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Theorem omopthlem1 8384
Description: Lemma for omopthi 8386. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1 𝐴 ∈ ω
omopthlem1.2 𝐶 ∈ ω
Assertion
Ref Expression
omopthlem1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ω
2 peano2 7668 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 suc 𝐴 ∈ ω
4 omopthlem1.2 . . . 4 𝐶 ∈ ω
5 nnmwordi 8363 . . . 4 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶)))
63, 4, 3, 5mp3an 1463 . . 3 (suc 𝐴𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (suc 𝐴 ·o 𝐶))
7 nnmwordri 8364 . . . 4 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (suc 𝐴𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶)))
83, 4, 4, 7mp3an 1463 . . 3 (suc 𝐴𝐶 → (suc 𝐴 ·o 𝐶) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
96, 8sstrd 3911 . 2 (suc 𝐴𝐶 → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
101nnoni 7651 . . 3 𝐴 ∈ On
114nnoni 7651 . . 3 𝐶 ∈ On
1210, 11onsucssi 7620 . 2 (𝐴𝐶 ↔ suc 𝐴𝐶)
131, 1nnmcli 8343 . . . . . 6 (𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
14 2onn 8368 . . . . . . 7 2o ∈ ω
151, 14nnmcli 8343 . . . . . 6 (𝐴 ·o 2o) ∈ ω
1613, 15nnacli 8342 . . . . 5 ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ ω
1716nnoni 7651 . . . 4 ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ On
184, 4nnmcli 8343 . . . . 5 (𝐶 ·o 𝐶) ∈ ω
1918nnoni 7651 . . . 4 (𝐶 ·o 𝐶) ∈ On
2017, 19onsucssi 7620 . . 3 (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
213, 1nnmcli 8343 . . . . . 6 (suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω
22 nnasuc 8334 . . . . . 6 (((suc 𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
2321, 1, 22mp2an 692 . . . . 5 ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
24 nnmsuc 8335 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴))
253, 1, 24mp2an 692 . . . . 5 (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o suc 𝐴)
26 nnaass 8350 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴)))
2713, 1, 1, 26mp3an 1463 . . . . . . 7 (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
28 nnmcom 8354 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴))
293, 1, 28mp2an 692 . . . . . . . . 9 (suc 𝐴 ·o 𝐴) = (𝐴 ·o suc 𝐴)
30 nnmsuc 8335 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
311, 1, 30mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·o suc 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
3229, 31eqtri 2765 . . . . . . . 8 (suc 𝐴 ·o 𝐴) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
3332oveq1i 7223 . . . . . . 7 ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) = (((𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) +o 𝐴)
34 nnm2 8378 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
351, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴)
3635oveq2i 7224 . . . . . . 7 ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 +o 𝐴))
3727, 33, 363eqtr4ri 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
38 suceq 6278 . . . . . 6 (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴) → suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴))
3937, 38ax-mp 5 . . . . 5 suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = suc ((suc 𝐴 ·o 𝐴) +o 𝐴)
4023, 25, 393eqtr4ri 2776 . . . 4 suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) = (suc 𝐴 ·o suc 𝐴)
4140sseq1i 3929 . . 3 (suc ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
4220, 41bitri 278 . 2 (((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶) ↔ (suc 𝐴 ·o suc 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐶))
439, 12, 423imtr4i 295 1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐴) +o (𝐴 ·o 2o)) ∈ (𝐶 ·o 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866  suc csuc 6215  (class class class)co 7213  ωcom 7644  2oc2o 8196   +o coa 8199   ·o comu 8200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207
This theorem is referenced by:  omopthlem2  8385
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