Theorem omopthlem1 8673

Description: Lemma for omopthi 8675. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
omopthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
omopthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ω

Assertion

Ref	Expression
omopthlem1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Proof of Theorem omopthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omopthlem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
2		peano2 7903	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 ∈ ω
4		omopthlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ω
5		nnmwordi 8649	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶)))
6	3, 4, 3, 5	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶))
7		nnmwordri 8650	. . . 4 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶)))
8	3, 4, 4, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
9	6, 8	sstrd 3919	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
10	1	nnoni 7886	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
11	4	nnoni 7886	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ On
12	10, 11	onsucssi 7854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	1, 1	nnmcli 8629	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
14		2onn 8656	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
15	1, 14	nnmcli 8629	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·o 2o) ∈ ω
16	13, 15	nnacli 8628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ ω
17	16	nnoni 7886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ On
18	4, 4	nnmcli 8629	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ ω
19	18	nnoni 7886	. . . 4 ⊢ (𝐶 ·o 𝐶) ∈ On
20	17, 19	onsucssi 7854	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
21	3, 1	nnmcli 8629	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
22		nnasuc 8620	. . . . . 6 ⊢ (((suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
23	21, 1, 22	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
24		nnmsuc 8621	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴))
25	3, 1, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴)
26		nnaass 8636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴)))
27	13, 1, 1, 26	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
28		nnmcom 8640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴))
29	3, 1, 28	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴)
30		nnmsuc 8621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
31	1, 1, 30	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
32	29, 31	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ·o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
33	32	oveq1i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) = (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴)
34		nnm2 8667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
35	1, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴)
36	35	oveq2i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
37	27, 33, 36	3eqtr4ri 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
38		suceq 6433	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) → suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
40	23, 25, 39	3eqtr4ri 2794	. . . 4 ⊢ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = (suc 𝐴 ·o suc 𝐴)
41	40	sseq1i 3937	. . 3 ⊢ (suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
42	20, 41	bitri 278	. 2 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
43	9, 12, 42	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  suc csuc 6366  (class class class)co 7422  ωcom 7879  2_oc2o 8475   +_o coa 8478   ·_o comu 8479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486

This theorem is used by:  omopthlem2  8674