Theorem omopthlem1 8132

Description: Lemma for omopthi 8134. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
omopthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
omopthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ω

Assertion

Ref	Expression
omopthlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Proof of Theorem omopthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omopthlem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
2		peano2 7458	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 ∈ ω
4		omopthlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ω
5		nnmwordi 8111	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶)))
6	3, 4, 3, 5	mp3an 1453	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶))
7		nnmwordri 8112	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶)))
8	3, 4, 4, 7	mp3an 1453	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
9	6, 8	sstrd 3899	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
10	1	nnoni 7443	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
11	4	nnoni 7443	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ On
12	10, 11	onsucssi 7412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	1, 1	nnmcli 8091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
14		2onn 8116	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
15	1, 14	nnmcli 8091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 2o) ∈ ω
16	13, 15	nnacli 8090	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ ω
17	16	nnoni 7443	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ On
18	4, 4	nnmcli 8091	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ ω
19	18	nnoni 7443	. . . 4 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ On
20	17, 19	onsucssi 7412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
21	3, 1	nnmcli 8091	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
22		nnasuc 8082	. . . . . 6 ⊢ (((suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
23	21, 1, 22	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
24		nnmsuc 8083	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴))
25	3, 1, 24	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴)
26		nnaass 8098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴)))
27	13, 1, 1, 26	mp3an 1453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
28		nnmcom 8102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴))
29	3, 1, 28	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴)
30		nnmsuc 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
31	1, 1, 30	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
32	29, 31	eqtri 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
33	32	oveq1i 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) = (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴)
34		nnm2 8126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
35	1, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴)
36	35	oveq2i 7027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
37	27, 33, 36	3eqtr4ri 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
38		suceq 6131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) → suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
40	23, 25, 39	3eqtr4ri 2830	. . . 4 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = (suc 𝐴 ·o suc 𝐴)
41	40	sseq1i 3916	. . 3 ⊢ (suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
42	20, 41	bitri 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
43	9, 12, 42	3imtr4i 293	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  suc csuc 6068  (class class class)co 7016  ωcom 7436  2_oc2o 7947   +_o coa 7950   ·_o comu 7951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958

This theorem is referenced by:  omopthlem2  8133