, 7mp3an 1459 . . 3 (suc ๐ด โІ ๐ถ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ถ) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ))
96, 8sstrd 3991 . 2 (suc ๐ด โІ ๐ถ โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ))
101nnoni 7864 . . 3 ๐ด โˆˆ On
114nnoni 7864 . . 3 ๐ถ โˆˆ On
1210, 11onsucssi 7832 . 2 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” suc ๐ด โІ ๐ถ)
131, 1nnmcli 8617 . . . . . 6 (๐ด ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰
14 2onn 8643 . . . . . . 7 2o โˆˆ ฯ‰
151, 14nnmcli 8617 . . . . . 6 (๐ด ยทo 2o) โˆˆ ฯ‰
1613, 15nnacli 8616 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ ฯ‰
1716nnoni 7864 . . . 4 ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ On
184, 4nnmcli 8617 . . . . 5 (๐ถ ยทo ๐ถ) โˆˆ ฯ‰
1918nnoni 7864 . . . 4 (๐ถ ยทo ๐ถ) โˆˆ On
2017, 19onsucssi 7832 . . 3 (((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ถ) โ†” suc ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ))
213, 1nnmcli 8617 . . . . . 6 (suc ๐ด ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰
22 nnasuc 8608 . . . . . 6 (((suc ๐ด ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o suc ๐ด) = suc ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด))
2321, 1, 22mp2an 688 . . . . 5 ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o suc ๐ด) = suc ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด)
24 nnmsuc 8609 . . . . . 6 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) = ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o suc ๐ด))
253, 1, 24mp2an 688 . . . . 5 (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) = ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o suc ๐ด)
26 nnaass 8624 . . . . . . . 8 (((๐ด ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด) +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด +o ๐ด)))
2713, 1, 1, 26mp3an 1459 . . . . . . 7 (((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด) +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด +o ๐ด))
28 nnmcom 8628 . . . . . . . . . 10 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ด) = (๐ด ยทo suc ๐ด))
293, 1, 28mp2an 688 . . . . . . . . 9 (suc ๐ด ยทo ๐ด) = (๐ด ยทo suc ๐ด)
30 nnmsuc 8609 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด))
311, 1, 30mp2an 688 . . . . . . . . 9 (๐ด ยทo suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด)
3229, 31eqtri 2758 . . . . . . . 8 (suc ๐ด ยทo ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด)
3332oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด) = (((๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด) +o ๐ด)
34 nnm2 8654 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo 2o) = (๐ด +o ๐ด))
351, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐ด ยทo 2o) = (๐ด +o ๐ด)
3635oveq2i 7422 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด +o ๐ด))
3727, 33, 363eqtr4ri 2769 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด)
38 suceq 6429 . . . . . 6 (((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด) โ†’ suc ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = suc ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด))
3937, 38ax-mp 5 . . . . 5 suc ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = suc ((suc ๐ด ยทo ๐ด) +o ๐ด)
4023, 25, 393eqtr4ri 2769 . . . 4 suc ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) = (suc ๐ด ยทo suc ๐ด)
4140sseq1i 4009 . . 3 (suc ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ) โ†” (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ))
4220, 41bitri 274 . 2 (((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ถ) โ†” (suc ๐ด ยทo suc ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐ถ))
439, 12, 423imtr4i 291 1 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ด) +o (๐ด ยทo 2o)) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โІ wss 3947  suc csuc 6365  (class class class)co 7411  ฯ‰com 7857  2oc2o 8462   +o coa 8465   ยทo comu 8466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473
This theorem is referenced by:  omopthlem2  8661
  Copyright terms: Public domain W3C validator